Variabel Random dan Nilai Harapan

Variabel Random dan Nilai
Harapan
Oleh Azimmatul Ihwah
• Outcomes dari suatu eksperimen dapat
dinyatakan
dengan
angka
untuk
mempermudah.
• Suatu variabel yang mengasosiakan outcomes
dari suatu eksperimen dengan suatu angka ini
dinamakan variabel random
Variabel Random
• Definisi:
Merupakan suatu fungsi yang membawa setiap
titik sampel dalam ruang sampel ke suatu
bilangan real.
Variabel random disimbolkan dengan huruf X
kapital, sedangkan nilai dari variabel random
disimbolkan dengan x.
Variabel Random
• Variabel Random Diskrit : merupakan variabel
random yang nilainya dapat terhitung (baik
berhingga maupun tak hingga). Contoh
banyaknya kerusakan hasil produksi, banyaknya
eror gelombang yang diterima dari sebuah
transmisi.
• Variabel Random Kontinu : merupakan variabel
random yang nilainya dinyatakan dalam range
interval. Contoh tekanan, temperatur, panjang,
waktu, voltase, berat.
Variabel Random Diskrit
• Contoh kasus : dalam suatu proses
manufaktur semikonduktor, dua sampel
diambil acak untuk di tes. Tiap semikonduktor
diklasifikasikan lolos atau gagal. Probabilitas
sebuah semikonduktor lolos adalah 0.8 dan
tiap sampel yang diambil adalah saling bebas.
Bila akan dihitung probabilitas bahwa sampel
pertama lolos dan sampel kedua gagal, maka
𝑃 𝑙𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙 = 𝑃 𝑙𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑥𝑃 𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙
= 0.8𝑥0.2 = 0.16
Contoh Kasus
• Disajikan dalam tabel sebagai berikut :
dimana kolom terakhir pada tabel menyatakan
variabel random X dimana X = banyaknya
sampel yang lolos
Fungsi Probabilitas
• Jika dalam suatu proses tranmisi 4 gelombang
melalui transmisi digital, terdapat dua
kemungkinan penerimaan gelombang yaitu
tanpa eror dan dengan eror. Jika X
menyatakan
banyak
gelombang
yang
mengalami eror, nilai variabel random X dari
eksperimen ini adalah 0,1,2,3,4 . Misalkan
didefinisikan probabilitasnya sebagai berikut
Fungsi Probabilitas
• Fungsi yang mengawankan 0 dengan 0.6561, 1
dengan 0.2916, 2 dengan 0.0486, 3 dengan
0.0036 dan 4 dengan 0.0001 disebut dengan
fungsi probabilitas. Jika digambarkan sebagai
berikut
Fungsi Probabilitas
• Untuk suatu variabel random diskrit X dengan
nilai-nilai 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , fungsi probabilitasnya
adalah fungsi yang memenuhi syarat :
• Pada contoh sebelumnya maka 𝑓 0 =
0.6561, 𝑓 1 = 0.2916, 𝑓 2 = 0.0486, 𝑓 3 =
0.0036, 𝑓 4 = 0.0001
Diskusikan
• Perhatikan tabel berikut
• Tentukan :
Fungsi Distribusi Kumulatif
• Pada contoh tansmisi gelombang sebelumnya,
jika kita tertarik untuk mengetahui
probabilitas terjadi 3 gelombang atau kurang
yang mengalami eror, yaitu 𝑃 𝑋 ≤ 3 .
Kejadian 𝑋 ≤ 3 merupakan union kejadian
𝑋 = 0 , 𝑋 = 1 , 𝑋 = 2 dan 𝑋 = 3 . Jelas
bahwa keempat kejadian ini saling asing
(mutually exclusive), sehingga
Fungsi Distribusi Kumulatif
• Dari contoh tadi bisa dihitung pula
Contoh diatas seringkali digunakan untuk
menyatakan apa yang dinamakan probabilitas
kumulatif, 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 . Dari probabilitas kumulatif
ini selanjutnya dapat digunakan untuk
memperoleh fungsi probabilitas.
• Untuk suatu variabel random diskrit, dengan
nilai 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , maka kejadian 𝑋 = 𝑥1 ,
𝑋 = 𝑥2 , …, 𝑋 = 𝑥𝑛
adalah kejadiankejadian saling asing maka
Fungsi Distribusi Kumulatif
• Untuk suatu variabel random diskrit X, fungsi
distribusi kumulatifnya memenuhi syarat
sebagai berikut :
Diskusikan
• Tentukan fungsi probabilitas dari X jika
diketahui fungsi distribusi kumulatifnya
sebagai berikut :
Variabel Random Kontinu
• Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa
variabel random kontinu adalah variabel yang
mempunyai nilai-nilai disajikan dalam interval.
