DINAMIKA STRUKTUR
advertisement
DINAMIKA STRUKTUR
i
DINAMIKA STRUKTUR
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatNya
sehingga kami dapat menyelesaikan Buku Ajar Mata Kuliah Dinamika Struktur
ini. Buku ajar ini merupakan bagian dari media bahan ajar yang dimaksudkan
untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi perkuliahan yang
disampaikan, khususnya mata kuliah Dinamika Struktur, Jurusan Teknik Sipil,
Fakultas Teknik, Universitas Brawijaya, Malang.
Buku ajar ini disusun dalam enam bab. Bab I memperkenalkan konsepkonsep dasar mengenai dinamika struktur, respon struktur terhadap beban
dinamik, analisa dinamis pada struktur, serta derajat kebebasan. Bab II membahas
sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) yang meliputi pemodelan parameter,
pemodelan matematis, free body diagram, dan persamaan gerak dari suatu
struktur. Getaran bebas sistem SDOF untuk kondisi tak teredam dan teredam
dibahas pada bab III. Selain itu juga dijelaskan mengenai eksperimen penentuan
frekuensi alami dasar dan faktor damping, serta getaran bebas dengan coulomb
damping dari sebuah sistem SDOF. Sistem SDOF terhadap gerak harmonis untuk
sistem tak teredam dan sistem dengan redaman viskous dijelaskan pada bab IV.
Bab V membahas respon sistem SDOF terhadap bentuk spasial dari eksitasi,
meliputi respon sistem redaman viskous untuk step input ideal, respon sistem tak
teredam pada rectangular pulse dan pembebanan ram, serta impuls dengan durasi
pendek, unit respon impuls. Bab VI dibahas tentang respon sistem SDOF pada
eksitasi dinamis dengan metode integral duhamel. Akhirnya, pada bab VIII dan IX
membahas mengenai sistem berderajat kebebasan banyak (MDOF).
Kami menyadari bahwa dalam penyusunan buku ajar ini masih terdapat
banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami
harapkan. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat kepada siapapun yang
ingin mengkaji dinamika struktur.
Hormat kami,
Penyusun
DINAMIKA STRUKTUR
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................. i
DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
1.1
Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur ........................................................ 1
1.2
Analisa Dinamis pada Struktur ............................................................................ 2
1.3
Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom) .......................................................... 4
BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL (SDOF) ............... 6
2.1
Pemodelan Parameter......................................................................................... 6
2.2
Pemodelan Matematis ........................................................................................ 7
2.3
Free Body Diagram .............................................................................................. 9
2.4
Persamaan Gerak (Equation of Motion)............................................................ 10
2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter........... 10
2.4.2 Prinsip D’Alembert .......................................................................................... 12
2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped) ............................. 15
2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped) .................................................. 20
BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF .................................................... 21
3.1
Pendahuluan ...................................................................................................... 21
3.2
Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped) .......................... 22
3.3
Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped)..................................... 23
3.4
Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari
sebuah sistem SDOF .......................................................................................... 26
3.5
Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping ............... 32
BAB IV RESPON SISTEM SDOF TERHADAP GERAK HARMONIS ........... 35
4.1
Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis .................... 35
4.2
Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis ............. 39
BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari Eksitasi ............... 44
5.1
Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah Step Input
yang Ideal........................................................................................................... 44
5.2
Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada Rectangular
Pulse dan Pembebanan Ram ............................................................................. 45
DINAMIKA STRUKTUR
5.3
iii
Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi Pendek,
Unit Respon Impuls ........................................................................................... 49
BAB VI Respon System SDOF pada Eksitasi Dinamis ....................................... 53
6.1
Metode Integral Duhamel ................................................................................. 53
BAB VII Respons Spektrum ................................................................................. 62
7.1
Bentuk Respons Spektrum ................................................................................ 62
7.2
Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak .............................................. 65
7.3
Besaran- Besaran Respons Spektrum ................................................................ 66
7.4
Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis ................................................. 68
BAB VIII SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN BANYAK
(MDOF) ..... 70
8.1
Sistem MDOF Sederhana ................................................................................... 70
8.2
Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF....................................................... 70
8.3
Prinsip D’Alembert’s pada Sistem MDOF .......................................................... 71
8.4
Sistem Massa – Pegas – Redaman..................................................................... 72
8.5
Koefisien Kekakuan............................................................................................ 74
BAB IX GETARAN BEBAS UNTUK SISTEM MDOF ................................... 77
9.1
Sistem MDOF Tak Teredam ............................................................................... 77
9.2
Frekuensi Natural dan Pola Normal .................................................................. 78
9.3
Sifat Ortogonalitas dari Pola Normal ................................................................. 79
9.4
Solusi Persamaan Getaran Bebas pada Sistem Tak teredam ............................ 83
9.5
Respon Pada Gedung Akibat Gempa ................................................................. 84
DINAMIKA STRUKTUR
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur
Secara sederhana dinamik dapat diartikan sebagai variasi atau perubahan
terhadap waktu dalam konteks gaya yang bekerja (eksitasi) pada struktur. Beban
dinamis dapat berupa variasi besarannya (magnitude), arahnya (direction) atau
posisinya (point of application) berubah terhadap waktu. Demikian pula respons
struktur terhadap beban dinamik, yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan
juga perubahan-waktu, atau bersifat dinamik.
(a)
(b)
Gambar 1.1. Balok kantilever dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis.
Pada gambar diatas terlihat balok kantilever dengan dua jenis pembebanan
berbeda yaitu beban statis dan dinamis.
a. gambar 1.1 (a) menunjukan balok kantilever dengan beban statis, responnya
dipengaruhi oleh beban P.
b. gambar 1.1 (b) menunjukan balok kantilever dengan beban dinamis atau
beban yang bervariasi terhadap waktu P(t).
Lendutan dan tegangan internal yang timbul dalam kasus beban statis hanya
ditimbulkan langsung oleh beban P, sedangkan dalam kasus beban dinamis,
percepatan yang dialami oleh balok akibat P(t) menimbulkan gaya inersia yang
terdistribusi pada seluruh bagian balok. Lendutan dan tegangan pada balok sangat
dipengaruhi pula oleh gaya inersia yang ditimbulkan oleh massa balok ketika
mengalami percepatan. Jika pengaruh gaya inersia yang terjadi sangat signifikan,
maka perlu dilakukan analisa dinamis. Perbedaan respon untuk beban statis dan
dinamis juga dapat dilihat pada gambar 1.2 berikut.
DINAMIKA STRUKTUR
STATIS
P
2
DINAMIS
P(t)
Gambar 1.2. Balok dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis
1.2
Analisa Dinamis pada Struktur
Dapat dikatakan bahwa langkah yang paling diperlukan dalam sebuah
analisa dinamis adalah pemodelan matematis. Namun secara keseluruhan langkahlangkah dalam analisa dinamis dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1.3. Langkah-langkah dalam analisa dinamis.
DINAMIKA STRUKTUR
3
Model analitis terdiri dari:
a. Asumsi sederhana yang dibuat untuk menyederhanakan suatu sistem.
b. Gambar dari model analitis tersebut.
c. Daftar parameter desain.
Model analitis terbagi dalam dua kategori dasar :
a. Model berkesinambungan (continues model)
b. Model diskrit (discrete-parameter model)
Model berkesinambungan (continues model) mempunyai jumlah derajat
kebebasan (number of DOF) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi,
sebuah model matematis dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu
jumlah diskrit.
(a)
(b)
(c)
Gambar 1.4. Model analitis berkesinambungan (continues) dan diskrit (discrete-parameter)
pada sebuah balok kantilever.
Model berkesinambungan (continues model) pada gambar 1.4(a)
menunjukan jumlah derajat kebebasan tak berhingga, model diskrit pada gambar
1.4 (b) dan (c) ditunjukan dengan model massa terkelompok (lumped-mass
model) dimana massa terbagi rata dari sistem dianggap sebagai massa titik atau
partikel.
DINAMIKA STRUKTUR
1.3
4
Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom)
Jumlah koordinat bebas yang menetapkan susunan atau posisi sistem pada
setiap saat.
Model Struktur
Model SDOF
Model MDOF
Model Struktur
Model SDOF
Model MDOF
Model Struktur
Model SDOF
Model MDOF
DINAMIKA STRUKTUR
Model Struktur
Model Struktur
Model SDOF
Model SDOF
Model MDOF
Model MDOF
Gambar 1.5. Beberapa model struktur dengan derajat kebebasan SDOF (Single Degree of
Freedom) dan MDOF (Multiple Degree of Freedom).
5
DINAMIKA STRUKTUR
6
BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL
(SDOF)
2.1
Pemodelan Parameter
Komponen-komponen yang merupakan pemodelan himpunan parameter
dari sebuah struktur adalah sesuatu yang menghubungkan gaya dengan
perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Komponen yang menghubungkan gaya
dengan perpindahan disebut pegas. Gambar 2.1 menunjukkan idealisasi pegas tak
bermassa dan plot gaya dari pegas terhadap regangan. Gaya pegas selalu bekerja
sepanjang garis hubung kedua ujung pegas.
Hubungan linier antara gaya dan regangan dinyatakan :
……………(2.1)
fs = k e
dimana, k adalah konstanta pegas. Besaran k adalah pound/inc (lb/in) atau N/m.
Energi tegangan dinyatakan dengan
……………(2.2)
V = ½ (k e2)
Gambar 2.1. Gaya-deformasi pada pegas.
dimana energi tegangan dinyatakan sebagai area dibawah kurva fs terhadap e.
Model analitis yang paling umum dari redaman dalam analisa dinamika struktur
adalah model tahanan dashpot, yang dapat diilustrasikan pada gambar 2.2.
Gambar 2.2. Model tahanan dashpot.
Gaya redaman fD dinyatakan :
f D c(u2 u1 )
……………(2.3)
Dari fungsi linear dari kecepatan relatif antara dua ujung dashpot.
DINAMIKA STRUKTUR
7
Konstanta c disebut koefisien viscositas redaman dan besarannya adalah
pond/inc/detik atau N/m/detik. Dalam menulis persamaan gerak dari partikel,
hukum kedua dari Newton digunakan,
F ma
……………(2.4)
dimana m adalah massa dan a adalah percepatan relatif dari suatu bidang
referensi inersia. Besaran massa adalah lb.det/in atau N.det/in.
Untuk permasalahan dinamika struktur seringkali sangat berguna untuk
memperkenalkan gaya inersia.
f l ma
……………(2.5)
Kemudian persamaan 2.4 bisa ditulis sebagai persamaan dinamik yang
semisal :
F' f F 0
l
……………(2.6)
dengan resultan gaya inersia yang ditambahkan pada resultan gaya lain yang
bekerja pada partikel.
2.2
Pemodelan Matematis
Model matematis dalam analisa dinamika struktur mempunyai beberapa
elemen sebagai berikut:
massa m menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur
pegas k menyatakan gaya balik elastic dan kapasitas energy potensial dari
struktur
redaman c menyatakan sifat geseran dan kehilangan energy dari struktur
gaya pengaruh F(t) menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem
struktur sebagai fungsi dari waktu.
Namun dalam pembahasan dinamika struktur dengan analisa sederhana pada
sistem berderajat kebebasan tunggal, redaman c diabaikan. Beberapa contoh
model matematis pada struktur dapat dilihat pada gambar berikut.
DINAMIKA STRUKTUR
8
m
K
K
EI
m
y
Model Struktur
Model SDOF
m
P(t)
P(t)
Model Matematis
K
m
K1
K2
K
Model Struktur
Model SDOF
P(t)
Model Matematis
Gambar 2.3. Model matematis sistem berderajat kebebasan tunggal.
Pada model diatas, massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut
garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis pegas
digambarkan antara gaya Fs pada ujung pegas dan hasil perpindahan y dapat
dilihat pada gambar 2.4 (a) sedangkan tiga jenis pegas ditunjukan secara grafis
pada gambar 2.4 (b).
Fs (gaya)
hard spring
linier spring
soft spring
y
Fs
(a)
y (perpindahan)
(b)
Gambar 2.4. Hubungan gaya dan perpindahan pada pegas.
Lengkungan pada pegas kuat (hard spring) menyatakan sifat dimana gaya
harus memberikan pengaruh lebih besar untuk suatu perpindahan yang
diisyaratkan seiring dengan terdeformasinya pegas. Karakteristik garis lurus pada
pegas liniear (linear spring) menggambarkan deformasi yang selaras dengan gaya.
Konstanta keselarasan antara gaya dan perpindahan dari pegas linier disebut
konstanta pegas (spring constant) k. Sedangkan pada pegas lemah (soft spring),
DINAMIKA STRUKTUR
9
pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan cenderung mengecil pada saat
deformasi pegas menjadi makin besar.
Jika suatu pegas terpasang secara paralel atau seri, maka diperlukan
penentuan konstanta pegas ekivalen dari sistem tersebut.
K1
K1
K2
K2
y
m
1
1
1
ke k1 k 2
y
P
ke k1 k2
(a)
(b)
Gambar 2.5. Kombinasi pegas (a) pegas paralel (b) pegas seri.
Untuk n pegas yang dipasang parallel, konstanta pegas ekivalennya:
n
k e ki
……………(2.7)
i 1
Sedangkan untuk n pegas yang terpasang seri :
n
1
1
ke i 1 ki
……………(2.8)
2.3
Free Body Diagram
Salah satu aspek yang penting dalam analisis dinamis adalah menggambar
sebuah diagram free body dari sistem yang memungkinkan penulisan besaran
matematik dari sistem tersebut. Free Body Diagram (FBD) adalah suatu sketsa
dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya, dimana semua gaya luar pada
benda terlihat jelas. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar berikut:
K
m
P(t)
fs
P(t)
I
Gambar 2.6. Free Body Diagram dari sebuah sistem berderajat kebebasan tunggal.
DINAMIKA STRUKTUR
10
Dari gambar free body diagram diatas, menunjukan bahwa massa m yang
dipindahkan dengan adanya gaya luar sebesar P(t), dan memberikan gaya pegas
sebesar Fs=ky serta gaya inersia I.
