BAB II TEOREMA NILAI RATA

Teorema Nilai Rata-rata
BAB II
TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya
(turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis real
demikian pula dalm kuliah kalkulus diferensial. Pada bab ini akan diberikan teorema penting
terkait dengan derivatif suatu fungsi dan beberapa contohnya, dimulai dengan meninjau hubungan
antara nilai ekstrem relatif (maksimum atau minimum relatif) suatu fungsi dan nilai derivatifnya
Sebelum pembahasan lebih lanjut, diberikan terlebih dahulu pengertian maksimum dan
minimum relatif suatu fungsi.
Fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai maksimum relatif di titik c  [a, b] jika terdapat persekitaran
dari titik c dengan radius   0, yaitu 𝑉𝛿 (𝑐)sehingga𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∩ 𝑉𝛿 (𝑐).
Fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai minimum relatif di titik c  [a, b] jika terdapat persekitaran
dari titik c dengan radius   0, yaitu 𝑉𝛿 (𝑐)sehingga𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∩ 𝑉𝛿 (𝑐).
Jika fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik c  [a, b]
maka fungsi f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik c  [a, b]
Pembahasan selanjutnya memberikan justifikasi secara teoritis sebagai suatu proses yang
umum untuk menemukan titik dimana fungsi f mempunyai ekstrem relatif dengan mencari harga
derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun cara tersebut
hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval. Untuk kejelasan hal ini
perhatikan contoh berikut.
Diberikan fungsi f : [0, 1]  R yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥. Dapat dimengerti bahwa
x = 0 adalah satu-satunya titik dimana f mencapai nilai minimum relatif dan x = 1 adalah satusatunya titik dimana f mencapai nilai maksimum relatif, akan tetapi tak satupun dapat ditemukan
harga nol dari derivatifnya.
Sebelum diberikan Teorema 2.1 perlu diberikan terlebih dahulu pengertian titik interior
(interior point) suatu himpunan tak kosong dengan topologi biasa pada garis real.
Diberikan S  R, titik c  S disebut titik interior himpunan S, jika terdapat persekitaran c dengan
radius   0, yaitu 𝑉𝛿 (𝑐) sehingga berlaku 𝑉𝛿 (𝑐)  S.
Koleksi semua titik interior himpnan S disebut interior (bagian dalam) himpunan S dan dinotasikan
dengan 𝑆 𝑜 .
Sangatlah mudah dimengerti bahwa interior setiap interval tertutup terbatas [a, b] pada garis real
adalah (a, b).
Teorema 2.1 (Teorema Ekstrem Interior)
Diberikan c titik interior interval I = [a, b] dan fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai ekstrem
relative. Jika fungsi f mempunyai derivatif di titik c, maka 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
12
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Bukti:
Dibuktikan untuk kasus f mempunyai nilai maksimum relative. Misalkan 𝑓 𝑐 maksimum relative.
Andaikan 𝑓 ′ 𝑐 ≠ 0, maka 𝑓 ′ 𝑐  0 atau 𝑓 ′ 𝑐  0.
(i) Untuk 𝑓 ′ 𝑐  0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I)
maka terdapat 𝑉𝛿 (𝑐)  I, sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
> 0,
∀𝑥 ∈ 𝑉𝛿 𝑐 , 𝑥 ≠ 𝑐.
𝑥−𝑐
Jika 𝑥 ∈ 𝑉𝛿 𝑐 dan 𝑥 > 𝑐 maka 𝑥 − 𝑐 > 0, sehingga diperoleh
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)
>0
𝑥−𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 >0
𝑓 𝑥 >𝑓 𝑐 .
Hal ini bertentangan dengan 𝑓 𝑐 sebagai maksimum relative.
(ii) Untuk 𝑓 ′ 𝑐  0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I)
maka terdapat 𝑉𝛿 (𝑐)  I, sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
< 0,
∀𝑥 ∈ 𝑉𝛿 𝑐 , 𝑥 ≠ 𝑐.