Misalnya waktu yang dibutuhkan perairan
tercemar logam berat 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 (dalam
satuan minggu).
• Jika dalam variabel random diskrit dikenal
nama fungsi probabilitas, maka dalam variabel
random kontinu dikenal dengan nama fungsi
densitas probabilitas.
Fungsi Densitas Probabilitas
• Untuk suatu variabel random kontinu X, fungsi
densitas probabilitasnya adalah fungsi yang
memenuhi :
• Dan untuk sebarang nilai 𝑥1 dan 𝑥2 , berlaku
Diskusikan
• Didefinisikan fungsi untuk variabel random
kontinu X, sebagai berikut:
1.5𝑥 2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 1 < 𝑥 < 1
𝑓 𝑥 =
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
Buktikan bahwa 𝑓 𝑥 adalah fungsi densitas
probabilitas
dan
gambarkan
fungsinya.
Determine :
Fungsi Distribusi Kumulatif
• Untuk suatu variabel random kontinu X, fungsi
distribusi kumulatifnya didefinisikan sebagai
berikut
Fungsi Distribusi Kumulatif
• Jika F(x) merupakan fungsi distribusi kumulatif
dan f(x) dmerupakan fungsi densitas
probabilitas dari variabel random kontinu X,
maka :
• 0≤𝐹 𝑥 ≤1
• 𝐹 𝑥 merupakan fungsi tak turun
• 𝐹 −∞ = 0 dan 𝐹 ∞ = 1
• 𝑓 𝑥 =
𝑑𝐹 𝑥
𝑑𝑥
• 𝑃 𝑎 <𝑋 <𝑏 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎
Contoh
• Jika dipunyai fungsi distribusi kumulatif dari
variabel random kontinu sbb :
Berdasarkan definisi kita peroleh fungsi densitas
probabilitasnya
Diskusikan
• Suatu variabel random kontinu X mempunyai
fungsi distribusi kumulatif sbb
Tentukan :
Nilai Harapan (Expected Values)
• Seperti kasus terjadinya eror dalam transmisi
gelombang
kita
dapat
menghitung
probabilitasnya, namun kita juga dapat
mengetahui seberapa besar harapan untuk
tidak terjadi eror. Dengan kata lain kita dapat
menghitung ekspektasi (harapan)
Nilai Harapan dari Variabel Random
Diskrit dan Variabel Random Kontinu
• Suatu variabel random diskit X, mempunyai
nilai harapan yang didefinisikan sbb :
• Suatu variabel random kontinu X, nilai
harapannya didefinisiskan sebagai
Teorema menyangkut Nilai Harapan
Variabel Random Diskrit dan Kontinu
• Jika a, b, c merupakan sebarang konstanta
serta X dan Y merupakan dua variabel random
yang berbeda, maka berlaku :
• E (c) = c
• E(cX) = c E(X)
• E(aX + b) = aE(X) + b
• E (X - 𝜇) = 0
• E (X – Y) = E(X) – E(Y)
• E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Mean dari Variabel Random
Nilai harapan dari variabel random diskrit
maupun variabel random kontinu X disebut juga
rataan (mean).
• Jadi untuk variabel random diskrit :
• Untuk variabel random kontinu :
Variansi dari Variabel Random
• Variansi suatu variabel random diskrit X
didefinisikan sebagai berikut :
• Variansi suatu variansi random kontinu X
didefinisikan sebagai berikut :
Diskusikan
• Misal
Tentukan :
a. E(X)
b. Var (X)
• Misalkan 𝑓 𝑥 = 0.125𝑥, 0 < 𝑥 < 4
Tentukan :
a. E(X)
b. Var (X)
Teorema Menyangkut Variansi Variabel
Random Diskrit dan Kontinu
• Untuk suatu konstanta a, b dan c , maka
berlaku
• Var(c) = 0
• Var(cX) = c 2 Var(X)
• Var(aX + b) = a2 Var(X) = Var(aX – b)
• Var(X – Y) = Var(X) + Var (Y)
2
• Var(X) = E(X ) – *E(X)+
2