Distribusi Probabilitas atau Fungsi Probabilitas

Analisa Data Statistik
Agoes Soehianie, Ph.D

Chap 3: Random Variabel dan Distribusi Probabilitas
Konsep Variabel Random
Variabel random/acak adalah sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah
bilangan real dengan setiap elemen di ruang sampel.
Notasi X: variabel randomnya (fungsi!!),- disebut var random krn nilai
yang akan muncul bersifat random (tdk dapat diduga
sebelumnya)
x: salah satu nilai X yang mungkin

Contoh:
Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan
Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3
buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah:
S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM}
Definisikan X adalah fungsi yang menyatakan banyaknya lampu yg
rusak dalam pengambilan tsb, jadi X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3.
X adalah contoh Variabel (fungsi) random.
S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM} – ruang sample
X = {0
,1 , 1 ,2
,1
,2
,2
,3} - variabel random
Konsep Variabel Random



Terlihat X = 2 untuk kejadian E= {MMB,MBM,BMM}
Jadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan
bagian dari S.
Contoh.
2 bola diambil berturut-turut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi
4 bola merah (R) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua
kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan
jumlah bola merah yang terambil.

Jawab:
Ruang sampel
RR
RB
BR
BB
y
2
1
1
0
Ruang Sampel Diskrit dan Kontinu



Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti elemen
bilangan bulat, maka disebut ruang sampel diskrit.
Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti titik-titik
di segmen bilangan real disebut ruang sampel kontinu
Variabel random diskrit jika nilai hasilnya berupa bilangan
bulat
–

Contoh: lihat contoh-contoh sebelumnya
Variabel random kontinu jika nilai hasilnya berupa
bilangan real
–
Contoh: hasil pengukuran tinggi badan, berat, diameter sekrup
dll.
Distribusi Probabilitas Diskrit


Tiap nilai sebuah variabel random memiliki probabilitas
tertentu untuk muncul.
Contoh:
Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal
didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam
pelemparab tsb. Maka ruang sampelnya:
S = {GGG,GGA,GAG,GAA, AGG,AGA,AAG,AAA}
x = 0  {AAA}
 P(X=0) = 0
x = 1  {GAA,AGA,AAG}  P(X=1) = 3/8
x = 2  {GGA,GAG,AGG}  P(X=2) = 3/8
x = 3  {GGG}
 P(X=3) = 1/8
–
Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi Probabilitas
Probabilitas
0.5
0.375
0.4
0.375
0.3
0.2
0.125
0.1
0
0
0
1
2
X (banyak G)
3
Distribusi Probabilitas atau Fungsi Probabilitas

Himpunan pasangan {x,f(x)} disebut fungsi
probabilitas dari variabel random diskrit X jika
untuk setiap nilai x:
–
–
–


f(x) > 0 , harus positif
∑x f(x) = 1, total probabilitas seluruh kejadian = 1
P(X=x) = f(x)
Contoh
Mobil yg dijual sebuah dealer 50% dilengkapi
dengan air-bag. Tentukanlah distribusi
probabilitas bahwa x dari dari 4 buah mobil yang
akan terjual berikutnya akan memiliki air-bag.
Distribusi Probabilitas atau Fungsi Probabilitas

Jawab:
–
–
–
Probabilitas menjual sebuah mobil dg air-bag adalah ½ maka
untuk 4 penjualan berikutnya ada 24 =16 susunan yg mungkin.
Banyaknya cara menjual 3 mobil dengan air-bag dari 4 penjualan
tsb adalah banyak kombinasi dari 4 obyek diambil 3 tiap kali
(sebab tiap mobil tidak dibedakan, hanya ber air bag atau tidak
saja). Atau dipandang sebagai banyak cara mempartisi 4 obyek
ke dalam 2 sel, sel pertama berisi 3 mobil dg air-bag dan 1 sel
berisi mobil tanpa air-bag, yaitu C43 = 4!/(3!1!) = 4 cara.
Jadi secara umum banyaknya cara untuk menjual x mobil dg airbag dari 4 penjualan 4 mobil adalah : C4x.
Maka probabilitas menjual x mobil dg air bag dalam 4 penjualan
adalah
 4
 