𝑥−𝑐
Jika 𝑥 ∈ 𝑉𝛿 𝑐 dan 𝑥 < 𝑐 maka 𝑥 − 𝑐 < 0, sehingga diperoleh
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)
>0
𝑥−𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 >0
𝑓 𝑥 >𝑓 𝑐 .
Hal ini bertentangan dengan 𝑓 𝑐 sebagai maksimum relative.
Dari (i) dan (ii) terbukti 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Bukti untuk kasus f mempunyai nilai minimum relative diserahkan kepada pembaca untuk latihan.
Akibat 2.2
Diberikan f : [a, b]  R fungsi kontinu pada interval [a, b] dan f mempunyai nilai ekstrem
relative di c  (a, b), maka derivatif fungsi f di titik c tidak ada atau 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Untuk memperjelas pemahaman Akibat 4.2, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai
real pada [–1, 1] yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 maka f mencapai nilai minimum relative di
0  (–1, 1). Tetapi 𝑓 ′ 0 tidak ada.
Teorema 2.3 (Teorema Rolle)
Andaikan fungsi f kontinu pada [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval
terbuka (a, b) dan 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0, maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga
𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Bukti:
Jika 𝑓 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka jelas 𝑓 ′ 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Untuk kasus 𝑓 𝑥 ≠ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), maka 𝑓 𝑥 > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) atau 𝑓 𝑥 < 0
untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
13
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Tanpa menghilangkan keumuman bukti, untuk selanjutnya diasumsikan 𝑓 𝑥 > 0 untuk setiap
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Oleh karena f kontinu pada [a, b], berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum (Teorema
16.3 pada Buku Analisis Real I) maka f mempunyai nilai maksimum di suatu titik c  [a, b]. Karena
𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0 maka c  (a, b) dan karena 𝑓 ′ 𝑐 ada maka berdasarkan Teorema 2.1 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Teorema 2.4 (Teorema Nilai Rata-rata = TNR)
Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik
dalam interval terbuka (a, b), maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑏 − 𝑎).
Y
(b, f(b))
y = f(x)
y = (x)
(a, f(a))
0
a
b
c
X
Bukti
Didefinisikan fungsi
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎 ∀𝑥 ∈ 𝐼
𝑏−𝑎
Dapat dijelaskan bahwa  merupakan fungsi yang kontinu pada I = [a, b] dan  terdiferensial pada
(a, b) serta (a) = (b) = 0. Jelaskan!
Berdasarkan Teorema Rolle, maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga 𝜑′ 𝑐 = 0.
Perhatikan:
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝜑′ 𝑐 = 𝑓′ 𝑐 −
𝑏−𝑎
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
0 = 𝑓′ 𝑐 −
𝑏−𝑎
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑏 − 𝑎).
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎 −
Teorema 2.5
Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], f terdiferensial pada interval
terbuka (a, b) dan 𝑓 ′ 𝑥 = 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) maka f fungsi konstan pada [a, b].
14
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Bukti
Cukup dibuktikan bahwa 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 ∀𝑥 > 𝑎. Berdasarkan TNR, maka terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥)
sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑥 − 𝑎) untuk 𝑎 < 𝑐 < 𝑥 < 𝑏. Oleh karena 𝑓 ′ 𝑐 = 0 untuk 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥)
maka 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 0(𝑥 − 𝑎). Terbukti 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 .
Akibat 2.6
Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu pada interval tertutup I = [a, b], terdiferensial
pada interval terbuka (a, b) dan 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), maka terdapat suatu konstanta C
sehingga 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝐶.
Bukti
Didefinisikan suatu fungsi 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼 sehingga 𝑕′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥).
Karena 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 maka 𝑕′ 𝑥 = 0, sehingga berdasarkan Teorema 2.5 𝑕 𝑥 = 𝐶 pada [a, b].
Dengan demikian 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝐶 ∀𝑥 ∈ 𝐼 = [𝑎, 𝑏].