2.4
Persamaan Gerak (Equation of Motion)
Pada bagian ini persamaan gerakan dari beberapa model lumped parameter
akan diturunkan dengan menggunakan hukum Newton atau yang ekivalen,
metode gaya D’Alembert. Hal ini akan berlaku sebagai review atas pelajaran
sebelumnya pada dinamika dan juga memperkenalkan prosedur yang digunakan
dalam menentukan model matematis dari sistem SDOF.
2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter
Untuk menentukan gerak pada sebuah sistem, yaitu mempelajari
perpindahan atau kecepatan massa m pada saat t untuk kondisi awal pada saat
t 0 . Hubungan antara perpindahan dan waktu diberikan oleh Hukum Newton
Kedua untuk gerak yang ditulis pada persamaan (2.4), dimana F adalah resultan
gaya yang bekerja pada partikel massa m dan a adalah resultan percepatan.
Persamaan diatas merupakan persamaan vector yang dapat ditulis dalam bentuk
ekivalen, dalam besaran komponennya menurut sumbu koordinat.
F
x
max
F
y
ma y
F
z
maz
……………(2.9)
Contoh 2.1
Gunakan hukum Newton untuk menurunkan persamaan gerakan dari sistem
pegas sederhana dan dashpot massa di bawah ini. Asumsikan hanya ada gerakan
vertikal. Dan asumsikan bahwa pegas linier dengan konstanta pegas k. Abaikan
gesekan udara, massa pegas, dan redaman dalam pegas. P(t) adalah gaya yang
bekerja pada massa dari luar.
DINAMIKA STRUKTUR
11
Solusi:
Tentukan bidang referensi dan koordinat perpindahan. Pilih sumbu x sepanjang
garis pergerakan dan tentukan titik acuan awal (misal x = 0) pada lokasi dimana
pegas tidak teregang. u adalah perpindahan pada arah x.
Gambar diagram free body dari partikel.
Gunakan hukum Newton yang kedua
Fx mu
……………(2.10)
(catatan : tanda + menunjukkan arah ke bawah dimana u adalah positif untuk arah
ke bawah).
Dari diagram free body, tentukan gaya-gaya pada bagian kanan persamaan (2.10)
……………(2.11)
p fs fd W mu
Hubungkan gaya dengan sistem variabel gerakan
fs ke ku
fd ce cu
……………(2.12)
……………(2.13)
Gabungkan dan susunlah variabel yang tidak diketahui di bagian kanan pada
persamaan
……………(2.14)
mu cu ku W p(t )
(Catat bahwa ini adalah persamaan diferensial ordiner ordo dua, linier, non
homogen dengan koefisien konstan).
Persamaan ini bisa disederhanakan dengan pertimbangan sebagai berikut.
Perpindahan statis dari bobot w dinyatakan sebagai perpindahan dari massa
terukur berhubungan dengan posisi setimbang, statis sebagai ur sehingga
u ur ust
……………(2.15)
dimana ust adalah konstan, persamaan (2.14) bisa ditulis sebagai :
DINAMIKA STRUKTUR
12
……………(2.16)
mur cur kur p(t )
Persamaan (2.16) pada contoh 2.1 bisa dipertimbangkan sebagai persamaan dasar
pada dinamika struktur dan teori getaran linier. Akan diperlukan waktu yang lama
untuk menetukan solusinya dan aplikasinya pada soal-soal dinamika struktur, baik
sistem SDOF maupun MDOF. Pada contoh 2.1, hukum Newton yang kedua
digunakan langsung, sehingga tidak ada gaya inersia yang diperlihatkan pada
diagram free body.
2.4.2 Prinsip D’Alembert
Alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan gerak adalah
penggunaan Prinsip D’Alembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat
dibuat dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya
fiktif pada gaya-gaya luar yang disebut sebagai gaya inersia.
mg
y
K
m
fs = ky
m
I my
N
(a)
(b)
Gambar 2.7. Sistem berderajat kebebasan tunggal, (a) model matematis dan
(b) diagram Free Body.
Penggunaan Prinsip D’Alembert memungkinkan pemakaian persamaan
keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Pada gambar free body
diagram diatas dapat dilihat bahwa jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan
persamaan
H 0
fs I 0
my ky 0 → Persamaan gerak (Equation of Motion)
Dengan:
y = simpangan
y d 2 y dt 2 = percepatan
m = massa
k = kekakuan elemen
DINAMIKA STRUKTUR
Satuan:
k
lb
in
w
lb
m
g in sec2
g 386 in
K
sec 2
K1
K1
yo
m
y
m
I
W
A
B
Keterangan:
A
: Pegas belum dibebani
B
: Pegas dibebani (statis)
C
: Pegas dibebani (dinamis)
Kondisi (B) Statis
fs
V 0
fs W 0
W fs
m
W k . yo
W
C
13
DINAMIKA STRUKTUR
14
Kondisi (C) Dinamis
fs
V
0
fs I W
fs k yo y
I m. y
m
I
W k . yo
fs I W
W
k yo y m. y k . yo
k . yo k . y m. y k . yo
m.y k. y 0 → Persamaan gerak (Equation of Motion)
Untuk menunjukkan kegunaan gaya inersia dan juga mengilustrasikan
fungsi utama eksitasi terdukung atau gerakan dasar, seperti struktur gedung yang
akan mengalaminya selama gempa bumi, dapat dilihat pada contoh 2.2 .
Contoh 2.2
Gunakan metode gaya D’Alembert untuk menentukan persamaan gerakan
dari massa m, asumsikan bahwa gaya redaman pada sistem bisa diwakili dengan
viskous dashpot linier seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah.
Asumsikan bahwa eksitasi terdukung z(t) diketahui. ketika u = z = 0, pegas belum
diregangkan.
Solusi:
Gambarkan diagram free body dari massa termasuk gaya inersia bersama dengan
gaya sesungguhnya.
DINAMIKA STRUKTUR
15
Tulis persamaan kesetimbangan dinamis
F 'x 0
……………(2.17)
Dari diagram freebody didapat
p fs fd mu 0
……………(2.18)
Hubungkan gaya dengan variable gerakan dan sederhanakan
mu c(u z) k (u z) p
……………(2.19)
Ingat bahwa gaya redaman dan gaya pegas yang dihubungkan dengan gerakan
dari massa mempunyai hubungan dengan gerakan yang terdukung.
Persamaan (2.19) bisa dituliskan dengan semua nilai yang diketahui dari bagian
kanan persamaan.
……………(2.20)
mu cu ku cz kz p
Persamaan (2.20) adalah persamaan dari gerakan dari perpindahan aktual dari
massa yang berada dalam kerangka acuan inersia yakni untuk u(t)
……………(2.21)
wuz
Dengan mengalihkan mz pada persamaan (2.19) dan menggunakan persamaan
(2.21) bisa didapatkan persamaan berikut :
……………(2.22)
cw kw p mz
mw
2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped)
Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal tak teredam
adalah
m.y k. y 0
……………(2.23)
Misal solusi:
y A cos t
……………(2.24)
y A sin t
……………(2.25)
Kita menganggap bahwa solusi pada persamaan (2.23) adalah persamaan (2.24)
y A cos t
y A sin t
……………(2.26)
y A 2 cos t
Substitusikan persamaan (2.24) dan (2.26) kedalam persamaan (2.23)
m.y k . y 0
m 2 k 0
m A. 2 Cos t k A Cos t 0
A Cos t 0
m 2 k ACos t 0
Sehingga:
m 2 k 0
2
k
m
DINAMIKA STRUKTUR
16
k
→ Frekuensi Alami Struktur [rad/dt] ……………(2.27)
m
Sebenarnya persamaan (2.25) juga solusi, maka solusi umumnya adalah:
……………(2.28)
y A Cos t B Sin t
……………(2.29)
y A Sin t B Cos t
Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu:
Perpindahan awal
: yt y0 yo
: y t y 0 Vo
Kecepatan awal
……………(2.30)
……………(2.31)
Maka substitusi persamaan (2.30) ke dalam persamaan (2.28) didapat:
……………(2.32)
A yo
Substitusi persamaan (2.31) dan (2.32) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat:
V
……………(2.33)
B o
Substitusi persamaan (2.32) dan (2.33) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat:
V
y yo Cos t o Sin t
→ Solusi Gerak Respons
atau
y C Sin t
dengan:
V
C yo o
y
tan o
Vo
2
2
Gambar 2.8. Respon getaran bebas tak teredam.
f
T
1
T 2
2
→
Frekuensi Alami [Siklus/dt]
→
Periode Getar
DINAMIKA STRUKTUR
17
Contoh 2.3
SDOF
200 lb/ft
Model Struktur :
m
F(t)
F(t)
E = 30.106 psi
I = 82,5 in4
W8x24
15 ft
W = 200 x 25 = 5000 lb
g = 386 ft/dt2
y
Model Matematis
K
m
fs
m
F(t)
Free Body Diagram
F(t)
I
Persamaan Kesetimbangan:
I fs F t
m.y k. y F t
K
12 E 2 I 12 .30 .10 2 .82,5
10,185 lb / in
L3
15.123
m
W 5000
g
386
f
6
k
10,185.386
m
5000
rad / dt
1 10,185.386
4.46 sps
2 2
5000
(Equation of Motion)
DINAMIKA STRUKTUR
Latihan.
Jika:
Simpangan awal y0 0,001 ft
Kecepatan awal y 0 0,1 ft/dt
Gaya luar F(t)
Gambarkan Respons Struktur!!
18
DINAMIKA STRUKTUR
Konstanta Pegas (Konstanta Elastis)
P K . yo
K
yo
P
yo
P
PL3
yo
48EI
P
P
48EI
K
3
3
PL
yo
L
48 EI
P
EI
yo
yo
P
Ph 3
12 EI
P
P
12 EI
K
3
3
Ph
yo
h
12 EI
yo
EI
h
P
EI
yo
L
Pl 3
yo
3EI
P
P
3EI
K
3
3
Pl
yo
L
3EI
19
DINAMIKA STRUKTUR
20
P
yo
Ph
EA
P
P
EA
K
Ph
yo
h
EA
yo
h
2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped)
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan beberapa cara untuk
memeperoleh persamaan gerak untuk SDOF teredam. Struktur yang
dimodelisasikan sebagai sistem sederhana dengan redaman-liat (viscousdamping), seperti pada gambar berikut:
m
P(t)
P(t)
m
y
K1
K2
K,c
K
m
I
c
(a)
(b)
(c)
Gambar 2.9. Sistem SDOF teredam, (a) model struktur, (b) model SDOF, dan
(c) model matematis.
Free Body Diagram
fs
fd
I
P(t)
H 0 I f d f s P(t )
I my
f d cy
my cy ky Pt → solusi persamaan gerak
f s ky
P(t)
DINAMIKA STRUKTUR
21
BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF
3.1
Pendahuluan
Pada semua kasus, persamaan gerak sistem linier berderajat kebebasan
tunggal mempunyai bentuk
……………(3.1)
mu cu ku p(t )
Perpindahan dan kecepatan pada saat t = 0 adalah
u(0) uo ,
u (0) uo
……………(3.2)
dimana, uo dan uo adalah perpindahan awal dan kecepatan awal.
Persamaan (3.1) dapat ditulis kembali menjadi
2
2
u 2 nu n u n p(t )
k
dimana
k
n 2
m
dan
c
ccr
ccr 2mn
2k
……………(3.3)
2 km
n
Untuk getaran bebas →P(t) = 0, maka persamaan (3.1) dan (3.3) menjadi:
……………(3.4)
mu cu ku 0
2
u 2 nu n u 0
……………(3.5)
n adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), adalah faktor redaman liat
dan ccr adalah koefisien redaman kritis.
Respon total:
u(t ) u p (t ) uc (t )
……………(3.6)
Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial
terdiri
dari
penyelesaian
sesungguhnya
up(t)
dan
penyelesaian
komplemen/pelengkap uc(t). Untuk memenuhi persamaan (3.4) dan (3.5), maka
digunakan asumsi
……………(3.7)
u C est
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.7) kedalam (3.5), maka diperoleh
2
……………(3.8)
s 2 2 n s n C est 0
Agar persamaan (3.8) valid untuk semua nilai t, kita harus menentukan
s 2 2 n s n 0
2
……………(3.9)
DINAMIKA STRUKTUR
22
3.2
Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped)
Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) tak
teredam adalah
2
……………(3.10)
u u 0
n
Dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah
……………(3.11)
s 2 n 0
2
Akar dari persamaan adalah
s1, 2 i n
dimana
i -1
……………(3.12)
Jika akar-akar tersebut di substitusikan ke persamaan (3.7), kita mendapat
penyelesaian umum
……………(3.13)
i n t
i n t
u C1e
C 2e
dengan memperkenalkan persamaman Euler :
……………(3.14)
ei cos i sin
kita dapat menulis ulang persamaan (3.13) dalam bentuk fungsi trigonometri,
yaitu
……………(3.15)
u A1 cos nt A2 sin nt
dimana A1 dan A2 adalah konstanta real untuk ditentukan dari kondisi awal yaitu
persamaan 3.2. Persamaan 3.2 dan 3.15 mengacu pada
u (0) uo A1
……………(3.16)
u (0) uo A2n
jadi,
u
……………(3.17)
u uo cos nt o sin nt
n
adalah respon getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam.
Pertama-tama dengan mempertimbangkan kasus dari sebuah sistem yang
menggantikan dari posisinya yang seimbang dengan jumlah uo dan dibebaskan.
Kemudian u(0) = 0 , jadi
……………(3.18)
u uo cos nt
.
Gambar 3.1. Getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam dengan
u (0) 0 .
DINAMIKA STRUKTUR
23
Dapat dilihat bahwa gerakan hasil adalah merupakan gerakan harmonik
sederhana dengan amplitudo uo, periode alami dari sistem tak teredam (undamped
natural period) yaitu
……………(3.19)
2
Tn
(s)
n
dan frekuensi alami dari sistem tak teredam (undamped natural frequency) adalah
1 n
……………(3.20)
fn
(Hz)
Tn 2
Gambar 3.2. Respon getaran bebas secara umum dari sistem SDOF tak teredam.
