ruang vektor dan subruang vektor

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
RUANG VEKTOR DAN SUBRUANG VEKTOR
1
RUANG VEKTOR
Definisi:
Misalkan (F,+,.) merupakan field. Himpunan V disebut ruang
vektor atas field F, jika V adalah grup abelian di bawah operasi
+, dan jika untuk setiap F, uV, didefinisikan elemen u,
sedemikian sehingga:
1. (u+v)= u+v, untuk semua F, u,vV
2. (+)u=u+u, untuk semua ,F, uV
3. (u)=()u, untuk semua ,F, uV
4. 1.u=u.1=u; elemen 1 adalah elemen kesatuan multiplikatif
dalam F.
Jika fieldnya adalah R, maka V dikatakan ruang vektor riil. Jika
fieldnya Q, maka V adalah ruang vektor rasional. Jika fieldnya
C, maka V disebut ruang vektor kompleks.
Sifat-sifat Ruang Vektor:
 .0=0 untuk F, 0V
 0v=0, untuk 0F, vV
 (-v)=(-v)= -(v), untuk F, vV
 (u-v)=u-v untuk F, u,vV
 Jika v=0 maka =0 atau v=0, untuk F, vV
 Jika v=v, maka = untuk ,F dan vV, v0
 Jika u=v, maka u-v untuk F, 0, dan u,vV
Contoh-contoh:
 Himpunan semua vektor bidang atas field bilangan riil
merupakan ruang vektor.
 R=himpunan bilangan riil. R merupakan field atas R sendiri.
SUBRUANG VEKTOR (SUBSPACE)
Definisi:
Pertemuan 24
2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
Misalkan V ruang vektor atas field F. Suatu subset W takkosong
dari V disebut subruang vektor dari V jika di bawah operasioperasi di V, W sendiri merupakan ruang vektor atas field F.
Atau:
W adalah subruang vektor dari V, jika untuk sembarang
w1,w2W dan ,F, berlaku: w1+w2  W.
Beberapa Teorema:
 Irisan dua subspace sembarang juga merupakan subspace
atas field yang sama.
 Gabungan dua subspace merupakan subspace lagi jika
yang satu terkandung dalam yang lain.
Contoh-contoh:
 W={(a,b,0) / a,bR} merupakan subspace dari ruang vektor
berdimensi tiga.
 W={(x,2y,3z) / x,y,zR} merupakan subspace dari ruang
vektor berdimensi tiga.
Pertemuan 24