4. kinematika dan dinamika rotasi [Compatibility

Fisika Umum (MA101)
Topik hari ini:
• Kinematika Rotasi
• Hukum Gravitasi
• Dinamika Rotasi
Kinematika Rotasi
Perpindahan Sudut
• Riview gerak linear:
– Perpindahan, kecepatan, percepatan
∆r
∆v
∆r = rf − ri , v =
, a=
∆t
∆t
• Perlu konsep yang sama untuk
benda bergerak melingkar
• Seperti sebelumnya:
– Perlu sebuah sistem acuan tetap
(garis)
– Gunakan sistem koordinat polar
Perpindahan Sudut (lanjutan)
• Setiap titik pada benda yang
bergerak melingkar terhadap
titik O
• Secara umum sudut diukur
dalam radian
s
θ=
r
• Cat:
1 rad =
θ [rad] =
Panjang busur
Jari--jari
Jari
360°
= 57.3°
2π
π
θ [derajat]
180°
Perpindahan Sudut (lanjutan)
• Perpindahan sudut didefinisikan
sebagai sudut yang dibuat
benda yang berotasi selama
selang waktu tetentu
∆θ = θ f − θ i
• Setiap titik dalam piringan
mengalami perpindahan sudut
yang sama dalam selang waktu
tertentu
Kecepatan Sudut
• Kecepatan sudut ratarata (laju), ω, dari benda
tegar adalah
perbandingan dari
perpindahan sudut
dengan selang waktu
θ f −θi
∆θ
ω=
=
t f − ti
∆t
Kecepatan Sudut
• Kecepatan sudut sesaat (laju)
didefinisikan sebagai limit dari laju
rata-rata dengan selang waktu
mendekati nol
∆θ
ω = lim
∆t →0 ∆t
• Satuan dari laju sudut adalah
radian/sec (rad/s)
• Laju sudut akan menjadi
– positif jika θ bertambah (berlawanan
arah dengan jarum jam)
– negatif jika θ berkurang (searah
jarum jam)
Percepatan Sudut
• Bagaimana jika benda awalnya diam dan
kemudian mulai berotasi?
• Percepatan sudut rata-rata, α, dari
sebuah benda didefinisikan sebagai
perbandingan antara perubahan laju
sudut dengan selang waktu yang
diperlukan benda untuk mengalami
perubahan laju sudut tersebut:
ω f − ωi
∆ω
α=
=
t f − ti
∆t
• Satuannya adalah rad/s²
• Hal yang sama, percepatan sudut
sesaat:
∆ω
α = lim
∆t → 0 ∆t
Catatan tentang kinematika sudut
Ketika sebuah benda tegar berotasi terhadap
sumbu tetap tertentu, tiap bagian dari benda
memiliki laju sudut dan percepatan sudut yang
sama
• Artinya θ, ω, dan α tidak bergantung pada r, jarak
tiap bagian benda ke sumbu rotasi
Analogi Antara Gerak Linier dan
Gerak Rotasi
Gerak Rotasi Terhadap
Gerak Linier dengan
Sumbu Tertentu dengan
Percepatan Konstan
Percepatan Sudut Konstan
ω = ω i + αt
v = vi + at
1 2
∆θ = ω i t + αt
2
1 2
∆x = vi t + at
2
ω = ω + 2α∆θ
2
2
i
v = v + 2 a∆x
2
2
i
Hubungan Antara Besaran
Sudut dan Besaran Linier
• Perpindahan
• Laju
∆s
∆θ =
r
∆θ 1 ∆s
=
∆t r ∆t
or
1
ω= v
r
• Percepatan
a = αr
Hubungan Antara Besaran
Sudut dan Besaran Linier
(lanjutan)
• Perpindahan
s = θr
• Laju
v = ωr
• Percepatan
a = αr
• Setiap titik pada benda
yang berotasi memiliki
gerak sudut yang
sama
• Setiap titik pada benda
yang berotasi tidak
memiliki gerak linier
yang sama
Tes Konsep 1
Seorang anak perempuan duduk di sisi paling luar pada
sebuah komedi putar, dan seorang anak laki-laki duduk
ditengah-tengah antara anak perempuan dengan sumbu
rotasi komedi putar. Komedi putar membuat satu putaran
penuh tiap detiknya. Laju sudut anak laki-laki adalah
a. Setengah dari laju sudut anak perempuan.
b. Sama dengan laju sudut anak perempuan.
c. Dua kali dari laju sudut anak perempuan.
d. Tidak mungkin ditentukan.