Untuk memperjelas teorema tersebut di atas, perhatikan contoh berikut. Diberikan dua
fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan dengan
𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 , ∀𝑥 ∈ [−2, 2] dan 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 4, ∀𝑥 ∈ [−2, 2]
Perhatikan bahwa 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 ∀𝑥 ∈ (−2, 2) dan 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 4.
Selanjutnya diberikan pengertian fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun sebagai berikut.
a. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton naik pada [a, b] jika untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏]
dengan𝑥1 < 𝑥2 berlaku 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ).
b. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton turun pada [a, b] jika untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏]
dengan𝑥1 < 𝑥2 berlaku 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ).
c. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton naik tegas pada [a, b] jika untuk setiap
𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan𝑥1 < 𝑥2 berlaku 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ).
d. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton turun tegas pada [a, b] jika untuk setiap
𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan𝑥1 < 𝑥2 berlaku 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ).
e. Fungsi f turun jika fungsi –f naik.
Teorema berikut menunjukkan hubungan turun atau naiknya suatu fungsi dengan nilai derivatifnya
pada suatu interval.
Teorema 2.7
Diberikan fungsi f : [a, b]  R terdiferensial pada interval [a, b], maka:
a. fungsi f naik pada [a, b] jika dan hanya jika 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
b. fungsi f turun pada [a, b] jika dan hanya jika 𝑓 ′ 𝑥 ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
Bukti
Bukti bagian a.
(i) Syarat perlu
Diketahui f naik pada [a, b], berarti untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan𝑥1 < 𝑥2 berlaku
𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ). Diketahui pula f terdiferensial pada [a, b], berarti 𝑓 ′ 𝑐 ada untuk 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏].
Ambil sembarang 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
15
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Jika 𝑥 < 𝑐, karena f naik maka 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) ≤ 0
Akibatnya
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
≥ 0.
𝑥−𝑐
Jika 𝑥 > 𝑐, karena f naik maka 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) ≥ 0
Akibatnya juga
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
≥ 0.
𝑥−𝑐
Berdasarkan Teorema 12.9 (pada Buku Analisis Real I) maka diperoleh
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
𝑓 ′ 𝑐 = lim
≥ 0.
𝑥→𝑐
𝑥−𝑐
Karena c sembarang anggota [a, b], maka dapat disimpulkan 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
(ii) Syarat cukup
Diketahui 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Ambil sembarang 𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑥1 < 𝑥2 .
Oleh karena f terdiferensial pada (𝑥1 , 𝑥2 ) dan f kontinu pada [𝑥1 , 𝑥2 ]. Selanjutnya dengan
menggunakan TNR dapat dipilih titik 𝑐 ∈ (𝑥1 , 𝑥2 ) sehinga 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 ).
Karena 𝑓 ′ 𝑐 ≥ 0 dan 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 ) ≥ 0, sehingga diperoleh
𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ). Kesimpulannya fungsi f naik.
Bukti bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Teorema berikut memberikan suatu syarat cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrem
relative di titik interior pada suatu interval yang disebut uji derivative pertama.
Teorema 2.8
Diberikan fungsi f : [a, b]  R kontinu pada interval [a, b] dan c titik interior [a, b]. Misalkan f
terdiferensial pada (𝑎, 𝑐) dan (𝑐, 𝑏), maka:
a. Jika terdapat 𝑉𝛿 𝑐  [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 untuk
setiap 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿) maka f mencapai maksimum relative di titik c.
b. Jika terdapat 𝑉𝛿 𝑐  [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 untuk
setiap 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿) maka f mencapai minimum relative di titik c.
Bukti
a. Jika 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐), maka berdasarkan TNR terdapat 𝑐𝑥 ∈ (𝑥, 𝑐) sehingga
𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑐𝑥 𝑐 − 𝑥 .
Karena 𝑓 ′ 𝑐𝑥 ≥ 0 maka diperoleh 𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑥 ≥ 0. Jadi 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐).
Demikian halnya jika 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿), maka berdasarkan TNR terdapat 𝑐𝑥 ∈ (𝑐, 𝑥) sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = 𝑓 ′ 𝑐𝑥 𝑥 − 𝑐 .
