sap

Pertemuan 13
Aplikasi Vektor pada Bidang dan Garis
Pada bagian ini terutama akan dibahas tentang persamaan garis dan persamaan
bidang pada ruang .
Definisi 13 (Persamaan Bidang Bentuk Vektor):
Sebuah bidang adalah himpunan titik-titik P yang memenuhi persamaan:
dengan dan
adalah suatu skalar serta
dan
adalah dua buah
vektor yang tidak paralel.
Teorema 1:
Tiga buah titik yang tidak segaris
dan
dapat
memiliki satu bidang yang melalui ketiga titik tersebut apabila mempunyai persamaan:
atau
Persamaan bidang dalam Teorema 1 dapat pula dituliskan dalam bentuk parametric,
yaitu:
atau
Teorema 2:
Jika
dan
adalah tiga buah titik yang tidak segaris,
maka bidang yang melalui titik tersebut diberikan sebagai:
atau dapat ditulis dalam bentuk
95
di mana
adalah sembarang titik.
Teorema 3 (Persamaan Bidang Bentuk Umum):
Persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B, C seperti di atas dapat pula dituliskan
dalam bentuk:
dengan
, dan
Teorema 4:
Andaikan bidang
dan
memiliki normal yang
tidak paralel, maka perpotongan kedua bidang tersebut membentuk garis L. selain itu,
persamaan
dengan dan yang
keduanya tak sama dengan nol akan memberikan bentuk persamaan semua bidang
yang melalui garis L.
Dengan kata lain, apabila ada sebuah titik
dan sebuah vektor
yang tidak sama dengan nol, maka persamaan bidang yang ortogonal (tegak lurus)
dengan vektor akan berbentuk:
Dalam hal ini
adalah sembarang titik
yang terletak pada bidang tersebut.
Gambar 15 Sebuah bidang pada ruang
dengan normal
Bentuk persamaan bidang yang mempunyai normal
dan melalui titik
adalah:
96
Dengan kata lain:
Merupakan sebuah persamaan garis yang mempunyai
sebagai vektor
normalnya.
Teorema 5 (Jarak dari 1 titik ke bidang):
Jika
dan
ax+by+cz=d, maka ada titik tunggal
bidang
dengan
persamaan
pada bidang tersebut sehingga
adalah arah
normal bidang S dan
Contoh 9:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
dan tegak lurus pada vektor
Jawab:
Persamaan bidang tersebut adalah:
Contoh 10:
Carilah persamaan bidang yang melalui titik
dan
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan
mempunyai persamaan:
Titik
tersebut,
persamaan
bidang
itu
dimisalkan
ada pada bidang tersebut, sehingga :
97
Titik
ada pada bidang tersebut, sehingga:
Titik
terletak pada bidang tersebut, sehingga:
Selesaikan ketiga persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan persamaan bidang
tersebut.
Definisi 14:
Persamaan garis L pada ruang
yang melalui titik
dan sejajar dengan
vektor
yang tidak sama dengan nol akan mempunyai bentuk:
Dengan
adalah titik sembarang yang terletak pada garis tersebut.
Gambar 16 Sebuah garis pada ruang
apabila dijabarkan akan berbentuk:
Persamaan
garis
yang
melalui
titik
dan
sejajar
dengan
vektor
akan berbentuk:
98
Dengan
Persamaan di atas tersebut persamaan parametrikuntuk garis.
Selain itu, persamaan garis yang melalui titik
dan sejajar dengan vektor
akan berbentuk:
Persamaan ini disebut persamaan simetrik untuk garis.
Teorema 6:
Jika
dan
adalah dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis yang memuat A
dan B dan garis tersebut mempunyai persamaan:
atau
atau
dengan t adalah sembarang skalar.
Teorema 7 (Rasio Joachimsthal):
Jika t adalah parameter pada Teorema 6 di atas, maka:
a.
b.
c.