Jawab b
Percepatan Sentripetal
• Sebuah benda yang
bergerak melingkar,
meskipun bergerak
dengan laju konstan,
akan memiliki percepatan
karena kecepatannya
(arah) berubah
• Percepatan ini disebut
percepatan sentripetal
• Percepatan ini berarah ke
pusat gerak
Percepatan Sentripetal dan
Kecepatan Sudut
• Hubungan antara kecepatan
sudut dan kecepatan linier
v = ωr
• Percepatan sentripetal dapat
juga dihubungkan dengan
kecepatan sudut
∆v ∆s
v
=
⇒ ∆v = ∆s , dan
v
r
r
∆v
a=
∆t
v ∆s
⇒ a=
r ∆t
Sehingga:
Segitiga
yang sama!
v2
aC =
r
or aC = ω 2 r
Percepatan Total
• Apa yang terjadi apabila
kecepatan linier berubah?
• Dua komponen percepatan:
– komponen sentripetal dari
percepatan bergantung pada
perubahan arah
– komponen tangensial dari
percepatan bergantung pada
perubahan kecepatan (laju)
slowing-down car
• Percepatan total dapat
dirumuskan dari komponen
tsb:
a = a +a
2
t
2
C
Sifat Vektor dari Besaran Sudut
• Seperti pada kasus linier,
perpindahan, kecepatan
dan percepatan adalah
vektor:
• Menentukan arah positif
atau negatif
• Cara yang mudah dengan
menggunakan aturan
tangan kanan
– Genggam sumbu rotasi
dengan tangan kanan anda
– Kepalkan jari-jari anda
searah dengan arah rotasi
– Ibu jari (jempol) anda
menunjukkan arah ω
Gaya yang Menyebabkan
Percepatan Sentripetal
• Hukum II Newton mengatakan bahwa
percepatan sentripetal diakibatkan oleh gaya
v2
∑ F = maC = m r
– F menyatakan gaya-gaya yang bekerja pada benda
yang membuat benda mengikuti lintasan melingkar
• Gaya gesek (belokan miring dan rata)
• Tegangan pada tali
• Gravitasi
Tes Konsep 2
Dalam gesekan statis atau kinetis kah apabila sebuah mobil
tidak selip atau tergelincir?
a. Statis
b. Kinetis
Jawab a
Lingkaran Horizontal
• Komponen horizontal dari
tegangan tali
menyebabkan
percepatan sentripetal
aC = g tan θ
Gaya dalam Kerangka Acuan
yang Dipercepat
• Bedakan gaya riel dan gaya fiksi
• Gaya Sentrifugal adalah gaya fiksi
• Gaya yang riel selalu
merepresentasikan interaksi antara
benda
Hukum Gravitasi
Hukum Newton tentang
Gravitasi Umum
• Setiap partikel dalam alam semesta
menarik partikel lain dengan gaya yang
berbanding lurus dengan perkalian massa
dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jarak antar mereka
m1m2
F =G 2
r
G adalah konstanta gravitasi
G = 6.673 x 10-11 N m² /kg²
Konstanta Gravitasi
• Ditentukan secara eksperimen
• Henry Cavendish
– 1798
• Berkas cahaya dan cermin membuat
jelas gerak
Contoh:
Pertanyaan: Hitung gaya tarik gravitasi antara dua
mahasiswa yang berjarak 1 meter
2
m1m2
−11 N m 70kg 90 kg
−7
F = G 2 = 6.67 ×10
≈
4
.
2
×
10
N
2
2
r
kg
(1 m )
Sangat kecil
Bandingkan:
F = mg = 686 N
Aplikasi dari Gravitsi Umum 1:
Massa Bumi
• Sebagai contoh tinjau
sebuah benda yang
berada dekat dengan
permukaan bumi
– r ~ RE
gR
ME =
G
2
E
Aplikasi dari Gravitsi Umum 2:
Percepatan Gravitasi
• g akan bervariasi
bergantung ketinggian
mM E
 ME 
F = G 2 = m G 2  = mg
r
 r 
ME
g =G 2
r
Energi Potensial Gravitasi
• EP = mgy berlaku hanya
yang dekat dengan
permukaan bumi
• Untuk benda yang letaknya
jauh dari permukaan bumi,
dibutuhkan perumusan yang
lain, yaitu:
M Em
EP = −G
r
– Energi potensial nol dipilih di
jauh tak berhingga dari bumi
Laju Lepas
• Laju lepas adalah laju yang dibutuhkan
sebuah benda untuk mencapai ruang
angkasa dan tidak kembali
vesc
2GM E
=
RE
• Untuk bumi, vesc adalah sekitar 11.2 km/s
• Cat, v tidak bergantung massa benda
Hukum Kepler
• Semua planet bergerak dalam orbit elips
dengan matahari sebagai pusatnya.