x

f ( x) 
16
Distribusi Probabilitas Kumulatif
Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah variabel random X
dengan fungsi probabilitas f(x) adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x=∞ hingga x:
F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞< x < ∞
Soal.
Carilah fungsi distribusi kumulatif dari contoh sebelumnya.
Jawab:
f(0) = C40/16 = 1/16
f(1) = C41/16 = 4/16
f(2) = C42/16 = 6/16
f(3) = C43/16 = 4/16
f(4) = C44/16 = 1/16
Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya:
F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1
F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2
F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3
F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4
F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4
Distribusi Probabilitas Kumulatif Diskrit
Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (fx) dan Distribusi Probabilitas Kumulatif
f(x)
3/8
2/5
7/20
3/10
1/4
1/4
1/4
1/5
3/20
1/10
1/16
1/16
1/20
0
0
1
2
3
4
F(x)
1 1/5
15/16
1
4/5
1
11/16
3/5
5/16
2/5
1/5
1/16
0
0
1
2
3
4
Distribusi Probabilitas Kontinu
Perbedaan dengan yang diskrit adalah pada fungsi distribusi
probabilitas kontinu, nilai probabilitas untuk satu nilai tertentu saja
tak bisa diberikan (0), jadi tak bisa ditabelkan!
Contoh:
Probabilitas menemukan orang dengan tingginya tepat 165.0 cm =0
Tapi probabilitas menemukan orang dengan tinggi antara 160.0cm s/d
165.0 cm tentunya ada!
Jadi yg dicari adalah probabilitas sebuah variabel random memiliki nilai
dalam sebuah selang interval  e.g. P(a<X<b)
Untuk fungsi distribusi probabilitas kontinu, f(x) disebut fungsi rapat
probabilitas dari X. Sedangkan probabilitas menemukan nilai X
dalam sebuah selang diberikan oleh luas di bawah kurva f(x) vs x.
Distribusi Probabilitas Kontinu
Fungsi rapat probabilitas : f(x)
f(x)
Luas di bawah f(x) antara x=a dan
x=b memberikan probabilitas
menemukan nilai X antara a dan b,
atau P(a<X<b).
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a
a
b
x
Ciri-ciri lain dari fungsi rapat probabilitas:
1. f(x) ≥ 0
2. 
 f ( x)dx  1

Distribusi Probabilitas Kontinu
Contoh. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature di sebuah
percobaan adalah sebuah variabel random X yg memiliki fungsi
rapat probabilitas sbb:
 x2

1  x  2
f ( x)   3
 0 lainyya
a. Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat
probabilitas
b. Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan
antara 0 dan 1?
Jawab.
a. 
2 2
x
x3
 f ( x)dx  1 3 dx  9
b.
2
1
1
1
1
P(0  X  1)   f ( x)dx  
0
0
2
3 1
x
x
dx 
3
9
0

1
9
Distribusi Probabilitas Kontinu Kumulatif
Analog dg kasus diskrit, maka fungsi distribusi probabilitas kontinu
kumulatif F(x) dari fungsi rapat probabilitas f(x) didefinisikan sbg:
x
F ( x)  P( X  x) 
 f (t )dt

Tentu konsekuensi dari definisi tsb juga berlaku (asalkan exists!):
1. f(x) = dF/dx
2. P(a<X<b) = F(b)-F(a)
Soal.
Pakailah contoh sebelumnya untuk fungsi rapat probabilitas.
• Tentukan fungsi distribusi kumulatif nya
• Pakailah untuk menghitung P(0<x<1)
• Buatlah sketsa F(x)
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Dalam berbagai kasus eksperimen variabel random yg terlibat bisa
lebih dari satu. Misalnya berat dan tinggi, volume dengan kecepatan
penguapan dll. Sehingga ruang sampelnya berdimensi lebih dari 1.
Dalam kasus seperti ini kita tertarik untuk mengetahui distribusi
probabilitas terjadinya variable random X dan Y secara bersamaan,
yang dikenal dengan nama Distribusi Probabilitas Bersama.
Jadi fungsi distribusi probabilitas bersama X=x dan Y=y diberikan
oleh f(x,y) = P(X=x, Y=y).
SIfat-sifat fungsi distribusi probabilitas bersama adalah:
1. f(x,y)≥0, all x,y
2. Total jumlah = 1
 f ( x, y)  1
x
y
3. Probabilitas terjadinya X=x dan Y=y secara bersamaan diberikan
oleh f(x,y), atau P(X=x,Y=y) = f(x,y)
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Contoh.
Dua buah isi ulang untuk sebuah ballpoint diambil secara acak dari
dalam kotak yg berisi 3 refill biru, 2 refill merah dan 3 refill hijau.
Jika X adalah jumlah refill biru yg terpilih dan Y adalah jumlah
refill merah yg terpilih, carilah:
a. Fungsi distribusi probabilitas bersama f(x,y)
b. P[(X,Y)ε A] dimana A adalah daerah {(x,y)| x+y≤1}
Jawab:
Pasangan (x,y) yang mungkin adalah: (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0)
Jadi f(0,1) menggambarkan probabilitas terpilihnya 1 merah dan 0
biru (berarti 1 lagi hijau!).
Banyaknya cara memilih 2 refill dari 8 buah yg ada di kotak =
kombinasi memilih 2 dari 8 obyek: C82 = 8!/{(8-2)!2!)}= 28
kombinasi yg mungkin.
Banyak cara memilih 1 merah dari 2 merah yg tersedia C21
Banyak cara memilih 1 hijau dari 3 hijau yg tersedia C31
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Jawab (lanjutan):
Jadi banyak cara memilih 1 merah dari 2 dan 1 hijau dari 3 hijau
adalah: C21*C31 = 6.
Jadi probabilitas memilih 1 merah dan 1 hijau  f(0,1) = 6/28
Selengkapnya diberikan tabel berikut:
x
Total
baris
f(x,y)
0
1
2
0
3/28 9/28
3/28
15/28
y 1
3/14 3/14
0
3/7
1/28 0
0
1/28
2
Total col
5/14 15/28 3/28
1
b) Untuk x+y ≤1,
P = f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)
P = 3/28 + 9/28 +
6/28=18/28
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Untuk variabel random kontinu, analog dengan kasus diskrit, fungsi
rapat probabilitas bersama f(x,y) didefinisikan sbg:
1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y
 