Gambar diatas menunjukkan sebuah plot dari persamaan (3.17) apabila uo
ataupun uo adalah 0 (nol). Hal ini tetap merupakan gerakan harmonik sederhana
dengan periode Tn u(t) dapat diekspresikan dengan persamaan (3.17) atau dengan
persamaan
u (t ) U cos(nt ) U cos n 1
n
……………(3.21)
3.3 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped)
Persamaan (3.5) ditulis kembali disini :
2
u 2 nu n u 0
……………(3.22)
Mengasumsi kembali sebuah solusi dari bentuk :
u C est
u s C e s t
……………(3.23)
u s 2C e s t
dan kita akan mendapatkan persamaan karakteristik :
s 2 2 n s n 0
nilai s1 dan s 2 adalah
2
s1, 2 n n 2 1
……………(3.24)
……………(3.25)
DINAMIKA STRUKTUR
24
Besarnya faktor "damping" () dapat digunakan untuk membedakan 3
kasus, yaitu underdamped (0 < < 1), critically damped ( = 1), dan overdamped
( 1). Respon pada sistem SDOF teredam dengan beberapa variasi nilai redaman
dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 3.3. Respon dari sistem SDOF dengan redaman viskous dan variasi tingkat redaman.
Kasus Underdamped (ζ<1) (redaman subkritis)
Untuk < 1, lebih mudah bila menulis persamaan (3.25) dalam bentuk
s1, 2 n id
……………(3.26)
dimana i 1 adalah unit imajiner dan d adalah frekuensi alami "damped
circular" yang diberikan oleh
……………(3.27)
1 2
d
n
periode redaman (Td) adalah
2
Td
d
……………(3.28)
Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u(t), dapat ditulis dalam
bentuk
……………(3.29)
u(t ) e nt ( A1 cos d t A2 sin d t )
u0 dan u0 digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2 , dengan hasil:
u nuo
……………(3.30)
A2 sin d t )
u (t ) e n t uo cos d t o
d
persamaan (3.30) dapat ditulis dalam bentuk:
u(t ) Ue nt cos(d t )
……………(3.31)
2
u nu0
U u0 0
d
jika harga ζ=20%, maka pada persamaan (3.27)
d 0,98 n
2
d n
……………(3.32)
……………(3.33)
DINAMIKA STRUKTUR
25
Substitusi persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.30), maka solusi gerak dapat
digambarkan sebagai berikut
Gambar 3.4. Respon getaran bebas dari sistem redaman subkritis.
Gambar berikut menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari
sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam redaman
subkritis. Dalam tiap kasus, karena uo = 0, respon yang didapat adalah
Gambar 3.5. Pengaruh dari tingkat redaman pada getaran bebas.
Walaupun nilai dari mempunyai efek pada frekuensi, d, efek yang paling
berat dari damping adalah pada angka pada saat gerakan menyusut, yaitu pada
waktu e-dt. Efek ini akan dibahas lebih lanjut pada bagian 3.4, yang membahas
ukuran dari damping.
DINAMIKA STRUKTUR
Kasus Critically-damped (ζ=1) (redaman kritis)
Ketika ζ=1 maka persamaan (3.25) menjadi
s1, 2 n
26
……………(3.34)
Sehingga responnya menjadi:
……………(3.35)
u(t ) (C1 C2t )e nt
Ketika kondisi awal diperhitungkan, maka respon dari sistem redaman kritis
adalah:
……………(3.36)
u(t ) [uo (uo nuo )t ]e t
n
Gambar 3.6. Respon getaran bebas pada redaman kritis.
Kasus Overdamped (ζ>1) (redaman superkritis)
Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari
koefisien redaman kritis yaitu
c
……………(3.37)
1
ccr
3.4
Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor
Damping dari sebuah sistem SDOF
Metode eksperimen biasa dipakai untuk variabel dinamis pada suatu sistem
(misal: frekuensi alami dan faktor redaman). Nilai konstanta pegas (k) dan massa
(m) dari sistem SDOF sederhana dapat diukur secara langsung. Namun nilai faktor
redaman sering berubah sehingga perlu pengukuran yang lebih teliti. Bila faktor
redaman diketahui, maka koefisien redaman bisa dihitung menggunakan
persamaan faktor redaman. Frekuensi alami dari sistem SDOF tak teredam dapat
ditentukan secara langsung melalui pengukuran statis. Contoh perhitungannya
seperti pada contoh 3.2 berikut.
DINAMIKA STRUKTUR
27
Contoh 3.1
Tentukan frekuensi natural dari sistem pegas-massa dengan menggunakan
pengukuran perpindahan secara statis.
Solusi:
k
Lo
k
fs=kust
ust
w
w
Dari persamaan frekuensi alami struktur, diperoleh persamaan
n2 k m
(1)
Persamaan keseimbangan massa yang tergantung pada pegas adalah
W fs 0
atau
F 0
(2)
(3)
Dari persamaan gaya-perpindahan pada pegas
f s kust
(4)
Kombinasi persamaan 3 dan 4
g
n 2
u st
(5)
apabila redaman dalam sistem kecil ( < 0.2), persamaan 3.32 menunjukkan
bahwa nilai d kurang lebih sama dengan n. Sedangkan dari contoh 3.3 dapat
diketahui bagaimana sebuah eksperimen getaran bebas dapat digunakan untuk
menentukan frekuensi alami dari sebuah sistem SDOF.
Contoh 3.2
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa lumped (terpusat)
bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian
dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang
DINAMIKA STRUKTUR
28
mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi
natural dalam radian per detik dan hertz. Berapa periodenya?
Solusi:
Pada titik a, mass telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.
1.25 putaran
fn
3.125 Hz
0.4 s
n 2f n (6.28)(3.125) 19.6 rad/s
Tn
1
1
0.32 s
f n 3.125
Terdapat dua metode yang hampir sama untuk menentukan faktor redaman
( ) menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas dari sistem SDOF, yaitu
metode pengurangan logaritmik dan metode setengah amplitudo dimana keduanya
didasarkan pada persamaan 3.31.
Gambar 3.7. Rekaman melemahnya respon pada sistem teredam.
Pada metode setengah amplitudo, gerakan amplitudo (up) pada permulaan
putaran dan amplitudo (uQ) pada akhir putaran diperkirakan besarnya. Pada akhir
DINAMIKA STRUKTUR
29
periode (satu putaran) nilai cos d t kembali lagi ke nilai pada awal putaran.
Dari persamaan 3.31, didapatkan rumus:
uP
e nTd
uQ
……………(3.38)
Persamaan pengurangan logaritmik adalah:
u
ln P nTd
……………(3.39)
uQ
Dimana Td adalah periode natural teredam yang dirumuskan sebagai berikut.
2
2
Td
……………(3.40)
d n 1 2
Dari persamaan 3.38 dan 3.39 didapatkan
2
nTd
1 2
……………(3.41)
Untuk faktor redaman kecil ( < 0,2), persamaan persamaan pengurangan
logaritmik mendekati nilai
2
……………(3.42)
Sehingga faktor redaman dapat diketahui juga menggunakan persamaan
1 U
……………(3.43)
ln P
2
U
Q
Prosedur yang sama juga dapat diterapkan pada metode setengah amplitudo, yang
menghasilkan perhitungan lebih sederhana untuk faktor redaman. Metode
setengah amplitudo didasarkan pada amplitudo dari kurva envelope.
uˆ (t ) Ue nt
……………(3.44)
Pada dua titik P dan R dimana:
uˆ R
uˆ P
2
……………(3.45)
Titik-titik tersebut sejarak periode redaman N, dimana N bukan sebuah bilangan
bulat. Selanjutnya,
uˆ P
e n NTd 2
uˆ R
……………(3.46)
Dari persamaan 3.40 dan 3.46
2N
1 2
ln( 2)
……………(3.47)
DINAMIKA STRUKTUR
30
Gambar 3.8 menunjukkan hubungan antara dan N.
Gambar 3.8. Faktor redaman vs. jumlah putaran untuk mengurangi ampitudo sebesar 50%.
Untuk nilai faktor redaman yang kecil, 2 << 1, persamaan 3.47 menjadi:
2N ln(2)
……………(3.48)
Sehingga,
0.11
……………(3.49)
N
Persamaan 3.49 memberikan cara yang mudah untuk memperkirakan redaman
dalam sebuah sistem yang teredam secara ringan ( < 0.1, misal N > 1)
Contoh 3.3
Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan
kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo
puncak 1,0 dan 0,85.
Tentukan:
a) n
b) Pengurangan logaritma ln
y1
y2
c)
d) c
e) D
Solusi:
a)
n
n
K
m
K = 20 lb/in
W
10 lb
m
g 386 in/sec 2
20
27,78 rad
sec
10 386
DINAMIKA STRUKTUR
f
27,78
4,42 SPS
2
2
b) ln y1
y2
1,0
ln
0,165
0,85
c)
2
d)
31
y1 = 1,00
y2 = 0,85
(untuk ξ kecil)
0,163
0,026
2
c
ccr
ccr 2 k m 2 10 20
386
c ccr
0,026 2 10 20
386
lb dt
0,037
in
Contoh 3.4
Gunakan metode setengah amplitudo untuk memperkirakan redaman dari
sebuah sistem yang gerakannya terekam dalam gambar 3.10
Solusi:
Gambar sketsa dari kurva envelope (terdapat pada gambar)
Ambil titik P pada salah satu puncak dan ukur up
up = 0,44 in
DINAMIKA STRUKTUR
32
Tempatkan titik R, dimana amplitudo dari kurvanya adalah up / 2 = 0,22 in
Perkirakan jumlah putaran antara P dan R
N = 2,25 putaran
Gunakan persamaan 3.49 untuk memperkirakan :
0.11
0.049
2.25
Level redaman dalam suatu sistem juga tercermin dalam konstanta waktu, ,
yang didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan amplitudo untuk berkurang
sejumlah faktor 1/e. Persamaan untuk menghitung konstanta waktu dapat
menggunakan langkah yang sama dengan langkah yang dipakai untuk penurunan
persamaan pada metode setengah amplitudo. Gunakan kurva envelope pada
gambar 3.7 lagi, tentukan titik S dimana:
uP
uP
……………(3.50)
e
uS u P (1 / e)
Jadi,
U exp( nt P )
uP
e
uS U exp[ n (t P )]
……………(3.51)
e n e
……………(3.52)
Atau,
Dengan menggunakan logaitma pada kedua sisi, kita dapatkan:
n 1
……………(3.53)
Selanjutnya konstanta waktu, , didapat dengan persamaan:
T
1
n
n 2
……………(3.54)
Dari persamaan 1/e = 1 / 2,718 = 0,368. Maka, konstanta waktu, ,adalah waktu
yang diperlukan amplitudo gerakan untuk berkurang sekitar 63 %.
3.5
Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping
Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan
diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon
getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar. Dalam praktek, redaman
ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan
redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi
nonlinier. Gambar 3.12 menunjukkan sebuah massa meluncur pada permukaan
kasar yang menghasilkan gaya gesekan.
DINAMIKA STRUKTUR
33
Gambar 3.9. Sistem SDOF dengan redaman.
f D k N k mg
……………(3.55)
Dimana k adalah koefisien gesek kinetik atau koefisien gesekan luncur. Gaya
gesek selalu berlawanan arah dengan gerakan gaya u . Menggunakan hukum
Newton II, kita peroleh:
……………(3.56)
f s f D mu
f D k mg sgn(u )
Sedangkan fs = k . u dan
Selanjutnya,
mu ku k mg,
mu ku k mg,
u 0
u 0
……………(3.57)
……………(3.58)
Dengan
1 g
uD f D k 2
k n
Persamaan 3.58 dan 3.59 dapat digabungkan untuk mendapat:
2
u n u nu D u 0
2
u n u nu D u 0
……………(3.59)
……………(3.60)
Gambar 3.10. Respon getaran bebas sistem dengan redaman Couloumb.
DINAMIKA STRUKTUR
34
Gerakan yang dihasilkan kemudian diplot dalam gambar 3.10. Yang perlu dicatat
pada gambar 3.10 adalah bahwa sistem redaman couloumb berlaku seperti sistem
SDOF tak teredam yang posisi seimbangnya berubah pada tiap akhir dari setengah
putaran. Tampilan yang beda dari gambar 3.9 adalah amplitudo berkurang secara
linier terhadap waktu, tidak secara eksponen seperti pada kasus redaman viskous.
DINAMIKA STRUKTUR
BAB IV RESPON SISTEM
HARMONIS
SDOF
TERHADAP
35
GERAK
Pada bab ini, dibahas respon sistem SDOF baik yang tidak teredam maupun
dengan redaman viskous terhadap gaya luar, dalam bentuk gerakan harmonis,
yaitu struktur yang dibebani oleh gaya atau perpindahan yang besarnya
dinyatakan oleh fungsi sinus atau cosinus dari waktu (p(t) = sin Ωt atau p(t) = cos
Ωt). Contoh gerakan harmonis adalah gerakan mesin-mesin rotasi yang
menghasilkan pengaruh harmonis akibat adanya eksentrisitas massa yang berotasi.
4.1
Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis
Respon total dari sistem linier terdiri dari superposisi respon akibat gerakan
gaya luar dan respon dari gerakan natural. Sedangkan pada gerakan harmonis,
gaya luarnya berupa respon steady-state.