• Garis yang menghubungkan tiap planet ke
matahari menyapu luasan yang sama dalam
waktu yang sama.
• Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding
lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet
tersebut ke matahari.
Hukum Kepler (lanjutan)
• Berdasarkan observasi yang dilakukan
oleh Brahe
• Newton kemudian mendemonstrasikan
bahwa hukum ini adalah konsekuensi dari
gaya gravitasi antara dua benda
bersamaan dengan hukum gerak Newton
Hukum I Kepler
• Semua planet
bergerak dalam orbit
elips dengan matahari
sebagai pusatnya.
– Benda yang terikat
benda lain oleh gaya
berbentuk
“inverse square law”
akan bergerak dalam
lintasan elips
F =G
m1m2
r2
Hukum II Kepler
• Garis yang
menghubungkan tiap
planet ke matahari
menyapu luasan yang
sama dalam waktu
yang sama
– Luas A-S-B dan C-S-D
adalah sama
Hukum III Kepler
• Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding lurus
dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke
matahari
T = Kr
2
4π
dengan K =
GM
2
3
– Untuk orbit yang mengelilingi matahari,
KM = 2.97x10-19 s2/m3
– K tidak bergantung massa planet
Aplikasi Hukum III Kepler
• Menentukan massa
matahari atau benda
lain yang mempunyai
satelit yang
mengelilinginya
• Asumsinya adalah
orbit berupa lingkaran
Kesetimbangan
dan
Dinamika Rotasi
Torsi
• Tinjau gaya yang dibutuhkan
untuk membuka pintu. Apakah
lebih mudah membuka pintu
dengan mendorong/menarik
jauh dari engsel atau dekat ke
engsel?
Jauh dari
engsel, efek
rotasi lebih
besar!
Konsep Fisika: torsi
Dekat ke
engsel
Jauh dari
engsel
Torsi
• Torsi, τ, adalah kecenderungan dari
sebuah gaya untuk merotasikan
sebuah benda terhadap sumbu
tertentu
Contoh pada pintu:
τ = Fd
– τ adalah torsi
– d adalah lengan gaya
– F adalah gaya
Lengan Gaya
• Lengan gaya, d,
adalah jarak terdekat
(tegak lurus) dari
sumbu rotasi ke garis
searah perpanjangan
gaya
– d = L sin Φ
Arah Torsi
• Torsi adalah besaran vektor
Arah Torsi:
keluar bidang kertas
– Arahnya adalah tegaklurus
terhadap bidang yang
memuat lengan dan gaya
– Arah dan tanda:
Jika gaya cenderung memutar
berlawanan jarum jam, torsi
bertanda positif
Jika gaya cenderung memutar
searah jarum jam, torsi
bertanda negatif
Satuan
SI
Newton meter (Nm)
USA & UK
Foot pound (ft lb)
Tes Konsep 3
Anda mencoba untuk membuka pintu yang macet dengan
menarik gagang pintu berarah tegak lurus pintu. Tetapi gagal.
Kemudian anda mengaitkan sebuah tali pada gagang pintu
dan menarik gagang pintu lewat tali berarah tegak lurus pintu
dengan gaya yang sama, apakah torsi yang anda berikan
dengan menggunakan tali lebih besar? Akan lebih mudahkah
untuk membuka pintu?
a. Tidak
b. Ya
Jawab a
Bagaiman jika dua atau lebih gaya yang
berbeda bekerja pada lengan-lengan gaya?
