2. Variabel Acak dan Distribusinya

1. TEORI PENDUKUNG
•1.1 Pendahuluan
•1.2 Variabel acak
•1.3 Distribusi variabel acak diskrit
•1.4 Distribusi variabel acak
kontinu
•1.5 Distribusi multivariat
1
1.1 Pendahuluan
Definisi 1:
Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan acak. Notasi : S
Definisi 2:
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Sifat :
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika
Prostok-1-firda
A B  
2
Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A,
ditulis P( A) atau P{ A} dengan sifat:
(i) 0  P( A)  1
(ii ) P( S )  1 dan P()  0.
(iii) Untuk setiap kejadian A, P( A ')  1  P( A).
• Jika A  B, maka P( A)  P( B).
• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB).
• Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
P( AB)  P( A) P( B).
Prostok-1-firda
3
• Jika A dan B dua kejadian , dengan P ( A)  0,
peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:
P( A  B)
P  B A 
P( A)
Teorema Bayes :
Jika kejadian-kejadian A1 , A2 ,..., Ak adalah partisi
dari ruang sampel S maka untuk kejadian B
sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0
berlaku:
P( B Ai ).P( Ai )
P( Ai  B)
P( Ai B) 
 k
P( B)
 P( B Ai ).P( Ai )
i 1
4
1.2 Variabel Acak
Definisi 3:
Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel
ke himpunan bilangan real. (R)
Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan
nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.
Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x,
dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama
dengan x dinyakan dengan P( X  x).
5
Klasifikasi Variabel Acak:
1. Variabel Acak Diskrit
Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk
himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .
2. Variabel Acak Kontinu
Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan
bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).
6
Definisi 4:
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut
fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function
(pmf), atau fungsi peluang, ditulis :
p ( x)  P( X  x)
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu
disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability
density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x).
b
P (a  X  b)   f ( x)dx
a
7
Definisi 5:
Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel
acak X adalah:
F ( x)  P( X  x),    x  
• Untuk variabel acak diskrit :
F ( x)  P( X  x)   p(t )
tx
• Untuk variabel acak kontinu :
x
F ( x)  P( X  x) 
 f (t ) dt

8
Definisi 6:
(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x),
maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
E ( X )   xp( x)
x
(ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang
f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:

E ( X )   x f ( x)dx

Prostok-1-firda
9
Definisi 7:
Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:
Var ( X )  E ( X )   E ( X ) 
2
2
Definisi 8:
Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X
merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu
e
M X (t )  E  etX

tx
p( x),
X variabel acak diskrit
x



etx f ( x)dx,
X variabel acak
kontinu
10
1.3 Distribusi variabel acak diskrit
a. Distribusi Bernoulli
• pmf:
• mean:
1 x
p ( x)  p q
x
, x  0,1
E( X )  p
• variansi: Var ( X )  p (1  p)  pq
11
b. Distribusi Binomial
Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan binomial
• pmf:
 n  x n x
p( x)    p q , x  0,1,..., n
 x
• mean:
E ( X )  np
• varians:
Var ( X )  npq
12
c. Distribusi Geometri
Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha
sampai terjadinya sukses pertama kali
• pmf:
p( x)  pq x 1 , x  1, 2,3,...
• mean:
1
E( X ) 
p
• varians:
q
Var ( X )  2
p
13
d. Distribusi Poisson
Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan poison
• pmf:
e   x
p( x) 
, x  0,1, 2,...
x!
• mean:
E( X )  
• varians:
Var ( X )  
14
1.4 Distribusi variabel acak kontinu
a. Distribusi Uniform
• pdf:
1
f ( x) 
,a  x  b
ba
• mean:
ab
E( X ) 
2
• varians:
(b  a ) 2
Var ( X ) 
12
15
b. Distribusi Eksponensial
• pdf:
• mean:
• varians:
f ( x)   e
E( X ) 
 x
,x  0
1

Var ( X ) 
1
2
16
c. Distribusi Normal
• pdf:
f ( x) 
1
 2
e
( x )
 12   


• mean:
E( X )  
• varians:
Var( X )   2
2
,   x  
17
Distribusi Peluang Diskrit
Fungsi peluang (Pmf)
X
Bernoulli( p)
X
X
X
B ( n, p )
GEO( p)
POI ( )
Mean Variansi
Mgf
p( x)  p x q1 x , x  0,1
p
pq
 n  x n x
p ( x)    p q ,
 x
x  0,1,..., n
np
npq (q  pet  n


p( x)  pq
x 1
x  1, 2, 3,...
e  x
p( x) 
,
x!
x  0,1, 2,...
,
1
p

q  pet
q
p2
pet
(1  qet )

  (1et )
e
18
Distribusi Peluang Kontinu
X U ( a, b)
X
EXP( )
Fungsi densitas (Pdf)
Mean Variansi
1
f ( x) 
,a  x  b
ba
ab
2
f ( x)   e
X GAM ( , k ) f ( x) 
X
N ( , )
2
f ( x) 
 x
,x  0
 k x k 1e x
( k )
1
 2
  x  
e
,x  0
( x )
 12   


2
,
Mgf
(b  a) 2
12
ebt  eat
t (b  a)
1

2
 t
k
k

2
  




t


1



2
k
1 2 2

  t t  
2

e
19
1.5 Distribusi multivariat
a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka
(i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :
pXY ( x, y)  P( X  x, Y  y)
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
FXY ( x, y )   p XY (a, b)
a x b y
(iii) Pmf marjinal dari X :
p X ( x)   p XY ( x, y )
y
(iv) Pmf marjinal dari Y :
pY ( y)   pXY ( x, y)
x
20
(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :
pXY ( x, y )
pX |Y ( x | y) 
, pY ( y)  0
pY ( y )
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
FX |Y ( x | y)  
a x
pXY (a, y )
, pY ( y)  0
pY ( y )
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
E[ X | Y  y ]   x. p XY ( x y )
x
Prostok-1-firda
21
b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka
(i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :
 2 F ( x, y)
f XY ( x, y) 
yx
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
y
FXY ( x, y ) 
x

f XY ( s, t ) ds dt
 
(iii) Pdf marjinal dari X :
f X ( x)   f XY ( x, y )dy
y
(iv) Pdf marjinal dari Y :
fY ( y )   f XY ( x, y)dx
x
22
(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :
f XY ( x, y)
f X |Y ( x | y) 
, f ( y)  0
fY ( y)
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
x
FX |Y ( x y ) 


f XY (t , y )
dt
fY ( y )
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
E  X Y  y 

 xf
X |Y
( x | y )dx

23

E[ X  Y ]  E[ X ]  E[Y ]
 Kovariansi dari X dan Y:
Cov( X , Y )  E[ XY ]  E[ X ]E[Y ]
 Koefisien korelasi dari X dan Y:
 ( X ,Y ) 
Cov( X , Y )
Var ( X ).Var (Y )
24
Soal
1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masingmasing berdistribusi Poisson dengan mean 1 dan 2 .
Tunjukkan bahwa
variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan
mean 1  2 .
2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi
F ( x). Asumsikan F (0) ,0, tunjukkan bahwa

a. E ( X )   (1  F ( x)) dx
0

b.E ( X n )   nx n 1 (1  F ( x)) dx
0
Prostok-1-firda
25