Berdasarkan gambar 4.1 yang menunjukkan Sistem SDOF tak teredam,
diasumsikan bahwa sistem linier, amplitudo p0 dan frekuensi gerakan Ω,
persamaan gerakan adalah:
……………(4.1)
mu ku p0 cos t
Nilai dari gaya luar (respon steady-state) berbentuk:
u p U cos t
……………(4.2)
Untuk menentukan amplitudo, U, persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam
persamaan (4.1):
p0
……………(4.3)
U
2
k m
2
Terlihat bahwa k m 0 , maka defleksi statis:
p0
……………(4.4)
k
Kombinasi dari persamaan 4.3 dan 4.4 menghasilkan persamaan fungsi respon
frekuensi:
p0
k
U
m
1 2
k
U0
m
1
U
2
m 2
k n
1
k
1
……………(4.5)
H ()
,r 1
1 r 2
U0
DINAMIKA STRUKTUR
36
dimana:
r
n
……………(4.6)
2
dan
H ()
U
U0
r
H(Ω)
= rasio rekuensi
= fungsi respon frekuensi
……………(4.7)
Gambar 4.1. Gerak harmonis dari sistem SDOF tak teredam.
Fungsi respon frekuensi adalah fungsi yang memberikan penambahan atau
pembesaran pada gerakan steady-state dalam bentuk nilai absolut dari fungsi
respon frekuensi. Faktor pembesaran respon steady-state dirumuskan sebagai
berikut:
……………(4.8)
Ds H ()
Dari gabungan persamaan (4.2) dn (4.5) memberikan persamaan respon steadystate sebagai berikut:
U
……………(4.9)
u p 0 2 cos t , r 1
1 r
Gambar 4.2. Faktor pembesaran untuk sistem SDOF tak teredam (p(t)
= po sin Ωt).
DINAMIKA STRUKTUR
37
Jika r < 1, maka responnya sefase / terdapat di dalam fase gerakan karena (1-r2)
bernilai positif.
Jika r > 1, maka responnya 180° diluar fase / tidak sefase dengan gerakan,
sehingga up dapat ditulis:
U
u p 0 2 cos t
1 r
……………(4.10)
Persamaan respon total terdri dari solusi komplementer (uc) yang memenuhi
persamaan homogen dan solusi partikulir
(up) yang memenuhi persamaan
differensial nonhomogen.
u u p uc
uc A1 cos n t A2 sin n t
U
u 0 2 cos t A1 cos n t A2 sin n t
1 r
……………(4.11)
Persamaan 4.9 dan 4.11 tidak dapat digunakan bila r = 1 atau Ω = n yang
disebut dengan keadaan resonansi.
Dari gambar 4.2 terlihat bahwa frekuensi gerakan yang berada dekat dengan
resonansi, responnya menjadi sangat besar karena amplitudonya bernilai tak
hingga. Oleh karena itu, memperhitungkan respon struktur terhadap gerakan
harmonis sangat penting untuk menghindari kondisi resonansi dimana terjadi nilai
amplitudo yang sangat besar. Namun biasanya bahan yang dipakai untuk struktur
mempunyai limit kekuatan dan pada kondisi sebenarnya struktur akan runtuh jauh
sebelum dicapainya amplitudo maksimum.
Contoh 4.1
Sistem pada gambar 4.1 mempunyai k = 40 lb/in, dan berat benda 38,6 lb.
Jika uo uo 0 dan gaya luar P(t) = 10 cos (10t), tentukan persamaan gerakannya
dan sketsa hasil pergerakannya.
DINAMIKA STRUKTUR
38
Solusi:
Dari persamaan 4.11, respon total adalah:
U
u 0 2 cos t A1 cos n t A2 sin n t
1 r
Selanjutnya, persamaan gerakan diturunkan untuk mendapatkan persamaan
kecepatan:
U 0
u
sin t A1n sin n t A2n cos n t
1 r 2
Persamaan 3.4a
1
1
40(386)
k 2 kg 2
n
20 rad/s
(38.6)
m
W
Persamaan 4.4:
p 10
U0 0
0.25 in.
k 40
Persamaan 4.7:
10
r
0.5
n 20
Sehingga,
U0
0.25
0.25
0.33 in
2
2
1 r
1 (0.5)
1 0.25
Gunakan kondisi awal untuk menghitung A1 dan A2.
U0
u (0) 0
A1
1 r 2
Maka:
U
A1 0 2 0.33 in
1 r
u (0) 0 A2n
Jadi,
A2 = 0
u = 0,33[cos (10t) – cos (20t)] in
DINAMIKA STRUKTUR
39
Persamaan yang diperoleh kemudian digambarkan pada kurva di bawah ini.
Dari respon yang digambarkan pada contoh 4.1, maka:
Respon steady-state mempunyai frekuensi yang sama dengan gerakan dan
berada di dalam fase gerakan karena r < 1.
Gerakan gaya dan gerakan natural saling memperkuat dan menghilangkan,
menghasilkan fenomena tumbukan. Jadi, respon total bukan merupakan
gerak harmonis sederhana.
Respon total maksimum (u = -0,66 in pada t = π/10 s) lebih besar pada
pembesarannya daripada respon steady-state (up = 0,33 in pada t = 0).
Total faktor pembesaran dinamis didefinisikan sebagai:
u (t )
D max
t
U0
……………(4.12)
Jika r = 1, maka asumsi yang digunakan pada persamaan (4.2) adalah :
……………(4.13)
u p Ct sin t , n
Kemudian, dengan mnsubstitusikan persamaan (4.13) ke persamaan (4.1),
didapat:
p0
……………(4.14)
C
2mn
Atau:
u p 12 (U 0nt ) sin nt
4.2
……………(4.15)
Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis
Model analisis klasik dari sistem SDOF adalah model pegas-massa-dashpot
(gambar 3.1). Ketika sistem tersebut dikenakan gerakan harmonis (p0 cos Ωt),
maka persamaan gerakannya menjadi:
……………(4.16)
mu cu ku p0 cos t
DINAMIKA STRUKTUR
40
Gambar 4.3. Respon up(t) saat resonansi, Ω= n .
Akibat adanya redaman pada persamaan (4.16), respon steady-state tidak akan
berada dalam satu fase dengan respon steady-state:
……………(4.17)
u p U cos( t )
Dimana U adalah amplitudo steady-state dan α adalah sudut fase respon steadystate. Penentuan nilai U dan α dapat dilakukan dngan menggunakan putaran
vektor. Kecepatan dan percepatan dirumuskan sebagai berikut:
u p U sin( t )
……………(4.18)
up 2U cos( t )
Vektor posisi dari gaya luar, perpindahan, kecepatan dan percepatan terlihat pada
gambar 4.4.
Gambar 4.4. Vektor gaya, perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Gambar 4.5. Poligon vektor gaya.
DINAMIKA STRUKTUR
41
Persamaan 4.17 dan 4.18 disubstitusikan ke persamaan 4.16, menghasilkan
persamaan:
m 2U cost cU sint kU cost p0 cos t (4.19)
Persamaan di atas diperoleh dari poligon vektor gaya dimana masingmasing variabel gaya menggambarkan gaya yang bekerja pada suatu massa.
Gambar 4.5 menunjukkan kasus m 2U < kU yang berarti < n . Proyeksi
vektor dengan garis putus-putus pada gambar tersebut ditulis pada bagian kiri
persamaan 4.19. Sedangkan proyeksi vektor dengan garis penuh ditulis pada
bagian kanan persamaan 4.19. Dari gambar 4.5 juga bias diperoleh hubungan
persamaan sebagai berikut:
p0 (kU m 2U ) 2 (cU ) 2
2
…………(4.20a)
c
…………(4.20b)
k m 2
Sehingga nilai faktor pembesaran steady-state dirumuskan dengan persamaan:
tan
Ds
U
1
2
2
U0
1 r 2 2r
1
2
…………(4.21a)
2ζ r
…………(4.21b)
1 r 2
Kombinasi dari amplitude dan fase disebut respon frekuensi. Hubungan
tan α
antara rasio frekuensi dan faktor pembesaran steady-state digambarkan pada
kurva gambar 4.6.
Gambar 4.6. Kurva faktor pembesaran vs rasio frekuensi untuk berbagai nilai redaman.
DINAMIKA STRUKTUR
42
Contoh 4.2
Jika = 0,2 ditambahkan pada sistem contoh 4.1, dengan kondisi dan
perlakuan yang sama, tentukan persamaan gerakannya. Sketsa pergerakannya.
Solusi:
Fungsi total respon didapat dari:
u U cos( t ) e nt ( A1 cos d t A2 sin d t )
Dimana:
U
(1 r )
U0
2 2
(2 r ) 2
1
2
n , ud dan r dapat ditemukan dari contoh 4.1
1
k 2
n 20 rad/s
m
p
10
U0 0
0.25 in
k
40
10
r
0.5
n 20
n (0.2)(20) 4 rad/s
Oleh karenanya:
U
0.25
1 0.5 2(0.2)(0.5)
2 2
2
1
2
2 r 2(0.2)(5)
0.267
1 r 2 1 (0.5) 2
α = 0,26 rad
tan
0.32 in
DINAMIKA STRUKTUR
43
Dari persamaan 3.31a,
d n 1
2
20 1 (0.2) 2 19.6 rad/s
Hasil diferensial total respon dari waktu:
u U sin( t ) e nt A2d A1 n cos d t A1d A2 n sin d t
Maka,
u(0) 0 0.32 cos(0.26) A1
Sehingga:
A1 0.32 cos(0.26) 0.31 in
A2 0.11 in
Oleh karenanya,
u 0.32 cos(10t 0.26) e 4t [0.31cos(19.6t ) 0.11sin(19.6t )] in
DINAMIKA STRUKTUR
44
BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari
Eksitasi
Pada berbagai situasi riil di lapangan, eksitasi dinamik yang terjadi tidaklah
harmonik maupun periodik. Oleh karena itu, pada bab ini akan dibahas respon
dinamik dari suatu sistem SDOF terhadap eksitasi.
5.1
Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah
Step Input yang Ideal
Prototipe sistem SDOF yang ditunjukkan dalam gambar 3.1 merupakan
bentuk subjek untuk sebuah step input yang ideal seperti ditunjukkan pada gambar
5.1. Dari gambar di bawah dapat dilihat bahwa sebuah gaya bekerja secara tibatiba dari gaya nol (0) sampai dengan Po, selanjutnya nilainya konstan sebesar po.
P(t)
Po
t
Gambar 5.1. Sebuah stop input yang ideal.
Persamaan dari gerakan diberikan oleh persamaan 3.1, yaitu:
mu cu ku p0 ,
t 0
……………(5.1)
Dianggap sistem berhenti pada t = 0 (kondisi awal), sehingga:
u(0) u (0) 0
……………(5.2)
Penyelesaian dari persamaan 5.1 memuat sebuah bagian penyelesaian (a
particular solution) dari persamaan 5.1, yang dapat ditulis menjadi:
p
up 0
……………(5.3)
k
Dan sebuah penyelesaian pelengkap (a complementary solution) diberikan (untuk
<1) oleh persamaan 3.32 sehingga:
p0
e nt ( A1 cos d t A2 sin d t )
k
Gunakan kondisi awal untuk evaluasi A1 dan A2, kita peroleh:
u (t )
u (t )
p0
k
n
t
sin d t
1 e n cos d t
d
……………(5.4)
……………(5.5)
DINAMIKA STRUKTUR
45
Suatu cara yang berguna untuk menentukan respon dinamis suatu sistem adalah
dengan memperhitungkan rasio respon atau suatu faktor beban dinamik, R(t ) ,
yang didefinisikan oleh:
ku(t )
R(t )
pmax
……………(5.6)
Suatu faktor beban dinamik adalah rasio dari respon dinamis terhadap deformasi
statis. Untuk step input ideal, R(t ) diberikan oleh:
R(t ) 1 e nt cos d t n sin d t
……………(5.7)
d
Suatu faktor beban dinamik yang sejenis diilustrasikan pada gambar 5.2. Pada
rasio respon plot R(t ) 1 sesuai dengan posisi dari perpindahan statis. Karena
beban diberikan secara langsung, terdapat overshoot, kemudian sistem akan tetap
bertahan pada nilai statis yaitu 1 setelah melalui sejumlah gerakan bolak-balik
yang teredam.
Gambar 5.2. Plot dari faktor beban dinamik untuk sebuah step input.
Untuk sebuah sistem tak teredam (undamped), persamaan 5.5 menjadi:
p
u (t ) 0 (1 cos nt )
……………(5.8)
k
dan Rmax 2
5.2
Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada
Rectangular Pulse dan Pembebanan Ram
Pada bagian rectangular pulse akan dibahas efek dari hilangnya beban
setelah durasi td. Gambar 5.3 menunjukkan sebuah input rectangular pulse dan
rasio respon untuk sebuah sistem tak teredam untuk 2 kasus, yaitu
T
T
(a) t d n ,
(b) td n
2
2
dimana td adalah durasi dari rectangular pulse.
DINAMIKA STRUKTUR
46
Gambar 5.3. Respon dari sebuah input rectangular pulse, (a) rectangular pulse dan
(b) rasio reaksi.
Dari gambar di atas terlihat bahwa ketika ketika td Tn 2 , maka respon
maksimum terjadi sepanjang Force-vibration era, sedangkan jika td Tn 2 , maka
respon maksimum terjadi di Residual-vibration era, dimana nilai maksimumnya
dapat ditentukan pada tiap kasusnya.
a. Kasus 1 : Forced-vibration era (0 t td)
Gambar 5.3 (b) memperlihatkan R(t) untuk sebuah pulse dengan durasi
pembebanan sebesar td 5 4 Tn , dimana R(max) terjadi selama forcevibration era. Untuk kasus ini, R(t) adalah sama untuk sebuah step ideal
yang nilainya diperoleh dari persamaan (5.5) untuk sistem undamped,
dimana:
……………(5.9)
R1 (t ) 1 cos nt ,
0 t td
Nilai maksimumnya adalah
T
( R1 ) max R1 n 2
2
……………(5.10)
b. Kasus 2 : Residual-vibration era (td < t)
Gambar 5.3(b) menunjukkan R(t) untuk sebuah pulse selama durasi
t d Tn 8 . Rmaks terjadi selama residual-vibration era. Karena respon
untuk t > td adalah vibrasi bebas dengan kondisi awal “initial condition”
R1 (td )
dan R1 (t d ) , maka persamaan (3.17) dapat digunakan dalam bentuk
R (t )
R2 (t ) R1 (td ) cos n (t t d ) 1 d sin n (t td ) ………(5.11)
n
untuk t t d , dimana R1 (t d ) dan R1 (t d ) diperoleh dari persamaan 5.9.
