variabel acak dan nilai harapan

VARIABEL ACAK
DAN NILAI
HARAPAN
Variabel Acak
Didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari
hasil percobaan.
Variabel acak adalah variabel yang nilainilainya ditentukan oleh kesempatan
atau variabel yang dapat bernilai numerik
yang didefinisikan dalam ruang sampel.
Variabel acak biasanya menghubungkan nilainilai numerik dengan setiap kemungkinan
hasil percobaan.
Variabel acak dapat dibedakan
atas :
 Variabel
acak diskrit
(hasil perhitungan)
 Variabel Acak Kontinu
(hasil pengukuran)
Variabel Acak Diskrit
Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil
nilai-nilai tertentu yang terpisah, yg umumnya
dihasilkan dari perhitungan suatu objek.
 Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh
nilai yang ada dalam sebuah interval atau
variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.
 Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli,
tidak pecahan.

Contoh-contoh variabel Diskrit
Percobaan
Penjualan
Mobil
Variabel Acak
Kemungkinan
Nilai V. Acak
Jenis kelamin 0 : Jika Wanita
Pembeli
1 : Jika Pria
Penelitian thdp Jumlah produk 0,1,2,3……50
yang rusak
50 produk
baru
Variabel Acak Kontinu
Variabel Acak Kontinu adalah variabel
random yang mengambil seluruh nilai
yang ada dalam sebuah interval,
atau variabel yang dapat memiliki nilainilai pada suatu interval tertentu.
Nilainya dapat berupa bilangan bulat
maupun pecahan.
Contoh variabel kontinu
Percobaan
Variabel Acak
Membangun
Prosentasi proyek
Proyek
yang diselesaikan
perkantoran baru
setelah 6 bulan
Kemungkinan
Nilai-nilai
Variabel Acak
0  x  100
DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL ACAK DISKRIT
Distribusi probabilitas variabel
acak menggambarkan
bagaimana suatu probabilitas
didistribusikan terharapan nilainilai dari variabel acak tersebut.
Notasi sebagai p(x)
Jumlah Mobil terjual dalam sehari
menurut jumlah hari selama 300 hari
Jumlah mobil terjual dlm sehari
0
1
2
3
4
5
Total
Jumlah hari
54
117
72
42
12
3
300
Jika X menyatakan jumlah mobil yg
terjual dalam sehari, maka p(0)
menyatakan probabilitas 0 mobil
terjual per hari, p(1) menyatakan
probabilitas 1 mobil terjual perhari
dan seterusnya. Berdasarkan
informasi yang diperoleh maka
probabilitas 0 mobil dalam sehari
adalah 54/300 = 0.18.
Secara singkat nilai probabilitas
ditabelkan sebagai berikut.
X
P(x)
0
0.18
1
0.39
2
0.24
3
0.14
4
0.04
5
0.01
Total
1
Sehingga apabila kita ingin menghitung
probabilitas bahwa 3 atau lebih mobil
terjual dalam sehari, maka kita hitung
p(3) + p(4) + p(5)
= 0.14 + 0.04 + 0.01 = 0.19
Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi
probabilitas diskrit


p( x)  o
atau
Jumlah seluruh
p
(x
)