Torsi Neto
• Torsi neto adalah jumlah semua torsi yang
dihasilkan oleh semua gaya
– Ingat untuk menghitung arah kecenderungan
rotasi
• Berlawanan arah dengan arah jarum jam torsi positif
• Searah dengan jarum jam torsi negatif
Torsi dan Kesetimbangan
• Kondisi pertama dari kesetimbangan
• Gaya netto eksternal harus nol
r
∑F = 0
r
r
∑ F x = 0 dan ∑ F y = 0
– Ini adalah perlu, tetapi tidak cukup, untuk
menjamin bahwa benda dalam kesetimbangan
mekanik lengkap
– Pernyataan tsb adalah kesetimbangan
translasi
• Kondisi kedua dari kesetimbangan
• Torka netto eksternal harus nol
Στ = 0
• Pernyataan tsb adalah kesetimbangan
rotasi
Kesetimbangan (lanjutan)
• Torsi neto sama dengan nol tidak berarti
tidak ada gerak rotasi
– Sebuah benda yang berotasi dengan
kecepatan sudut uniform (tetap) dapat sedang
berada dalam pengaruh torsi neto nol
• Ini analogi dengan keadaan translasi dimana gaya
neto nol tidak berarti benda tidak bergerak
Sejauh ini: torsi neto sama
dengan nol.
Bagaimana jika tidak?
Torsi dan Percepatan Sudut
• Ketika benda tegar
mengalami torsi neto
tidak nol (≠0), maka akan
mengalami percepatan
sudut
• Percepatan sudut
berbanding lurus dengan
torsi neto
– Hubungannya analogi
dengan ∑F = ma
• Hukum II Newton
Torsi dan Percepatan sudut (lanjutan)
Ft = ma t , kalikan dengan r
Ft r = (ma t ) r
percepatan tangensial :
a t = rα , so
Ft r = mr 2α
torsi τ
Bergantung pada benda dan
sumbu rotasi. Dinamakan
momen inersia I.
Satuan: kg m2
I ≡ Σmi ri
2
τ = Iα
Percepatan sudut berbanding terbalik dengan
analogi massa dalam sistem yang berotasi
Momen Inersia yang Lain
Hukum II Newton untuk Benda Berotasi
• Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto
• Percepatan sudut berbanding terbalik dengan momen
inersia benda
Στ = Iα
• Terdapat perbedaan yang penting antara momen
inersia dan massa: momen inersia bergantung pada
kuantitas materi dan distribusinya
• Momen inersia juga bergantung pada posisi sumbu
rotasi
Momentum Sudut
• Serupa dengan hubungan antara gaya dan
momentum dalam sistem linier, kita dapat tunjukan
hubungan antara torsi dan momentum sudut
• Momentum sudut didefinisikan sebagai L = I ω
∆L
∆t
∆p )
F=
∆t
• Jika torsi neto nol, momentum sudut konstan
• Pernyataan Kekekalan momentum sudut :
Momentum sudut dari sebuah sistem adalah kekal
ketika torsi neto eksternal yang bekerja pada sisitem
adalah nol
τ=
(bandingkan dengan
– Ini terjadi ketika:
Στ = 0 , L i = L f atau I i ω i = I f ω f
Energi Total Sistem yang
Berotasi
• Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu
tertentu dengan laju sudut, ω, mempunyai
energi kinetik rotasi ½Iω2
• Konsep energi dapat digunakan untuk
penyederhanaan analisis gerak rotasi
• Kekekalan energi mekanik
( EK t + EK r + EPg )i = ( EK t + EK r + EPg )f
– Ingat, ini untuk gaya konservatif, tidak ada gaya
disipasi seperti gaya gesek
Tes Konsep 4
Seorang penari ski es berputar dengan kedua lengannya terlentang
(anggap tidak ada gaya gesekan). Ketika dia menarik kedua
lengannya dan merapatkan pada tubuhnya momen inersia tubuhnya
terhadap sumbu vertikal menjadi berkurang dan laju sudutnya
menjadi bertambah (kekekalan momentum sudut). Dibandingkan
dengan energi kinetik rotasi awal, energi kinetik rotasi setelah
penari tersebut menarik lengannya haruslah bernilai …
a. sama
b. lebih besar karena laju sudutnya bertambah
c. lebih kecil karena momen inersianya berkurang
Jawab
Diketahui:
Momen inersia:
I1 dan I2
Energi kinetik rotasi adalah
EK rot =
1 2 1
Iω = Lω
2
2
Kita tahu bahwa (a) momentum sudut L kekal
dan (b) kecepatan sudut bertambah
Dicari:
K2 =?
Jadi, energi kinetik rotasi harus bertambah!