DINAMIKA STRUKTUR
47
Gambar 5.4. Rotasi vektor yang merepresentasikan vibrasi bebas tak teredam.
Dari gambar 5.4 dapat dilihat bahwa amplitude U, dan sudut pada
persamaan 3.21 ditentukan dengan
u
U u o
n
2
2
o
2
dan
tan
uo n
uo
Persamaan amplitude U tersebut dapat digunakan untuk menentukan
amplitude dan respon ini.
1
2 2
R1 (t d )
2
R2 max R1 (td )
n
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
……………(5.12)
t
( R2 ) max 2 sin d
……………(5.13)
T
n
Untuk memperhitungkan pengaruh dari durasi pembebanan pada respon
maksimum, maka selanjutnya akan dibahas mengenai pengaruh dari
peningkatan waktu pembebanan. Gambar 5.4 memperlihatkan hubungan
antara beban ramp dengan peningkatan waktu tr yang diterapkan pada
sistem undamped SDOF.
DINAMIKA STRUKTUR
48
P(t)
Po
tr
t
Gambar 5.5. Fungsi input ramp.
Persamaan gerakan pada kondisi awal adalah
t
mu ku t r
P
o
Po
u0 u0 0
0 t tr
.......................(5.14a)
tr t
.......................(5.14b)
……………(5.15)
untuk 0 ≤ t ≤ tr, solusi khususnya adalah
t p
u p 0
t r k
……………(5.16)
Kemudian,
t
u
tr
p0
A1 cos nt A2 sin nt
k
……………(5.17)
Dengan menggunakan kondisi awal dari persamaan 5.15, kita dapatkan
p t 1
u 0
k t r ntr
sin nt
……………(5.18)
Untuk t tr , persamaan 5.14b dapat diselesaikan menjadi
p 1
u 0 1
k n t r
sin n t tr sin nt
……………(5.19)
Gambar 5.6a memperlihatkan respon sebuah masukan dengan t r Tn serta
t r Tn . Gambar 5.6b menggambarkan pengaruh dari kenaikan waktu pada respon
maksimum.
DINAMIKA STRUKTUR
49
(a)
(b)
Gambar 5.6. Respon dari sistem SDOF tak teredam terhadap input ramp. (a) Respon terhadap
input ramp. (b) Respon maksimum terhadap input ramp.
Dari gambar 5.6, dapat dilihat bahwa respon maksimum, Rmax 2 , terjadi
pada step input ideal (misalkan untuk tr = 0). Untuk ramp dengan tr >> Tn akan
terjadi sedikit overshoot dan sistem mengalami sedikit getaran bolak-balik atas
kurva defleksi statis semu (pseudostatic deflection curve).
t p
u pseudostatic 0 ,
tr k
0 t tr
……………(5.20)
5.3
Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi
Pendek, Unit Respon Impuls
Pembebanan impuls adalah pembebanan yang berlangsung dalam selang
waktu yang singkat. Impuls pada pembebanan ini didefinisikan sebagai perkalian
dari gaya dan selang waktu bekerjanya gaya tersebut. Mengingat sistem SDOF tak
teredam menyebabkan gaya dari durasi td << Tn menghasilkan sebuah impuls
td
I p(t )dt
0
……………(5.21)
DINAMIKA STRUKTUR
50
Gambar 5.7. Sistem SDOF tak teredam yang menerima impuls dengan durasi pendek.
Persamaan gerakan dan kondisi awal adalah
0 t td
pt
mu ku
td t
0
...................(5.22a)
...................(5.22b)
……………(5.23)
u(0) u(0) 0
Dengan mengintegralkan persamaan 5.22a yang mempertimbangkan waktu
dan menggabungkan kondisi awal, kita dapatkan
……………(5.24)
mu (td ) kuavgtd I
Dimana uavg adalah perpindahan rata rata(kecil) dalam interval waktu 0 < t ≤ td.
Untuk td → 0, yaitu td ≤ Tn, bagian kedua pada persamaan 5.24 dapat diabaikan.
……………(5.25)
mu (0 ) I
Akan tetapi, sebuah impuls yang terdiri atas sebuah gaya yang besar dan bekerja
pada waktu yang singkat berefek memberikan kecepatan awal yang besar, yaitu
I
…………(5.26a)
u (0 )
m
Akan tetapi abaikan dengan diganti perpindahan awal, yakni
u (0 ) 0
…………(5.26b)
Hal ini bisa digunakan sebagai “awal” kondisi bagi permasalahan getaran bebas
pada persamaan 5.22b. Dengan menggunakan persamaan 3.17, kita dapatkan
respon dari impuls
I
……………(5.27)
sin nt
u (t )
mn
Fungsi respon dari impuls untuk sistem SDOF tak teredam didapatkan dari
persamaan 5.27 dengan I = 1. Secara konvensi, unit fungsi respon dari impuls
seringkali disebut h(t), sehingga
……………(5.28)
1
sin nt
h(t )
mn
DINAMIKA STRUKTUR
51
Untuk sistem SDOF teredam-kental (viscous damped) dengan < 1, fungsi respon
dari impuls dapat diperlihatkan sebagai
I nt
e
u (t )
sin d t
m
d
dan kesetaraan fungsi respon dari impuls didapat
1
h(t )
md
nt
e
sin d t
……………(5.29)
……………(5.30)
Contoh 5.1
Asumsikan bahwa impuls I p(t )dt berasal dari gaya konstan po yang
terjadi pada interval waktu 0 < t ≤ td hingga sistem SDOF tak teredam berada
pada t = 0. Buktikan bahwa untuk td ≤ Tn, persamaan 5.11 dapat diringkas
menjadi persamaan 5.27.
Solusi:
a. Tentukan u t d dan u t d dari persamaan 5.8
p
u (t d ) 0 (1 cos n t d )
k
p
u (t d ) n 0 sin n t d
k
...................(1)
...................(2)
Dengan nTn 2 dan td << Tn, n t d << 2
(1 cos n t d ) 12 n t d
2
sin n t d n t d
Karena I = po t d , sehingga
p
I t
u (t d ) 12 0 ( n t d ) 2 d
2 m
k
I
p
u (t d ) n 0 ( n t d )
m
k
……………(3)
b. Tinjau u(t) dari persamaan 5.11 dengan td → 0
I t
I
sin n (t t d )
u (t ) lim d cos n (t t d )
td 0
mn
2m
...................(4)
DINAMIKA STRUKTUR
52
Jadi untuk td → 0
I
sin nt
u (t )
mn
Seperti yang terlihat pada persamaan 5.27.
...................(5)
DINAMIKA STRUKTUR
53
BAB VI Respon System SDOF pada Eksitasi Dinamis
6.1
Metode Integral Duhamel
Metode integral duhamel untuk menentukan respon dari sistem SDOF
terhadap eksitasi dinamis secara umum dapat dikembangkan dari persamaan
fungsi respon impuls, yang telah dijabarkan pada bab 5.3. Integral duhamel
didasarkan pada prinsip superposisi, yang valid hanya untuk sistem linear.
Gambar 6.1 menunjukan sistem SDOF tak teredam yang pada awalnya tak
terganggu dimana kemudian menjadi pokok inputan P(t). respon dari sistem atas
impuls dI= P(τ)dτ yang disebut du(t) dan didapatkan atas persamaan:
dI
sin n t
du t
m
n
……………(6.1)
Gambar 6.1. Kenaikan respon pada sistem tak teredam.
Total respon pada waktu t adalah jumlah dari respons pada waktu t adalah jumlah
dari respons yang berasal dari keseluruhan pias-pias impuls mulai dari waktu awal
hingga waktu t, sehingga
1 t
p( ) sin n (t )d
u (t )
0
m
n
……………(6.2)
Atau
t
u (t ) p( )h(t )d
0
……………(6.3)
DINAMIKA STRUKTUR
54
dimana h(t- τ) didapat dari persamaan 5.28 untuk sistem tak teredam. Persamaan
6.3 adalah valid untuk sistem teredam jika persamaan 5.30 digunakan untuk
mendapatkan h(t- τ). Sehingga, untuk sistem teredam yang mulai dari waktu awal
1
u (t )
md
t
p( )e n (t ) sin d (t )d
0
……………(6.4a)
atau
1 t
……………(6.4b)
I p( )e (id n )( t ) d
u (t )
md 0
Persamaan 6.2 dan 6.4 menjelaskan pernyataan integral duhamel untuk respons
dari sistem SDOF baik yang tak teredam maupun yang teredam. Persamaan 6.3
seringkali menjelaskan sebagai integral konvulasi, dimana bentuk yang lebih
umum adalah :
x(t ) f1 ( ) f 2 (t )d
……………(6.5)
Persamaan 6.2 atau 6.4 mungkin akan digunakan untuk menentukan respons dari
sistem SDOF hingga eksitasi dinamis secara umum jika sistem ini dimulai dari
waktu awal. Jika sistem memiliki kondisi awal tidak sama dengan nol, kemudian
respons dari kondisi awal di tentukan dari persamaan 3.17 atau untuk ζ < 1, dari
persamaan 3.33. Oleh karena itu, untuk sistem tak teredam
1 t
u
p( ) sin n (t )d u0 cos n t 0 sin n t
u (t )
mn 0
n
dan untuk sistem di bawah teredam (under damped)
1 t
p( )e n (t ) sin d (t )d u0 e nt cos d t
u (t )
0
m
d
……(6.6)
1
……………(6.7)
u 0 n u0 e nt sin d t
d
adalah tepat untuk menggunakan identitas trigonometri ketika mengevaluasi
integrasi Duhamel
……………(6.8)
sin (t ) sin t cos cos t sin
DINAMIKA STRUKTUR
55
Contoh 6.1
Gunakan integral Duhamel untuk menentukan respons dari sistem SDOF tak
teredam dari sebuah beban “ledakan” yang ditentukan oleh pulsa triangular yang
diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Menjelaskan pernyataan yang valid untuk t < td dan untuk t > td. Sistem tersebut
dimulai pada waktu awal.
Solusi:
Gunakan persamaan 6.2 dengan
t
p(t ) po 1
td
p(t ) 0
0 t td
td t
a. Untuk 0 ≤ t ≤ td
1 t
p0 1
u (t )
m n o
td
t
p
0 sin n t
o
k
sin n (t )d
1
td
cos n d ( n )
1 sin n d ( n )
td
Gunakan integral parsial, kita dapatkan
1
cos n d (n ) sin n n sin n d (n )
1
sin n cos n
n
Juga,
t
p
0 cos n t
o
k
DINAMIKA STRUKTUR
56
1
sin n
n
sin d ( ) cos
n
n
n
Sehingga,
t
p
u (t ) 0 sin n t sin n t
k
td
1
sin n t
n t d
1
cos n t
nt d
t
1
cos n t cos n t 1 cos n t
td
nt d
Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi
t
R1 (t ) 1
td
1
cos n t
n t d
sin n t
sin n t
b. Untuk td < t
1 td
po 1 sin n (t )d
u (t )
mn o
td
Jadi,
1
1
p
cos n t d
u (t ) 0 sin n t
k
nt d
nt d
1
cos n t 1
nt d
sin n t d
sehingga,
1
R2 (t )
n t d
sin nt (1 cos ntd ) cos nt (ntd sin ntd )
Contoh 6.2
Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model
dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila
perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) td = 0.4 s, (2) td = 0.04 s
DINAMIKA STRUKTUR
57
k = 9.0 GN/m, m = 10 Mg
Solusi :
a. Tentukan frekuensi dasar sistem
n
fn
k
9 109
m
10 10 6
30 rad / s
n
4.77 Hz
2
b. Menentukan rasio reaksi maksimum
Untuk kasus 1, td = 0.4 s
f ntd 4.770.4 1.91
Dari reaksi spectrum, dapat dihitung
Rmax = 1.75
Untuk kasus 2, td = 0.04 s
f ntd 4.770.04 0.191
Dari reaksi spectrum, dapat dihitung
Rmax = 0.58
c. Menentukan perpindahan statis untuk setiap kasus, kemudian tentukan nilai
gaya ledak maksimum yang dapat ditahan (po)
umax = 5 mm
p
umax Rmax 0
k
atau
ku
po max
Rmax
Untuk kasus 1
9
3
po 1 9 10 5 10
1.75
25.7 M N
Untuk kasus 2
DINAMIKA STRUKTUR
58
9
3
po 2 910 510
0.58
77.6 M N
z(t)
u
k
c
m
Gambar 6.2. Prototipe gerakan relatif sistem SDOF.
Sejak banyaknya penerapan dari reaksi spectra yang melibatkan gerakan
relatif, ini berguna untuk menentukan jumlah reaksi yang sesuai untuk kasus ini.
Gambar 6.2 menunjukkan prototipe dari gerakan relatif sistem SDOF. Seperti
pada contoh 2.2, perpindahan relatif menjadi
……………(6.9)
w=u–z
Kemudian persamaan dari gerakan dapat ditulis
……………(6.10)
cw kw mz
mw
definisi dari rasio reaksi seperti yang telah diberikan pada persamaan 5.6. Rasio
reaksi berhubungan pada gerakan relatif hendaknya difenisikan sebagai
n2 wt
wt
Rt
zmax
mzmax / k
……………(6.11)
Dengan memasukkan z zmax f a t dan berdasarkan persamaan 6.4 dapat
menunjukan R (t) pada integral Duhamel. Untuk w0 w 0 0 maka untuk
sistem teredam
ω2 n
R(t)
ωd
1
f τ e
ζωn t τ
a
sin ωd t τ dτ
……………(6.12)
0
dan untuk sistem tak teredam
1
R(t) n f a sin n t d
……………(6.13)
0
Dari persamaan 6.11, perpindahan relatif maksimum diberikan oleh
1
w max 2 Rmax zmax
……………(6.14)
n
DINAMIKA STRUKTUR
59
Jumlah kedua yang menjadi perhatian ialah akselerasi maksimum mutlak, umax .