Karena 𝑓 ′ 𝑐𝑥 ≤ 0 maka diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 ≤ 0. Jadi 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿).
Terbukti f mencapai nilai maksimum relative di c.
b. Bukti bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Untuk lebih memperjelas pemahaman Teorema 2.8 perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi
bernilai real f yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 6𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [−3, 1]. Dengan
menggunakan uji derivative pertama akan ditentukan nilai ekstrem relative fungsi f.
16
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Perhatikan 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 + 6 untuk setiap 𝑥 ∈ [−3, 1]. Dapat ditentukan c = –1 dan  = 1, sehingga
jika 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) maka 𝑥 ∈ (−2, −1), akibatnya diperoleh 𝑓 ′ 𝑥 ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (−2, −1).
Selanjutnya jika 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿) maka 𝑥 ∈ (−1, 0), diperoleh 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (−1, 0).
Jadi f mancapai minimum relative di c = –1.
Penerapan Teorema Nilai Rata-rata (Ketidaksamaan)
1. Buktikan bahwa 𝑒 𝑥 ≥ 1 + 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑅.
Penyelesaian:
Karena 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk
membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 3 kasus, yaitu:
a. Jika 𝑥 = 0, maka benar 𝑒 0 = 1 + 0
b. Jika 𝑥 > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, 𝑥] terdapat 𝑐 ∈ (0, 𝑥) sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓 0 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑥 − 0)
𝑒 𝑥 − 𝑒0 = 𝑒𝑐 𝑥
𝑒 𝑥 = 𝑒0 + 𝑒𝑐 𝑥
𝑒 𝑥 = 1 + 𝑒𝑐 𝑥
Oleh karena 𝑐 ∈ (0, 𝑥) maka 𝑒 𝑐 > 1, sehingga diperoleh 𝑒 𝑥 ≥ 1 + 𝑥 ∀𝑥 > 0.
c. Jika 𝑥 < 0, dengan menggunakan TNR pada interval [𝑥, 0] terdapat 𝑐 ∈ (𝑥, 0) sehingga
𝑓 0 − 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑐 (0 − 𝑥)
𝑒 0 − 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑐 (−𝑥)
1 − 𝑒 𝑥 = −𝑥𝑒 𝑐
𝑐
Oleh karena 𝑐 ∈ (𝑥, 0) maka 𝑒 < 1, dan dikarenakan −𝑥 > 0, maka 1 − 𝑒 𝑥 < −𝑥.
Akibatnya 𝑒 𝑥 ≥ 1 + 𝑥 ∀𝑥 < 0.
2. Tunjukkan sin 𝑥 ≤ 𝑥 ∀𝑥 ≥ 0.
Penyelesaian:
Karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk
membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 2 kasus, yaitu:
a. Jika 𝑥 = 0, maka benar sin 0 = 0
b. Jika 𝑥 > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, 𝑥] terdapat 𝑐 ∈ (0, 𝑥) sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓 0 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑥 − 0)
sin 𝑥 − sin 0 = (cos 𝑐)𝑥
sin 𝑥 = 𝑥(cos 𝑐)
Oleh karena −1 ≤ cos 𝑐 ≤ 1 maka −𝑥 ≤ 𝑥 cos 𝑐 ≤ 𝑥 yang berakibat −𝑥 ≤ sin 𝑥 ≤ 𝑥, ini
ekuivalen dengan sin 𝑥 ≤ 𝑥.
3. Ketidaksamaan Bernoully
Jika 𝛼 > 1 maka (1 + 𝑥)𝛼 ≥ 1 + 𝛼𝑥, ∀𝑥 > −1.