jika
tidak sama dengan
terletak antara
dan
jika
d. B terletak antara A dan P jika
e. A terletak antara P dan B jika
Teorema 8 (Jarak 1 titik ke garis):
Jika C adalah sebuah titik L adalah garis yang melalui A dan B, maka ada tepat satu
titik P pada L sehingga
tegak lurus
, yaitu:
99
gambar 17 Jarak titik C terhadap garis AB
teorema 9 (Proyeksi Segmen Garis pada Garis):
apabila dua titik
sehingga
dan
dan
memiliki proyeksi berupa 2 titik pada garis AB, yaitu
dan
tegak lurus garis AB, maka:
Gambar 18 Proyeksi
pada garis AB
Contoh 11:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik
dan sejajar vektor
Jawab:
Dalam hal ini
dan
dengan bentuk persamaan parametrik adalah:
100
dengan
Dalam bentuk persamaan simetrik, persamaannya adalah:
Contoh 12:
Jika
dan
, tentukan titik P pada garis Ab yang memenuhi
Jawab:
Sehingga t = ¾ atau t = 3/2. Oleh karena itu, titik P yang dimaksud adalah
atau
Contoh 13:
L adalah garis yang melalui
melalui
dan
dan
sedangkan N adalah garis yang
. Buktikan bahwa sepasang garis tersebut
berpotongan dan tentukan titik potongnya.
Jawab:
Garis L mempunyai persamaan
atau
Sementara itu, garis N mempunyai persamaan
atau
Samakan persamaan kedua garis tersebut dan setelah disederhanakan maka diperoleh
SPL:
101
Didapat t = 2/3 dan s = 1/3. Jadi, titik potong garis L dan garis N di titik
(-2/3, 5/3, 1/3).
Contoh 14:
Tunjukkan bahwa bidang
dan bidang
berpotongan
membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut !
Jawab:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL:
Diselesaikan dan menghasilkan penyelesaian:
Dapat pula ditulis sebagai berikut:
Persamaan garis tersebut melalui titik A(-1/2, 3/2, 0) dan mempunyai vektor arah
Soal-Soal Latihan
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
1. Tentukan vektor
dan gambarkan dalam sumbu koordinat
B(4, 2).
2. Gambarkan dalam sumbu koordinat
, vektor
jika A(1, -1) dan
bila
dan
102
3. Untuk menghitung luas segitiga dalam
dapat digunakan dua rumus, yaitu:
a. Luas segitiga
b. Luas segitiga
dengan
Dengan menggunakan kedua cara di atas, hitunglah luas segitiga yang
mempunyai titik sudut
dan
4. Tentukan titik di mana garis yang melalui
dan
memotong
bidang xz.
5. Misalkan A, B, dan C adalah tiga buah titik yang non-collinear (tidak segaris). E
adalah titik tengah BC dan F adalah titik pada segmen EA yang memenuhi
.
Buktikan bahwa
Titik F sering disebut sebagai titik pusat (centroid) segitiga ABC.
1. Buktikan bahwa titik
dan
adalah collinear (terletak
dalam satu garis).
2. Jika A(2, 3, -1) dan B(3, 7, 4), tentukan titik
pada garis AB yang memenuhi
3. M adalah garis yang melalui A(1, 2, 3) yang sejajar dengan garis yang
menghubungkan B(-2, 2, 0) dan C(4, -1, 7). Sementara itu, N adalah garis yang
menghubungkan E(1, -1, 8) dan F(10, -1, 11). Buktikan bahwa
dan
berpotongan dan tentukan titik potongnya.
103
4. Buktikan bahwa sudut-sudut yang dibentuk titik A(-3, 5, 6), B(-2, 7, 9), dan C(2, 1,
7) adalah
dan
5. Tentukan titik pada garis AB yang terdekat dengan titik pusat (0, 0, 0) di mana
dan
6. Garis N ditentukan oleh dua bidang:
dan
.
7. Tentukan titik P dan N yang terdekat dengan titik C(1, 0, 1) dan tentukan jarak PC.
8. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (6, 0, 2) dan tegak lurus dengan
garis yang merupakan perpotongan dua bidang:
dan
9. Tentukan panjang proyeksi segmen garis AB pada garis L, di mana A(1, 2, 3) dan
B(5, -2, 6) serta garis L adalah garis yang melalui titik C dan D di mana C(7, 1, 9)
dan D(-1, 5, 8).
10. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(3, -1, 2) dan yang tegak lurus pada
garis L yang menghubungkan B(2, 1, 4) dan C(-3, -1, 7). Tentukan pula titik potong
garis L dan bidang tersebut serta tentukan jarak dari A ke L.
11. B adalah titik yang terletak pada bidang
. Sementara itu, titik A(6,
-1, 11) dan BA membentuk garis yang tegak lurus pada bidang tersebut. Tentukan
B dan panjang jarak AB.
12. Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-3, 0, 2), B(6, 1, 4), dan C(-5, 1, 0)
mempunyai luas sebesar
13. Tentukan persamaan bidang melalui titik A(2, 1, 4), B(1, -1, 2), dan C(4, -1, 1).
104