1

0  p ( x)  1
Grafik fungsi Probabilitas
Distribusi probabilitas di
atas dapat dinyatakan
dengan rumus (fungsi):
0.4
0.35
0.3
0.25
P(x) = x/10,
0.2
East
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
Untuk x = 1,2,3 atau 4
Fungsi distribusi tdk
boleh negatif &
syarat sblnya harus
terpenuhi.
FUNGSI PROBABILITAS
KOMUTATIF VARIABEL ACAK
DISKRIT
Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh
nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama
dengan suatu nilai yang ditetapkan.
Apabila kita ingin mencari probabilitas bahwa
mobil yg terjual kurang dari 3, Maka kita akan
menjumlahkan semua probabilitas dari nilai2x
yang bersangkutan.
Rumus Probabilitas Kumulatif
Variabel Diskrit
F(X)  P(X  x)  X  p(x)
Dimana : F(x)  P(X  x)
menyatakan fungsi probabilitas kumulatif
pada titik X=x yang merupakan jumlah
seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai x
sama atau kurang dari x
Probabilitas Kumulatif dari jumlah
Mobil terjual dalam Sehari
X
F(X)
0
0.18
1
0.57 (=0.18+0.39)
2
0.81 (=0.57+0.24)
3
0.95 (=0.81+0.14)
4
0.99 (=0.95+0.04)
5
1.00 (=0.99+0.01)
Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam
bentuk grafik adalah sebagai berikut :
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
East
0 1 2 3 4 5
Fungsi Probabilitas Bersama
(Joint Probability)
Pada Variabel acak dan distribusi
probabilitas telah dibatasi hanya untuk
ruang sample berdimensi satu, dalam arti
bahwa hasil-hasil yg diperoleh sari suatu
percobaan merupakan nilai-nilai yang
dapat diambil oleh suatu peubah
(variabel) acak. Dalam prakteknya
banyak kondisi yang menghendaki kita
untuk mencatat.
Sehingga untuk dinyatakan dalam
bentuk formula kita ambil suatu contoh
yaitu X dan Y adalah dua variabel acak
diskrit, distribusi probabilitas
bersamanya dapat dinyatakan sebagai
sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang
nilai (x,y) yang dapat diambil oleh
peubah acak X dan Y. Sehingga dalam
kasus variabel acak diskrit tersebut
dinyatakan dalam :

Formula Fungsi Probabilitas Bersama
f(x,y) = p(X=x, Y=y)
Dimana :
f(x,y) adalah pernyataan peluang
bahwa x dan y terjadi secara
brsamaan.
Variabel Diskrit
Hasil Lemparan Dadu Dua kali
X\Y
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
14
15
16
2
21
22
23
24
25
26
3
31
32
33
34
35
36
4
41
42
43
44
45
46
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
Distribusi Probabilitas Bersama, p(x,y)
X\Y
1
2
3
4
5
6
1
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
2
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
3
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
4
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
5
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
6
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
Nilai Harapan dan Varians dari
Variabel Acak Diskrit
 Nilai
Harapan variabel acak diskrit
adalah rata-rata tertimbang
terhadap seluruh kemungkinan
hasil dimana penimbangnya adalah
nilai probabilitas yang dihubungkan
dengan setiap hasil ( outcome ).
Nilai Harapan Variabel Acak Diskrit
E
( X )= x = xi.f (x)
atau
E
( X )= x = (xi.P(x))
Dimana :
Xi = nilai ke i dari variabel acak X
P(xi) = probabilitas terjadinya xi
Contoh :
X = banyaknya pesanan barang dalam
satuan yang masuk selama 1 minggu.
P(X) = probabilitas X = x.
X
P(x)
0
1
2
3
0,125 0,375 0,375 0,125
Hitung rata-rata banyaknya pesanan
atau pesanan yang diharapkan.
Varians dan Simpangan Baku
Dengan menggunakan nilai harapan ini maka
varians atau simpangan baku dari distribusi
teoretis dapat dihitung, yaitu :
Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2
Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x)
 = Var (X)
Nilai Harapan dari Fungsi
Probabilitas Bersama.
E[h(x,y) =  h(x,y) p(x,y)
dimana :
h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Y
p(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y
secara bersama-sama.
Contoh :
Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut :
X\Y
2
3
4
q(y)
0
0
0,1
0,1
0,2
1
0,1
0
0,1
0,2
2
0,1
0,1
0
0,2
3
0,2
0
0
0,2
a) Carilah nilai E (X+Y)
b) Carilah nilai E (X) + E (Y)
c) Carilah nilai E (XY)
4
0
0,2
0
0,2
P(x)
0,4
0,4
0,2
1
Kovarians
Kovarians adalah suatu pengukuran
yang menyatakan variasi bersama dari
dua variabel acak.
 Kovarians antara 2 variabel acak diskrit
X dan Y dinotasikan dengan xy dan
didefinisikan sebagai berikut :

Persamaan Kovarians
N
 xy   [ X i  E ( X )][Yi  E (Y )] p( xi , y i )
i 1
Dimana :
Xi = nilai variabel acak X ke i
Yi = nilai variabel acak Y ke i
p(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi
i = 1, 2, 3, …., n