Bukti:
Jika 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)𝛼 , maka 𝑓 ′ 𝑥 = 𝛼(1 + 𝑥)𝛼−1 , ∀𝑥 > −1. Selanjutnya akan dibuktikan dalam
3 kasus, yaitu:
a. Jika 𝑥 = 0, maka benar (1 + 0)𝛼 = 1 + 𝛼. 0
b. Jika 𝑥 > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, 𝑥] terdapat 𝑐 ∈ (0, 𝑥) sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓 0 = 𝑓 ′ 𝑐 (𝑥 − 0)
(1 + 𝑥)𝛼 − 1 = 𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼−1
17
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼−1
Jika 𝑐 ∈ (0, 𝑥) dan karena 𝛼 > 1, maka (1 + 𝑐)𝛼 −1 > 1. Oleh karenanya
(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼−1 > 1 + 𝑥𝛼
c. Jika −1 < 𝑥 < 0, dengan menggunakan TNR pada interval [𝑥, 0] terdapat 𝑐 ∈ (𝑥, 0) sehingga
𝑓 0 − 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑐 (0 − 𝑥)
1 − (1 + 𝑥)𝛼 = −𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼 −1
−(1 + 𝑥)𝛼 = −1 − 𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼 −1
Oleh karena 𝑐 ∈ (𝑥, 0), dan karena 𝛼 > 1, maka (1 + 𝑐)𝛼 −1 < 1. OLeh karenanya
−(1 + 𝑥)𝛼 = −1 − 𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼 −1 < −1 − 𝑥𝛼
(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝑥𝛼(1 + 𝑐)𝛼−1 > 1 + 𝑥𝛼
Sifat-sifat Nilai Tengah Derivatif
Pada bagian ini diakhiri dengan memberikan suatu teorema menarik yang dikenal dengan
teorema Darboux. Teorema tersebut menyatakan bahwa, jika fungsi bernilai real f terdiferensial
pada domainnya, maka fungsi 𝑓′ mempunyai nilai tengah. Hal tersebut mempunyai maksud, jika 𝑓′
mengambil pada nilai A dan B maka setiap nilai 𝑓′ juga berada di antara A dan B.
Lemma 2.9
Diberikan interval 𝑎, 𝑏  𝑅, fungsi f : [a, b]  R , 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] dan f terdiferensial di c,
diperoleh:
a. Jika 𝑓 ′ (𝑐) > 0 maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) > 𝑓 𝑐 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan
𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿.
b. Jika 𝑓 ′ (𝑐) < 0 maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) > 𝑓 𝑐 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan
𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐.
Bukti
a. Bukti bagian a ini diserahkan kepada pembaca untuk latihan
b. Jika
𝑓′ 𝑐 < 0
maka
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
<0
𝑥→𝑐
𝑥−𝑐
berdasarkan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I) maka terdapat 𝑉𝛿 (𝑐)
sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
< 0,
∀𝑥 ∈ 𝑉𝛿 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏 , 𝑥 ≠ 𝑐.
𝑥−𝑐
Berarti ada 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 dengan 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 berlaku
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
< 0.
𝑥−𝑐
Jika 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐 maka 𝑥 − 𝑐 < 0, sehingga diperoleh
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)
>0
𝑥−𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐 >0
𝑓 𝑥 >𝑓 𝑐 .
lim
18
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Teorema 2.10 (Teorema Darboux)
Jika fungsi bernilai real f terdiferensial pada interval 𝑎, 𝑏  𝑅 dan k suatu bilangan di antara
′
𝑓 𝑎 dan 𝑓 ′ 𝑏 maka terdapat paling sedikit satu titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 𝑘.
Bukti
Kemungkinan dapat terjadi (i) 𝑓 ′ 𝑎 < 𝑘 < 𝑓 ′ 𝑏 atau (ii) 𝑓 ′ 𝑏 < 𝑘 < 𝑓 ′ 𝑎 . Kita buktikan
untuk kemungkinan (i).