2. Total integral di seluruh area =1
  f ( x, y)dxdy  1
  
3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam area tertentu diberikan oleh
hasil integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area termaksud
P[( X , Y )  A]    f ( x, y )dxdy
A
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Contoh.
Sebuah perusahaan permen mendistribusikan kotak-kotak cokelat
yang berisi isian jenis: krim, tofi dan kacang. Terdapat dua tipe
cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1
kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase dari
coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi rapat
probabilitas bersamanya:
2
 (2 x  3 y ) 0  x  1,0  y  1
f ( x, y )   5

0, lainnya

a. Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1
b. Carilah probabilitas mendapati 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2
Surface plot f(x,Y)
2
1.5
1
0.5
0
1
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Jawab.
a. Integral di seluruh wilayan x,y:
 
1 1
2
 f ( x, y)dxdy 0 0 5 (2x  3 y)dxdy 1
b. P(0<X<1/2,1/4<Y<1/2)
1/ 21/ 2

1/ 4 0
1/ 21/ 2
2
f ( x, y)dxdy    (2 x  3 y)dxdy 13 / 160
5
1/ 4 0
Distribusi Probabilitas Bersyarat (Conditional)
Misal X,Y adalah variabel random (diskrit/kontinu), maka distribusi
probabilitas bersyarat dari variabel Y asalkan X=x diberikan oleh:
f ( x, y )
f ( y | x) 
, g ( x)  0
g ( x)
Dengan g(x) adalah distribusi marginal untuk X saja, yaitu distribusi
probabilitas f(x,y) yang dijumlahkan (integral) thd seluruh nilai y:

g ( x) 


f ( x, y )dy
g ( x )   f ( x, y )
y
Distribusi Probabilitas Bersyarat (Conditional)
Contoh.
Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan Y,
dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah persentase
pergeseran spektrum dari suatu atom diberikan oleh:
10 xy2
f ( x, y)  
 0
0  x  y 1
lainnya
a) Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y)
b) Carilah fungsi rapat probabilitas bersyaratn f(y|x)
c) Carilah probabilitasnya bahwa spektrum akan bergeser lebih dari
50% dari seluruh pengamatan, jikalau temperature dinaikkan 0.25
unit.
Distribusi Probabilitas Bersyarat (Conditional)
Jawab.
a. Fungsi rapat probabilitas marginal:

h( y) 

y


g ( x) 


f ( x, y)dx   10 xy2 dx  5 y 4 ,
0  y 1
0
1
f ( x, y)dy   10 xy2 dy 
x
10
x(1  x 3 ),
3
0  x 1
b. Fungsi rapat probabilitas bersyaratn f(y|x)
f ( x, y )
10 xy2
3y2
f ( y | x) 


3
10
g ( x)
1

x
3
x(1  x )
3
0  x  y 1
Distribusi Probabilitas Bersyarat (Conditional)
Jawab.
c. Probabilitas mendapati spektrum tergeser > 50% (Y>0.5) jikalau
temperatur dinaikkan 0.25 unit (X=0.25), berarti:
P(y>0.5|x=0.25)
1
1
3y2
8
P( y  0.5 | x  0.25)   f ( y | x  0.25)dy  
dy

3
1

0
.
25
9
0.5
0.5
Independensi Statistik (Tak saling bergantung)
Jika X dan Y adalah variabel random (diskrit/kontinu) dengan
distribusi probabilitas bersama f(x,y) dan distribusi marginal g(x)
dan h(y), maka variabel X dan Y tsb dikatakan tak saling
bergantung secara statistik jika dan hanya jika:
f(x,y) = g(x)h(y)