ALJABAR LINEAR Ruang Membangun (Merentang)

ALJABAR LINEAR
Ruang Membangun (Merentang)
Disusun Oleh :
1. Hepry Yurika (14144100076)
2. Sarah Ayu R (15144100068)
3. Ganesh Diar (15144100081)
Ruang Membangun (Merentang)
Jika S = { v1,v2, …,vn } adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang
vektor V, maka sub ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear
dari vektor vektor dalam S disebut ruang Membangun oleh v1,v2, ….,vn, dan
kita katakan bahwa vektor vektor v1,v2, ….,vn adalah membangun W.
Contoh :
Tentukan apakah himpunan S = { i,j,k } membangun vektor x=(9,2,3 )?
Jawab :
Untuk menyelediki apakah himpunan S, yang terdiri dari vektor
satuan, membangun vektor x atau tidak, dapat dilakukan dengan
penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi linear dari
himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang
memenuhi persamaan :
x
= k1i + k2j + k3 k
(9,2,3) = k1(1,0,0 ) + k2(0,1,0) +k3 (0,0,1)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita
akan mendapatkan :
k1 = 9
k2 = 2
k3 = 3
Sehingga dapat disimpulkan bahwa x adalah kombinasi linear dari
himpunan vektor S, atau S membangun terhadap vektor x
Contoh 2 :
Tentukan apakah himpunan S = { i,j,k } membangun di setiap vektor di R3 ?
Jawab :
Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu u = (u1,u2,u3)
Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal ini
dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor u merupakan kombinasi
linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang
memenuhi persamaan :
u= k1i + k2j + k3 k
(u1,u2,u3)= k1(1,0,0 ) + k2(0,1,0) +k3 (0,0,1)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan
mendapatkan :
k1 = u 1
k2 = u 2
k3 = u3
Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap vektor di R3 adalah kombinasi linear
dari himpunan vektor S, atau S membangun di setiap vektor di R3.
Contoh 3 :
Tentukan apakah himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2), v=(1,0,1) dan w
=(3,1,3) membangun di setiap vektor di R3.
Jawab :
Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x = (x1,x2,x3). Maka
harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal ini dapat
dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi linear
dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi
persamaan :
x= k1u + k2v + k3 w
(x1,x2,x3)= k1(1,1,2 ) + k2(1,0,1) +k3 (3,1,3)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
k1+k2+3k3 = x1
k1+k3 = x2
2k1+k2+3k3 = x3
Contoh 4 :
Tentukan apakah himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2),
v=(1,0,1) dan w =(2,1,3) membangun di setiap vektor di R3 ?
Jawab
:
Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x = (x1,x2,x3).
Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal
ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan
kombinasi.
linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3
yang memenuhi persamaan :
x= k1u + k2v + k3 w
(x1,x2,x3)= k1(1,1,2 ) + k2(1,0,1) +k3 (2,1,3)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
k1+k2+2k3 = x1
k1+k3 = x2
2k1+k2+3k3 = x3
SEKIAN DAN
TERIMA
KASIH