Persamaan 6.10 dapat ditulis
kw 0
mu cw
……………(6.15)
Untuk sistem yang tak teredam, umax dapat dengan mudah ditentukan dari
persamaan 6.14 dan 6.15
u max n2 wmax
……………(6.16)
atau dari persamaan 6.14 dan 6.16,
u max R max zmax (c 0)
……………(6.17)
Contoh 6.3
Sistem SDOF tak teredam seperti pada gambar 6.3 mengambarkan
akselerasi dasar seperti gambar di bawah. Semua kondisi awal nol. Tentukan
persamaan untuk wmax dan umax dan plot log-log dari wmax dengan fn.
Gambar 6.3a. Pemodelan kendaraan yang bergerak di atas lintasan bump.
z zmax f a (t)
dimana
DINAMIKA STRUKTUR
f a (t)
1
t
td
0
60
0 t 2t d
2t d t
Solusi :
a. Menentukan reaksi untuk 0 ≤ t ≤ 2td
Karena eksitasi untuk 0 ≤ t ≤ 2td memiliki format yang sama pada contoh
6.1, R1(t) akan sama dengan yang diberikan pada persamaan 7 dari contoh
6.1
t
R1 t 1
td
1
cos nt
n t d
sin nt
b. Menentukan reaksi untuk 2td < t
R 2t
R2 t R1 2td cos n t 2t d 1 d sin n t 2td
n
c. Menentukan waktu reaksi maksimum berdasarkan gaya – getaran,
2td
1
R1 t 1 ntd sin nt cos nt
td
0≤t≤
dimana Ŕ1 = 0
ntm 2 tan 1 ntd
Pada kasus biasa
ntm 2 tan 1 ntd dengan (ntm/2) berdasarkan pada kuadran
pertama
Pada kasus terakhir
ntm 2tan 1 ntd p
dimana p ialah integer terbesar untuk ntm < 2ntd dan tan-1 (ntd) diambil
pada kuadran pertama.
Kemudian,
DINAMIKA STRUKTUR
1
n t d
R1 max 1 ntm cos ntm
n t d
61
sin ntm
d. Menentukan waktu residual-vibration maksimum yang terjadi, 2td < t
Dari persamaan 2,
1/ 2
R2 max
2
R1 2t d
2
R1 2t d
n
dimana R1(2td) dan Ŕ1(2td) berdasarkan pada persamaan 1.
e. Menentukan pernyataan untuk wmax dan ϋmax :
umax
wmax
1
dan
Rmax
2 2 Rmax
2
zmax
zmax t d nt d
dimana Rmax adalah reaksi maximax yang diambil nilai terbesar antara
(R1)max dan (R2)max.
f. Plot wmax dengan fn menggunakan skala log – log
Ini akan lebih mudah untuk menggambar reaksi nondimensional
wmax zmax t d2 dengan frekuensi alami nondimensional fntd.
DINAMIKA STRUKTUR
62
BAB VII Respons Spektrum
Respons spektrum (response spectra) adalah plat respons maksimum
(perpindahan, kecepatan, percepatan maksimum ataupun besaran yang diinginkan)
dari fungsi beban tertentu untuk semua kemungkinan sistem berderajat kebebasan
tunggal (SDOF).
Perpindahan relatif
|y-ys|max
y
m
k
k
Frekuensi
Natural f
ys (t)
(a)
(b)
Gambar 7.1 (a) Sistem SDOF yang dipengaruhi pergerakan tanah, (b) Bentuk spektrum respons.
Gambar 7.1(a) menunjukkan bangunan yang dibebani/dipengaruhi
perpindahan tanah yang dinyatakan sebagai fungsi ys(t). Lengkung atau kurva
spektrum respons pada gambar 7.1(b) memperlihatkan perpindahan relatif
maksimum dari massa m terhadap perpindahan penyokong dari suatu sistem
SDOF.
7.1
Bentuk Respons Spektrum
Bentuk grafik spektrum respons dapat dijelaskan dengan menggunakan
sebuah osilator tak teredam yang dipengaruhi oleh setengah perioda gaya
pengaruh sinusoidal pada gambar 7.2 di bawah ini.
DINAMIKA STRUKTUR
63
y
F(t)
k
F(t)
m
Fo
td
(a)
my
ky
t
(b)
F(t )
(c)
Gambar 7.2 (a) Osilator sederhana tak teredam yang dipengaruhi beban F(t), (b) Fungsi beban
F t Fo sint 0 t t d , dan (c) Free body diagram.
Persamaan gerak SDOF tak teredam :
my ky F (t )
……………(7.1)
dengan,
0
F (t )
Fo sin t
untuk t t d
untuk 0 t t d
……………(7.2)
……………(7.3)
td
Solusi umum persamaan (7.1) merupakan superposisi antara solusi komplementer
y c dan solusi partikulir y p ,
……………(7.4)
y yc y p
……………(7.5)
yc A cos t B sin t
……………(7.6)
y p C sin t
dimana k m adalah frekuensi natural. Solusi khusus untuk selang waktu
0 t t d adalah sebagai berikut.
Recall persamaan (7.1).
my ky F (t )
my ky F (t ) sin t
……………(7.1a)
Recall persamaan (7.6).
y p C sin t
y C cos t
y C sin t
2
Susbstitusikan persamaan (7.6a) ke dalam persamaan (7.1a):
……………(7.6a)
DINAMIKA STRUKTUR
64
m(C 2 sin t ) kC sin t Fo sin t
Cm 2 Ck Fo
C (k m 2 ) Fo
C
Fo
(k m 2 )
……………(7.7)
Dengan mengkombinasikan persamaan (7.4) dan persamaan (7.7), maka respon
untuk 0 ≤ t ≤ td adalah
y yc y p
Fo sin t
k m 2
F cos t
y A sin t B cos t o
k m 2
Untuk kondisi awal y(0) 0 , recall persamaan (7.8).
0=A+0+0
A=0
Untuk kondisi awal y (0) 0 , recall persamaan (7.8a).
y A cos t B sin t
y 0 B
……………(7.8)
……………(7.8a)
Fo
k m 2
B
k m 2
Fo
Masukan harga A dan B kedalam persamaan (8).
sin t
F sin t
y
o
2
k m
k m 2
Fo
y
sin t sin t
2
k m
Fo
Fo
sin t sin t
1
Untuk memudahkan analisa, persamaan tersebut ditulis
F
2
,
yst o ,
td
k
T
y
k
2
Maka persamaan (7.9) menjadi
……………(7.9)
DINAMIKA STRUKTUR
65
t
T
t
sin
sin 2 untuk 0 t t d ………(7.10a)
t d 2t d
T
T
1
2t d
Solusi pada persamaan (7.10a) untuk t > td adalah
T
td
t
y
t t
…………(7.10b)
cos d sin 2 d
2
yst T
T
T 2T
1
2
t
d
y
y st
1
2
Pada persamaan (7.10) terlhat bahwa respon dalam besaran y y st adalah
fungsi dari rasio waktu pulsa (pulse duration) dengan periode natural dari sistem
(td/T) dan dari waktu yang dinyatakan dengan t/T. Jadi dari harga tertentu
parameter td/T akan diperoleh respon maksimum pada persamaan (7.10). Gambar
7.3 menunjukan respons spektrum dari persamaan (7.10).
y
y st
T 2 m
k
td T
Gambar 7.3 Respons spektrum untuk setengah gaya sinusoidal dengan selang waktu td.
7.2
Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak
Analisa sistem yang dipengaruhi oleh beban pada perletakan/pondasi
merupakan suatu masalah penting yang ada pada dinamika struktur.
ys
m
y
k
c
k
k
m
c
(a)
fS
I
fD
(b)
I m.y
f S k ( y ys )
f D c( y y s )
DINAMIKA STRUKTUR
66
Gambar 7.4 Osilator sederhana teredam yang dipengaruhi oleh penyokongnya, (b) diagram free
body.
Percepatan getaran yang menyebabkan pergerakan pondasi bisa digambarkan
sebagai berikut:
ys (t )
t
Gambar 7.5 Fungsi percepatan yang memmpengaruhi penyokong dari osilator pada Gambar 7.4.
Persamaan gerak sistem pada diagram free body dapat ditulis
my c( y y s ) k ( y ys ) 0
……………(7.11)
dengan,
c
km ,
ccr
,
ccr 2 k .m
maka persamaan (7.11) menjadi:
y 2 y 2 y 2 ys (t ) 2 y s (t )
……………(7.12)
yang merupakan persamaan differensial gerak dari osilator teredam dalam besaran
gerak absolut. Jika dirumuskan perpindahan relatif u yang didefinisikan sebagai
……………(7.13)
u y ys
maka persamaan (7.12) dapat ditulis
u 2 u 2u ys (t )
……………(7.14)
solusi persamaan (7.14) diperoleh dengan menggunakan integral Duhamel sebagai
u (t )
1
t
y ( )e
s
( t )
sin (t )d
……………(7.15)
0
7.3
Besaran- Besaran Respons Spektrum
Spektrum perpindahan SD adalah perpindahan relatif maksimum yang linear
dengan spektrum percepatan Sa yaitu percepatan absolut maksimum.
……………(7.16)
S 2 S
a
D
SV S D
Sa
……………(7.17)
DINAMIKA STRUKTUR
67
Suatu contoh respons spektrum perpindahan untuk sistem SDOF yang
dipengaruhi oleh gerak penyokong terlihat pada gambar 7.6, yang merupakan
respons dari gerakan hasil rekaman percepatan tanah pada gempa di El Centro
1940. Plot dari rekaman percepatan gempa ini terlihat pada Gambar 7.7.
Gambar 7.6 Respons spektrum perpindahan untuk sistem elastis yang dipengaruhi pergerakan
tanah akibat gempa di El Centro 1940.
Gambar 7.7 Rekaman percepatan tanah untuk gempa El Centro, California 18 Mei 1940 konponen
utara-selatan.
Pada Gambar 7.8, bentuk data yang sama digunakan untuk mendapatkan
respons spektrum perpindahan pada Gambar 7.6, yang diplot dalam besaran
spektrum kecepatan untuk beberapa harga koefisien redaman, dengan perbedaan
absis dan ordinat dalam skala logaritmis.
DINAMIKA STRUKTUR
68
Gambar 7.8 Respons spektrum sistem elastis untuk gempa El Centro 1940.
Untuk menyatakan bentuk dari diagram tiga besaran pada Gambar 7.8,
persamaan (7.17) ditulis dalam besaran frekuensi natural f dalam siklus per detik
(spd) dan mengambil harga logaritmanya, akan didapat
SV S D 2 f S D
……………(7.18)
log S log f log( 2S )
V
SV
D
Sa
Sa
2f
log SV log f log
7.4
Sa
2
……………(7.19)
Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis
Gempa bumi terdiri dari suatu seri gerakan tanah yang bersifat acak
(random). Biasanya komponen utara-selatan, timur-barat dan komponen vertikal
dari percepatan tanah yang diukur. Respons spektrum rencana yang merupakan
gabungan spektrum beberapa gempa bumi yang dinyatakan oleh suatu bentuk
spektrum “rata-rata” digunakan dalam perencanaan struktur tahan gempa, karena
saat ini tidak ada metode yang dapat menduga bentuk gerakan gempa pada suatu
lokasi yang akan terjadi. Respons spektru rencana ini diperlihatkan pada Gambar
8.9.
DINAMIKA STRUKTUR
69
Gambar 7.9 Respons spektrum rencana yang dinormalisasikan untuk 1.0g.
Contoh 7.1
Struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyai
perioda alami Tn= 1 detik. Metoda spektrum respons untuk menentukan
percepatan absolut maksimum, perpindahan relatif maksimum dan kecepatan
(pseudovelocity) relatif maksimum untuk:
a) gerakan pondasi yang sama dengan gempa El Centro 1940
b) gempa rencana dengan percepatan tanah maksimum sebesar 0.32g.
Dengan anggapan redaman sebesar 10% redaman kritis.
Solusi :
a. Dari spectrum respons pada gambar 8.8 dengan f=1/T=1.0 spd dan ξ=0.10,
maka
SD
= 3.3 in
SV
= 18.5 in/dt
Sa
= 0.30 g
b. Dari spectrum dasar rencana pada gambar 8.9, dengan f=1/T=1.0 spd dan
ξ=0.10, untuk percepatan tanah maksimum 0.32g, maka
SD
= 9.5 x 0.32
= 3.04 in,
DINAMIKA STRUKTUR
SV
Sa
70
= 60 x 0.32
= 19.2 in/det,
= 0.95 x 0.32g = 0.304g.
BAB VIII SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN BANYAK
(MDOF)
8.1 Sistem MDOF Sederhana
Persamaan gerak untuk sistem MDOF sederhana, dapat diidealisasikan pada
struktur portal tingkat dua dengan gaya luar p1(t) dan p2(t) (gambar 8.1).
Gambar 8.1. (a) Struktur portal tingkat dua (b) gaya yang bekerja pada kedua massa
Pada idealisasi tersebut balok dan lantai adalah kaku. Massa yang
terdistribusi pada seluruh gedung. akan diidealisasikan terpusat pada bidang
lantai. Asumsi tersebut umumnya sesuai untuk bangunan bertingkat. Pada gambar
8.1a diatas, portal tingkat dua dengan massa terpusat pada setiap lantai memiliki
dua DOF : perpindahan lateral u1 dan u2 pada kedua lantai dalam arah x.
Gaya-gaya yang bekerja untuk setiap massa lantai mj dapat dilihat pada
gambar 8.1b., termasuk gaya luar pj(t), gaya elastic fSj dan gaya redaman fDj. Gaya
elastis dan redaman menunjukan arah yang berlawan, karena kedua gaya tersebut
adalah gaya dalam yang menahan gerakan.
