DIFERENSIAL VEKTOR

DIFERENSIAL VEKTOR
KULIAH 2
Fungsi dan medan skalar
 Fungsi dan medan vektor
 Kurva, tangen dan panjang busur

MATERI





Fungsi skalar adalah fungsi yang memuat besaran saja,
tanpa arah.
Ex: f= f(P)
Dimana P adalah titik di daerah defenisi yang bisa
merupakan daerah 3 dimensi, di permukaan atau kurva
Fungsi skalar didefenisikan sebagai medan skalar pada
daerah defenisi/ permukaan/ kurva
Ex:medan temperatur dalam tubuh
medan tekanan di udara di dalam atmosfir
Fungsi skalar dan medan skalar

Jika setiap titik P (x,y,z) dari daerah R yang merupakan
bidang skalar  (x,y,z) maka  (x,y,z) adalah suatu fungsi
skalar dan medan skalar dinyatakan bearada di daerah R
Fungsi vektor adalah fungsi yang memuat besaran dan
arah
 V=V(v1(P), v2(P),v3(P))
 Medan vektor adalah fungsi vektor di daerah defenisi 3
dimensi, permukaan atau kurva

FUNGSI VEKTOR DAN MEDAN VEKTOR
Fungsi skalar dan vektor dapat juga merupakan fungsi waktu
atau parameter lain
Turuanan dari vector v diperoleh dengan menurunkan (diferensial)
Dari kompenen vector tersebut secara terpisah
KURVA
Koordinat x, y dan z adalah koordinat kartesian
(koordinat persegi).
 Untuk masing masing harga t=t0 yang dihubungkan
dengan titik C untuk posisi vector r(t0) dengan koordinat
x(t0),y(t0) dan z(t0).
 Koordinat Parametrik memiliki kelebihan dimana kurva C
dalam fungsi t dapat diproyeksikan ke bidang xy dan xz.

lingkaran : x 2  y 2  a 2
r (t )  a cos ti  a sin tj
x2 y2
ellips
: 2  2 1
r (t )  a cos ti  b sin tj
a
b
ciscular helix  x 2  y 2  a 2 , c  0
r (t )  a cos ti  a sin tj  ctk
PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA
BENTUK LIMIT
r ‘(t)= tangen vektor
U=Unit tangen vektor
Tangen di titik P pada kurva c
Unit tangen vektor
r '  4 sin 2 t  cos2 t
r '  2 sin ti  cos tj

r'
4 sin 2 t  cos2 t
Bila pergerakan partikel pada kurva C dinyatakan dalam
persamaan parameterik r(t) yang merupakan fungsi
waktu t maka tangen vektor dari C disebut vektor
kecepatan v. Panjangnya kurva dengan kecepatan v
adalah |v|=|r’| = 𝑟 ′ . 𝑟′=ds/dt
 Turunan kedua r(t) disebut sebagai vektor percepatan
a(t)=v’(t)=r”(t)

Pergerakan partikel, kecepatan dan
percepatan

a=atan + anorm
P
anorm
atan
V(t)C
anorm
atan
Arah tangensial dan normal percepatan
PANJANG KURVA
PANJANG BUSUR DARI KURVA
UNIT TANGEN VEKTOR
Tentukan vektor satuan tangen (gradien) pada titik (2,4,7) untuk kurva
dengan persamaan Parametrik x=2t;y=t2+3,z=2t2+5
(a) Tentukan persaman vektornya


r (t )  2ti  (t 2  3) j  2t 2  5 k
(b) Tentukan harga t dimana hasil vektor pada titik (2,4,7), trial and
error dari persamaan
Untuk t =1 maka r(1)= 2i+4j+7k
ok
(c) Tentukan turunan dr/dt= r’(t)
r’(t)= 2i+2tj+4tk pada t=1 maka r’(t)= 2i+2j+4k
(d) Tentukan besaran |r’|
r '  22  22  42  24  2 6
LATIHAN
(e) Tangen satuan

r ' (t ) 2i  2 j  4k i  j  2k


r ' (t )
2 6
6

Tentukan turunan fektor (turunan 1 dan 2) dari vector berikut
Latihan

Turunan pertama dari fungsi skalar adalah tangen vektor

Tangen dari kurva diperoleh dari turunan pertama dari
persamaan parameteriknya

Unit tangen vektor adalah tangen vektor dibagi dengan
besaran vektor tsb.

Panjang busur kurva adalah integral dari akar perkalian
perkalian titik vektor gradien
KESIMPULAN