Misalkan 𝑓 ′ 𝑎 < 𝑘 < 𝑓 ′ 𝑏 . Didefinisikan fungsi 𝑔: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 dengan
𝑔 𝑥 = 𝑘𝑥 − 𝑓 𝑥 ,
∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Karena f terdiferensial pada 𝑎, 𝑏 maka f kontinu pada 𝑎, 𝑏 . Oleh karenanya g memiliki nilai
maksimum pada 𝑎, 𝑏 . Perhatikan bahwa 𝑔′ 𝑥 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑥 . Oleh karena 𝑓 ′ 𝑎 < 𝑘 maka
𝑔′ 𝑎 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑎 > 0. Berdasarkan Lemma 2.9 bagian a, maka ada 𝛿 > 0 sehingga 𝑔(𝑥) > 𝑔(𝑎)
untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿. Jadi 𝑔(𝑎) bukan nilai maksimum g. Selanjutnya
karena 𝑘 < 𝑓 ′ 𝑏 maka 𝑔′ 𝑎 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑏 < 0. Berdasarkan Lemma 2.9 bagian b, maka ada 𝛿 > 0
sehingga 𝑔(𝑥) > 𝑔(𝑏) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑏 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑏. Jadi 𝑔(𝑏) juga bukan nilai
maksimum g. Jadi nilai maksimum g tidak dicapai baik di a maupun di b. Oleh karena itu ada titik
𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑔(𝑐) maksimum, dan berdasarkan Teorema 𝑔′ 𝑐 = 0.
Jadi 𝑔′ 𝑐 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑐 = 0. Dengan demikian diperoleh𝑓 ′ 𝑐 = 𝑘.
Contoh 2.11
Diberikan fungsi signum g yang dibatasi (restriksi) pada domain [−1, 1], 𝑔: [−1, 1] → 𝑅, yaitu
1 , 𝑥>0
𝑔= 0 , 𝑥=0
−1 , 𝑥 < 0
Dapat dimengerti bahwa fungsi g tidak memenuhi sifat nilai tengah derivative pada [−1, 1]. Oleh
karenanya menggunakan Teorema Darboux, tidak terdapat fungsi f sehingga 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔(𝑥) untuk
setiap 𝑥 ∈ [−1, 1]. Dengan kata lain tidak ada fungsi pada [−1, 1] yang mempunyai turunan fungsi g.
LATIHAN 2
1. Tentukan ekstrem relative, interval dimana fungsi naik dan interval dimana fungsi turun
1
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 , 𝑥 ≠ 0
1
b. 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +1 , 𝑥 ∈ 𝑅
c. 𝑕 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2 , 𝑥 > 0
1
d. 𝑘 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥 2 , 𝑥 ≠ 0
2. Tentukan ekstrem relative fungsi-fungsi berikut dengan domain tertentu.
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 , −4 ≤ 𝑥 ≤ 4
3
b. 𝑔 𝑥 = 1 − (𝑥 − 1)2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
c. 𝑕 𝑥 = 𝑥 𝑥 2 − 12 , −2 ≤ 𝑥 ≤ 3
3
d. 𝑘 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 8 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 9
3. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa
sin 𝑥 − sin 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
19
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
4. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa
𝑥−1
< log 𝑥 < 𝑥 − 1,
untuk 𝑥 > 1
𝑥
5. Diberikan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑏), Tunjukkan
bahwa, jika lim𝑥→𝑎 𝑓 ′ (𝑥) = 𝐴, maka 𝑓 ′ (𝑎) = 𝐴
6. Diberikan 𝑓: 𝑅 → 𝑅 didefinisikan dengan
1
2
𝑥
+
2𝑥
sin
, 𝑥≠0
𝑓 𝑥 =
𝑥
0
, 𝑥=0
Tunjukkan bahwa fungsi f mempunyai minimum mutlak di 𝑥 = 0, tetapi derivatifnya
mempunyai nilai positif dan negative di sekitar 0.
7. Diberikan 𝑔: 𝑅 → 𝑅 didefinisikan dengan
1
2
𝑥
+
2𝑥
sin
, 𝑥≠0
𝑔 𝑥 =
𝑥
0
, 𝑥=0
′
Tunjukkan bahwa fungsi 𝑔 0 = 1, akan tetapi di sekitar 0 manapun derivatifnya mempunyai
nilai positif dan negative, jadi fungsi g tidak monoton di sekitar 0.
20
Thobirin – Herawan, Analisis Real II