8.2 Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF
Persamaan gerak dari hukum Newton kedua yang diberikan untuk setiap
massa adalah
m j uj f D j f Sj p j (t )
……………(8.1)
Persamaan diatas terdiri dari j=1 dan j=2 sehingga dapat ditulis dalam bentuk
matrik ;
m1 0 u1 f D1 f S1 p1 (t )
……………(8.2)
0 m u f f p (t )
2 2
D2 S 2 2
atau dapat ditulis ;
……………(8.3)
f D f S p(t)
mu
DINAMIKA STRUKTUR
71
dimana
u
u 1
u2
0
m
m 1
0 m2
f
f D D1
f D2
f
f S S1
fS 2
p
p 1
p1
Gaya elastis fS berhubungan dengan perpindahan yang terjadi pada setiap lantai u.
Oleh karena itu, kekakuan lateral kj untuk setiap lantai ke-j memberikan hubungan
geser pada lantai Vj terhadap deformasi lantai, Δj = uj-uj-1.
Vj k j j
……………(8.4)
Kekakuan pada setiap tingkat atau lantai adalah jumlah kekakuan lateral dari
semua kolom di lantai tersebut. Tingkat atau lantai dengan tinggi h dan kolom
dengan modulus E dan momen inersia Ic maka kekakuan lantai tersebut adalah
12 EI
……………(8.5)
kj 3 c
h
kolom
Pada gambar 8.1, kita dapat menghubungkan gaya elastis fS1 dan fS2 terhadap u1
dan u2 .Gaya fS1 pada lantai pertama tersusun atas f Sa1 dari tingkat atas dan f Sb1 dari
tingkat bawah. Oleh karena itu
f S1 f Sb1 f Sa1
f S1 k1u1 k2 (u1 u2 )
Gaya fS2 pada lantai kedua adalah
f S 2 k2 (u2 u1 )
……………(8.6a)
……………(8.6b)
Persamaan (8.6a) dan (8.6b) dalam bentuk matrik adalah
f S1 k1 k 2 k 2 u1
u atau f S ku
f
k
k
2
2 2
S2
Dengan cara yang sama pada persamaan (8.6), dapat diperoleh
f D1 c1u1 c2 (u1 u2 )
f D 2 c2 (u2 u1 )
……………(8.7)
……………(8.8)
dan dalam bentuk matrik adalah
f D1 c1 c2 c2 u1
u atau f D cu ……………(8.9)
f
c
c
2
2 2
D2
Dengan mensubstitusikan persamaan (8.7) dan persamaan (8.9) kedalam
persamaan (8.3), maka diperoleh
……………(8.10)
cu ku p(t)
mu
8.3 Prinsip D’Alembert’s pada Sistem MDOF
Berdasarkan prinsip D’ Alembert’s pada bab sebelumnya, adanya gaya
inersia pada kesimbangan dinamis pada sebuah struktur. Untuk dua massa dalam
DINAMIKA STRUKTUR
72
sistem pada gambar 8.1a, free body diagram dan gaya inersianyanya dapat dilihat
pada gambar 8.2, dimana untuk setiap gaya inersia adalah perkalian massa dengan
percepatannya.
Gambar 8.2. Free Body Diagram
8.4 Sistem Massa – Pegas – Redaman
Gambar 8.3. (a) Sistem berderajat dua; (b) free body diagram
Persamaan gerak untuk sistem diatas telah ditunjukan oleh persamaan (8.10),
sehingga;
m1 0 u1 c1 c2 c2 u1 k1 k 2 k 2 u1 p1 (t )
……(8.11)
0 m u c
c2 u2 k 2
k 2 u2 p2 (t )
2 2
2
Contoh 8.1
Buat persamaan gerak untuk portal dua tingkat dibawah ini.
DINAMIKA STRUKTUR
73
Solusi:
m1 2m
m2 m
12( 2 EI c )
48EI c
12(EI c )
24 EI c
k2 2
3
3
3
h
h
h
h3
Substitusikan ke persamaan (8.2) dan (8.7), sehingga diperoleh matrik massa dan
matrik kekakuan:
2 0
24 EI c 3 1
m m
k
h3 1 1
0 1
Jadi persamaan gerak untuk sistem ini adalah
2 0 u1 24 EI c 3 1 u1 p1 (t )
m
h 3 1 1 u p (t )
0 1 u2
2 2
k1 2
fI2
fI1
Contoh 8.2
Buat persamaan gerak untuk portal tiga tingkat (bangunan berlantai tiga) dibawah
ini.
u3
p3(t)
p3(t)
m3 u3
k 3 (u 3 u 2 )
u2
k 3 (u 3 u 2 )
p2(t)
p2(t)
m2 u2
k 2 (u 2 u1 )
u1
k 2 (u 2 u1 )
p1(t)
p1(t)
m1u1
k 1 u1
DINAMIKA STRUKTUR
74
Solusi:
u1
p1(t)
p2(t)
p1(t)
u1
p2(t)
m1u1
k 1 u1
k 2 (u 2 u1 )
u2
u3
p3(t)
u2
m2 u2
u3
p3(t)
k 3 (u 3 u 2 )
m3 u3
Persamaan-persamaan gerak dari masing-masing free body diagram pada setiap
massa,
m1u1 k1u1 k 2 (u2 u1 ) p1 (t ) 0
m2u2 k 2 (u2 u1 ) k3 (u3 u2 ) p2 (t ) 0
m3u3 k3 (u3 u2 ) p3 (t ) 0
Sehingga persamaan gerak dalam bentuk matrik dari sistem ini adalah
m1 0
0 m
2
0 0
0 u1 (k1 k 2 )
k2
0 u1 p1 (t )
0 u2 k 2
(k 2 k3 ) k3 u2 p2 (t )
m3 u3 0
k3
k3 u3 p3 (t )
8.5 Koefisien Kekakuan
Elemen-elemen dari mtriks kekakuan pada persamaan (8.7) disebut
koefisien kekakuan. Dimana pada umumnya koefisien kekakuan kij didefinisikan
sebagai gaya pada koordinat i bila satu perpindahan diberikan pada titik j. Sebagai
contoh, koefisien pada baris kesatu dan kolom kesatu dari persamaan (8.7) adalah
k11=k1+k2 menyatakan gaya pada lantai kesatu akibat satu perpindahan yang
diberikan pada lantai tersebut.
DINAMIKA STRUKTUR
75
Contoh 8.3
Buat persamaan gerak pada contoh soal 8.1 dengan menggunakan koefisien
kekakuan.
Solusi:
Matrik kekakuan
Pertama, kita tentukan matriks kekakuan dengan menentukan nilai u1 = 1 dan u2 =
0. Koefisien kekakuan adalah ki1 . Diperlukan gaya pada bagian atas dan bawah
untuk setiap lantai atau tingkat untuk menahan perubahan bentuk pada struktur,
yang digambarkan oleh kekakuan k1 dan k2. Dari contoh 8.1, diperoleh
48EI c
24 EI c
k1
k2
3
h
h3
Dua gaya pada gambar (a) dan (b) diatas,
72 EI c
24 EI c
k11 k1 k2
k21 k2
3
h
h3
Kedua, kita tentukan matriks kekakuan dengan menentukan nilai u1 = 0 dan u2 =
1. Koefisien kekakuan adalah ki2 . Diperlukan gaya untuk menahan perubahan
bentuk yang digambarkan oleh gambar (d). Dua gaya pada gambar (c) dan (d)
diatas,
24 EI c
24 EI c
k12 k 2
k22 k 2
3
h
h3
Dengan koefisien kekakuan yang telah ditentukan, maka matriks kekakuannya
adalah
k 24 EI c 3 1
k
k 11 12
h 3 1 1
k 21 k 22
DINAMIKA STRUKTUR
Sedangkan matrik massa,
2 0
m m
0 1
Persamaan gerak adalah
2 0 u1 24 EI c
m
h3
0 1 u2
3 1 u1 p1 (t )
1 1 u p (t )
2 2
76
DINAMIKA STRUKTUR
77
BAB IX GETARAN BEBAS UNTUK SISTEM MDOF
9.1 Sistem MDOF Tak Teredam
Persamaan gerak MDOF tak teredam dengan p(t)=0,
……………(9.1)
ku 0
mu
Terdapat dua kemungkinan gerak harmonis dari struktur sedemikian rupa,
dimana semua massa bergerak dengan fasa tertentu pada frekuensi ω1 dan ω2.
Setiap karakteristik perubahan bentuk disebut normal atau pola natural dari
getaran. Sering disebut dengan pola pertama (first mode) atau pola dasar
(fundamental mode) untuk menyatakan pola yang sesuai dengan frekuensi
terendah. Pola yang lain disebut pola harmonis atau pola harmonis yang lebih
tinggi.
Gambar 9.1 dan 9.2 menunjukan getaran bebas pada portal dua tingkat.
Kekakuan dan massa yang terpusat dapat dilihat pada gambar 9.1a dan mode getar
atau pola getar ditunjukan oleh gambar 9.1b dan 9.2b.Hasil gerak uj pada sistem
digambarkan oleh gambar 9.1d dan 9.2d.
Gambar 9.1. Getaran bebas pada sistem tak teredam dengan pola natural pertama dari getaran
(a) Struktur portal tingkat dua; (b) perubahan bentuk struktur pada waktu a,b,c;
(c) modal coordinate qn(t) (d) perpindahan
DINAMIKA STRUKTUR
78
Gambar 9.2. Getaran bebas pada sistem tak teredam dengan pola natural kedua dari getaran
(a) Struktur portal tingkat dua; (b) perubahan bentuk struktur pada waktu a,b,c;
(c) koordinat modal qn(t) (d) perpindahan
Perioda alami dari getaran Tn pada sistem MDOF adalah waktu yang
diperlukan untuk satu siklus dari gerak harmonis sederhana dalam satu pola
natural. Hubungan terhadap frekuensi natural sudut dari getaran adalah ωn dan
frekuensi natural adalah fn,
2
1
……………(9.2)
Tn
fn
n
Tn
Gambar 9.1dan 9.2 menunjukan perioda alami Tn dan frekuensi natural sudut dari
ωn (n=1,2) dari getaran bangunan 2 tingkat dengan pola natural n (1n 2 n )T .
Frekuensi natural sudut yang lebih kecil diberi notasi ω1 sedangkan yang lebih
besar dinotasikan ω2. Sedangkan untuk perioda alami yang lebih panjang
dinotasikan T1 dan yang lebih pendek adalah T2.
9.2 Frekuensi Natural dan Pola Normal
Getaran bebas pada sistem tak teredam , yang secara grafis telah ditunjukan
oleh gambar 9.1 dan 9.3 untuk sistem dua DOF, dapat diuraikan secara matematis
adalah
……………(9.3)
u(t ) qn (t )n
Variasi waktu pada perpindahan yang terjadi dapat diuraikan dengan fungsi
sederhana harmonis
……………(9.4)
qn (t ) An cos nt Bn sin nt
Substitusikan persamaan (9.4) ke (9.3)
u(t ) n ( An cos nt Bn sin nt )
……………(9.5)
DINAMIKA STRUKTUR
79
dimana ωn dan n tidak diketahui.
Substitusikan persamaan (9.5) kedalam persamaan (9.1), sehingga didapatkan
……………(9.6)
[n2mn kn ] qn (t ) 0
Persamaan (9.6) dapat diselesaikan dengan satu dari dua cara. Salah satunya,
qn(t)=0 yang memberikan nilai u(t)=0 dan tidak adanya gerak pada sistem atau
frekuensi natural sudut ωn dan pola perubahan n yang harus memenuhi
persamaan aljabar berikut
……………(9.7)
n2mn kn 0
dimana persamaan ini menunjukan kondisi maksimal. Matriks kekakuan k dan
matriks massa m adalah diketahui, masalahnya adalah menentukan nilai skalar
dari n2 dan vector dari n . Persamaan (9.7) dapat ditulis kembali menjadi
[k n2m]n 0
……………(9.8)
Persamaan (9.8) adalah masalah matematis yang penting, yang dikenal sebagai
“eigenproblem”, yang mempunyai soulusi nontrivial
……………(9.9)
det[k n2m] 0
Pada umumnya jawaban persamaan (9.9) mempunyai bentuk persamaan
polynomial derajat n dalam besaran ω2 yang harus mempunyai n buah harga ω2,
yang memenuhi persamaan tersebut atau dikenal sebagai persamaan karakteristik.
Sehingga kita dapat menyelesaikan persamaan (9.8).
9.3 Sifat Ortogonalitas dari Pola Normal
Kita tinjau kembali persamaan (9.7) ,
kn n2mn
……………(9.10)
untuk sistem berderajat kebebsan dua (lihat persamaan 8.7), sehingga
k1 k 2
k
2
k 2 1 m1 2
k 2 2 0
(k1 k 2 )1 k 22 m1 22
k 21 k 22 m2 22
0 1
m2 2 2
……………(9.11)
Digunakan teori Betti yang menyatakan bahwa, pada sebuah struktur yang
dibebani oleh dua sistem pembebanan dimana terjadi dua jenis perpindahan, maka
kerja yang dilakukan sistem pembebanan pertama sepanjang perpindahan akibat
sistem pembebanan kedua, akan sama dengan kerja akibat sistem pembebanan
kedua yang bergerak sepanjang perpindahan akibat sistem pembebanan pertama.
DINAMIKA STRUKTUR
(a)
80
(a)
Gambar 9.2. Model sejumlah massa dan perpindahan pada struktur bertingkat dua
(a) Sistem I; (b) Sistem II
Kedua sistem pembebanan dan perpindahan yang akan ditinjau adalah
Sistem I
Gaya-gaya m11211 , m21221 dan perpindahannya 11 , 21
Sistem II
Gaya-gaya m12212 , m22222 dan perpindahannya 12 , 22
Penggunaan teori Betti untuk kedua sistem ini menghasilkan,
m1121112 m2122122 m12212 11 m2222221
atau
……………(9.12)
(12 22 )(m11112 m22122 ) 0
Jika ω1≠ ω2, maka persamaan 9.12 didapat
……………(9.13)
m11112 m22122 0
Persamaan diatas disebut hubungan ortogonalitas antara pola dasar dari sistem
berderajad – kebebasan dua. Untuk sebuah sistem berderajat kebebasan n dimana
matriks massa adalah matrik diagonal maka kondisi ortogonalitas antara pola n
dan r dapat dinyatakan sebagai
……………(9.13)
nT kr 0
nT mr 0
Atau kondisi orthogonal untuk pola n dan r dapat diperoleh melalui penjabaran
sebagai berikut
……………(9.14)
[ K ]{n } n2 [ M ]{n }
[ K ]{r } r2 [ M ]{r }
……………(9.15)
Apabila persamaan (9.14) ditranspose, [ K ]{n } n2 [M ]{n } sedangkan [K]
T
dan [M] berbentuk diagonal untuk struktur biasa, oleh sebab itu
[ A] [ A]T matriks simetris
Sehingga persamaan (9.14) menjadi
{n }T [ K ] n2{n }T [M ]
……………(9.16)
DINAMIKA STRUKTUR
81
Untuk menyelesaikan kedua persamaan matriks diatas maka kalikan persamaan
(9.16) dengan {r } dan kalikan persamaan (9.15) dengan {n }T , sehingga
{n }T [ K ]{r } n2 {n }T [ M ]{r }
{n }T [ K ]{r } r2 {n }T [ M ]{r }
(n2 r2 ){n }T [ M ]{r } 0
……………(9.17)
Jika ωn≠ ωr, maka didapatkan nilai yang sama dengan persamaan sebelumnya
(9.13)
{n }T [M ]{r } 0 juga {n }T [ K ]{r } 0 …………(9.18)
Contoh 9.1
Tentukan frekuensi alami dan pola pada sistem yang ditunjukan gambar dibawah
ini.(lihat contoh 8.1)
Solusi:
Dari contoh 8.1
berikut
2 0
m m
0 1
diperoleh nilai matriks massa dan matriks kekakuan sebagai
2m 0
24 EI c 3 1 3k k
24 EI c
k
k
0 m
3
h 1 1 k k
h3
Nilai frekuensi alami ωn dapat diselesaikan dari persamaan (9.9)
det[k n2m] 0
3k 2mn2
k
det
0
k
k mn2
2m 2 4 5km 2 2k 2 0
Akar-akar persamaan diatas adalah
k
k
2k
2k
1
22
2
2m
2m
m
m
Pola natural untuk sistem I diperoleh dengan mensubstitusikan ωn = ω1 pada
persamaan (9.8), sehingga
2
1
DINAMIKA STRUKTUR
3k 2m12
k
82
k 11
k
2
0 1
2
2m
k m1 21
2k k 11
k 0.5k 0
21
Biasanya pola natural atau normal ditentukan dengan menentukan satu satuan
harga untuk salah satu pola, jadi ditentukan untuk 21 =1 dan diperoleh nilai 11
=0.5
Pola natural untuk sistem II diperoleh dengan mensubstitusikan ωn = ω2 pada
persamaan (9.8), sehingga
3k 2m22
k 12
2k
2
0 2
2
m
k
k m2 22
k k 12
k k 0
22
Biasanya pola natural atau normal ditentukan dengan menentukan satu satuan
harga untuk salah satu pola, jadi ditentukan untuk 22 =1 dan diperoleh nilai 12
=-1
Jadi,
1 11
21
12
1
1
1 12
22 1
kontrol kondisi orthogonal
nT kr 0
1T k2 0
3 1 1
k 1 / 2 1
0
1 1 1
1T m2 0
2 0 1
m1 / 2 1
0
0 1 1
nT mr 0
DINAMIKA STRUKTUR
83
9.4 Solusi Persamaan Getaran Bebas pada Sistem Tak teredam
Solusi umum persamaan gerak, diberikan oleh persamaan (9.5). Sehingga
untuk nilai n=1,2,3…,n maka persamaan (9.5) dapat ditulis menjadi
n
u(t ) n ( An cos n t Bn sin n t )
……………(9.19)
n 1
n
u (t ) n n ( An sin n t Bn cos n t )
……………(9.20)
n 1
Pada saat t=0 maka persamaan tersebut dapat ditulis
n
u(0) n qn (0)
……………(9.21)
n 1
n
u (t ) n q n (0)
……………(9.22)
n 1
dan saat t=0, persamaan (9.14) dan (9.15) memberikan
n
u(0) n An An qn (0)
……………(9.23)
n 1
n
u (t ) n n Bn Bn
n 1
q n (0)
……………(9.24)
n
Jadi,
n
u(t ) n (qn (0) cos n t
n 1
q n (0)
n
n
sin n t ) n qn (t ) ………(9.25)
n 1
Contoh 9.2
Tentukan respon getaran bebas pada portal dua tingkat untuk contoh 9.1. Dengan
nilai q1 (0) 1, q2 (0) 1 dan q1 (0) 0, q 2 (0) 0
Solusi:
Dari persamaan (9.20) didapatkan
q1 (t ) 1cos 1t
q2 (t ) 1cos 2t
Dengan mensubstitusikan nilai n dari hasil perhitungan contoh 9.1 dan nilai qn (t )
diatas ke persamaan (9.20)
u1 (t ) 1/ 2
1
cos 1t cos 2t
1
u 2 (t ) 1
DINAMIKA STRUKTUR
84
9.5 Respon Pada Gedung Akibat Gempa
Secara umum persamaan geraknya adalah
[ M ]{u ug } [C ]{u} [ K ]{u} 0
[ M ]{u} [C ]{u} [ K ]{u} [ M ]{ug }
………(9.26)
{u} {i }{ Ai }
………(9.27)
Kalikan persamaan (9.26) dengan {i } dan susbtitusikan persamaan (9.27)
T
[ M ]{u ug } [C ]{u} [ K ]{u} 0
} { }T [C ]{ }{A } { }T [ K ]{ }{A } {u }{ }T [ M ]
{i }T [ M ]{i }{A
i
i
i
i
i
i
i
g
i
(9.28)
Misal:
M i {i }T [ M ]{i }
Ri {i }T [ M ]
C 2 n [ M ]
[ K ] n2 [ M ]
Sehingga persamaan (9.28) menjadi
[ M ]{u ug } [C ]{u} [ K ]{u} 0
2 M A 2 M A u R
Mi A
i
i
i i
i
i i
g i
………(9.29)
2 A 2 A u Ri
A
i
i i
i
i
g
Mi
Apabila persamaan (9.29) ditulis
2 D 2 D u
D
………(9.30)
Dari persamaan (9.29) dan (9.30) memberikan
R
Ai i Di D S D pseudo displecement
Mi
………(9.31)
i
i
i
i
i
g
Sehingga nilai perpindahan relatif maksimum
umax
({ }A )
2 0.5
i
i
………(9.32)
DINAMIKA STRUKTUR
85
Contoh 9.3
Diketahui struktur portal tingkat tiga dengan pembebanan, berat per lantai
dan kekakuan kolom seperti tergambar.
W1
m1
W2
m2
w1 = 2943 kg, K1 = 1600 kg/cm
w2 = 4414 kg, K2 = 2000 kg/cm
W3
m3
w3 = 4414 kg, K3 = 2400 kg/cm
Hitung :
1. Frekuensi alami dan waktu getar alami dari sistem struktur di atas.
2. Gambar mode shape dari masing-masing waktu getar alami yang terjadi.
3. Hitung gaya gempa disetiap lantai dari sistem struktur tersebut jika berada
di wilayah gempa 3 dengan jenis tanah lunak SNI .
Solusi:
Solusi :
a. Menghitung massa beban tiap lantai
W
2943
W1 2943 kg m1 1
3
g
981
W
4414
W2 4414 kg m2 2
4,5
g
981
W
4414
W1 4414 kg m3 3
4,5
g
981
DINAMIKA STRUKTUR
b. Menyusun matriks kekakuan [K]
m1
k13 = 0
k21 =- k1
m2
k23 = -k2
k22 = k1+k2
m3
k31 = 0
K11
K K 21
K 31
k32 = -k2
K13 K1
K 23 K1
K 33 0
K12
K 22
K 32
1600
1600
0
1600
1600
0
1600
c. Persamaan Frekuensi
K n2 M 0
0
K1
K 1 K 2
K 2
1600 2000
2000
2000 2400
2000
1600
0
3600
2000
2000
4400
Menyusun matriks massa [m]
0
0 3
m1
M 0
m2
0 0
0
0
m3 0
k12 = -k1
k11 = k1
K n2 M 0
0
0
4,5
0
0
0
4,5
k33 = k2+k3
K 2
K 2 K 3
0
86
DINAMIKA STRUKTUR
1600
1600
0
1600
3
2
2000 n 0
0
4400
0
3600
2000
1600 3 n2
1600
0
1600
3600 4,5
2
n
2000
87
0
0 0
4,5
0
4,5
0
2000
4400 4,5 n2
0
0
1600 3 n2
1600
0
det 1600
3600 4,5 n2
2000 0
2
0
2000
4400
4
,
5
n
2
2
2
1600 3 n 3600 4,5 n 4400 4,5 n 1600 1600 4400 4,5 n2
2000 2000 0
1343210 1,26410 0
1600 3 n2
n6 2311 n4
2
n
8
Misalkan n2 , maka akan diperoleh persamaan
3 2311 2 1343210 1,264108 0
1 12 116 rad 2 /det 2
1 1 116 10,8 rad/det
T1
2 757 rad /det
2
2
2
2
2
1
2
0,58 det
10,8
2 2 757 27,5 rad/det
T2
2
2
2
0,23 det
27,5
3 32 1438 rad 2 /det 2 1 3 1438 37,92 rad/det
T3
2
3
2
0,17 det
37,92
Bentuk mode 1 1 1 (vektor shape) relatif displacement.
K M 0 K M 0
2
n
2
1
1
DINAMIKA STRUKTUR
1600
1600
0
1600
3600
2000
1600 3116
1600
0
3
2
2000 n 0
0
4400
0
1600
3600 4,5116
2000
0
4,5
0
0 11
0 12
4,5 13
88
0
11
2000
12 0
4400 4,511613
0
0 11
1252 1600
1600 3078 2000 12 0
0
2000 3878 13
125211 160012 0
160011 307812 200013 0
200012 387813 0
Bila harga 11 1,0 dan harga-harga yang lain dinyatakan terhadap harga
11 , maka diperoleh
12521 160012 0
1252
0,7825
1600
200012 387813 0
12
20000,7825 387813 0
20000,7825
0,4036
3878
Sehingga diperoleh mode shape relatif displacement sebagai berikut :
11 1
1 12 0,7825
0,4036
13
13
Dengan cara yang sama dan dengan menggantikan atau memberikan hargaharga 2 dan 3 adalam persamaan
dapat pula :
21 1
2 22 0,419
0,9844
23
31 1
3 32 1,696
1,634
33
K M 0 ,
2
n
maka akan
DINAMIKA STRUKTUR
W1
m1
W2
m2
W3
m3
1.00
1.00
0.782
- 0.419
0.403
T1 0,58 det
1 10,8 rad/det
- 0.984
T2 0,23 det
2 27,5 rad/det
89
1.00
- 1.696
1.634
T3 0,17 det
1 37,92 rad/det
Kontrol kondisi orthogonal
1T M 2 0
0 1,0
3 0
1 0,7825 0,4036 0 4,5 0 0,419 0
0 0 4,5 0,984
Kontrol kondisi orthogonal untuk 2 dan 3 → 2 T M 3 0
2 T M 3 0
0 1,0
3 0
1 0,419 0.984 0 4,5 0 1,696 0
0 0 4,5 1,634
Dari kontrol orthogonal tersebut di atas menunjukkan harga mode 1, 2 , 3
sudah benar.
d. Persamaan untuk harga adalah harga relatif dari simpangan tiap-tiap
lantai, dan bagaimana harga mutlaknya, dapat dijelaskan sebagai berikut :
1 10,8 rad/det T1 0,58 det cd 1 0.75
2 27,5 rad/det T2 0,23 det cd 2 0.75
3 37,92 rad/det T3 0,17 det cd 3 0.55
Dimana harga cd (respon percepatan maksimum dengan satuan “gravitasi”)
diperoleh dari grafik koeffisien gempa dasar wilayah zone (SNI).
DINAMIKA STRUKTUR
Nilai perpindahan pola,
R .c
Ai i d2 i S D
M ii
dimana
i faktor partisipas i
Ri
Mi
S D pseudodisplacement
cd
i2
Menghitung nilai Ri :
R1 1 M
T
3
1 0,782 0,4034,5 8,33 kg.det 2 /cm
4,5
R2 2,65 kg.det 2 /cm
R3 2,91 kg.det 2 /cm
Menghitung nilai Mi :
M 1 1 M 1
T
0 1
3 0
1 0,782 0,403 0 4,5 0 0,782 7,97 kg.det/cm
0 0 4,5 0,403
Dengan cara yang sama akan diperoleh :
M 2 7,00 kg.det 2 /cm
M 3 28,03 kg.det 2 /cm
Menghitung Ai
A1
A2
A3
R1.cd 1 8,33 0,75 981
0,316 cm
12 M 1
10,82 7,97
R2 .cd 2 2,65 0,75 981
0,368 cm
22 M 2
27,52 7
R3 .cd 3 2.91 0,55 981
0,036 cm
32 M 3 39,7 2 28.03
90
DINAMIKA STRUKTUR
91
Menghitung umax
u max [( A1{1}2 ) ( A2 {2 }2 ) ( A3{3 }2 )]0.5
u max
2
2
2
1
1
1
0.3160.782 0.368 0.419 0.036 1.696
0.403
0.9844
1.634
u max
u1 0.486
u 2 0.298 cm
u 0.388
3
Menghitung Gaya Gempa tiap lantai
F [ K ]{u max }
0 0.486
1600 1600
F 1600 3600 2000 0.298
0
2000 4400 0.388
F1 302.061
F F2 483.797 kg
F 1114.0659
3
0.5
