proposisi majemuk - Staffsite STIMATA

P a g e | 13
PROPOSISI MAJEMUK
A.
PENDAHULUAN
Proposisi atomik berisi satu variabel proposisional atau satu konstanta proposisional.
Proposisi majemuk berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari satu variabel
proposisional. Perangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi – proposisi
atomic menjadi proposisi majemuk.
Untuk menghindari ambiguitas antara satu orang dengan yang lainnya, maka proposisi
majemuk yang akan dikerjakan terlebih dahulu diberi tanda kurung. Proposisi dengan
perangkai – perangkai yang berada dalam tanda kurung disebut fully parenthesized
expression (fpe).
Proposisi majemuk yang sangat rumit dapat dipecah menjadi subekspresi –subekspresi.
Subekspresi menjadi sub-subekspresi, dan seterusnya tergantung tingkat kerumitannya. Teknik
ini dinamakan parsing.
B.
EKSPRESI LOGIKA
Ekspresi logika adalah proposisi – proposisi yang dibangun dengan variabel – variabel
logika yang berasal dari pernyataan atau argument. Contoh A ⋀ B dan ~B adalah ekspresi
logika dengan A dan B adalah variabel logika atau variabel proposisional.
Contoh:
Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan mendapat hadiah istimewa.
Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional:
A = Dewi rajin belajar
C = Dewi lulus ujian
D = Dewi mendapat hadiah istimewa
Dalam bentuk ekspresi logika berubah menjadi:
𝐴 →𝐶∧𝐷
Ada dua kemungkinan pengerjaan, yaitu:
((𝐴 → 𝐶) ∧ 𝐷) atau (𝐴 → (𝐶 ∧ 𝐷))
Liduina Asih Primandari, S.Si.,M.Si
P a g e | 14
Kedua kemungkinan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang berbeda. Ekspresi logika yang
tepat adalah (𝐴 → (𝐶 ∧ 𝐷)). Hal ini disebabkan karena pernyataan “Dewi lulus ujian” dan
“Dewi mendapat hadiah istimewa” merupakan akibat dari “Dewi rajin belajar”.
C.
SKEMA
Skema merupakan satu cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang
rumit dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan satu subekspresi atau subsubekspresi. Misal, (𝐴 ∧ 𝐶) dapat diganti dengan P sedangkan (𝐴 ∨ 𝐶) diganti dengan Q. Maka P
dan Q berisi variabel proposisional A dan C. P dan Q bukan variabel proposisional karena
nilainya tergantung pada nilai A dan B.
Contoh:
1.
𝑃 = (𝐴 ∧ 𝐶) dan 𝑄 = (𝐴 ∨ 𝐶) maka 𝑃 → 𝑄 = (𝐴 ∧ 𝐶) → (𝐴 ∨ 𝐶)
Hal – hal yang perlu diperhatikan:
a) Ekspresi apa saja berbentuk (~P) disebut negasi
b) Ekspresi apa saja berbentuk (𝑃 ∧ 𝑄) disebut konjungsi
c) Ekspresi apa saja berbentuk (𝑃 ∨ 𝑄) disebut disjungsi
d) Ekspresi apa saja berbentuk (𝑃 → 𝑄) disebut implikasi
e) Ekspresi apa saja berbentuk (𝑃 ↔ 𝑄) disebut ekuivalensi
Maka contoh di atas disebut implikasi yang berisi konjungsi (𝐴 ∧ 𝐶) dan disjungsi (𝐴 ∨ 𝐶).
Aturan yang harus diperhatikan:
a) Semua ekspresi atomik adalah fpe.
b) Jika P adalah fpe, demikian juga dengan ~P.
c) Jika P dan Q adalah fpe, maka demikian juga dengan (𝑃 ∧ 𝑄), (𝑃 ∨ 𝑄), (𝑃 → 𝑄) dan
(𝑃 ↔ 𝑄)
d) Tidak ada fpe lainnya.
Ekspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well-formed formulae (wff). Jadi, wff
adalah fpe, demikian juga sebaliknya. Ekspresi logika disebut wff karena penulisannya
dilakukan dengan benar.
2.
𝐴 → 𝐶 → ~𝐴 ∨ ~𝐶)
𝐴 → 𝐶 → (~𝐴 ∨ ~𝐶
Contoh di atas tidak menunjukkan wff atau fpe yang baik.
Liduina Asih Primandari, S.Si.,M.Si
P a g e | 15
D.
ANALISIS PROPOSISI MAJEMUK
Setiap fpe akan mengekspresikan proposisi majemuk. Proposisi majemuk mempunyai
subproposisi, yang bisa berupa konjungsi, disjungsi dan sebagainya.
1.
Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat
segera bekerja, dan jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia – sia.
1.1.
Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat
segera bekerja.
1.1.1. Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika.
1.1.2. Orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja.
1.2.
1.1.2.1.
Orang tuanya akan senang
1.1.2.2.
Dia dapat segera bekerja.
Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia – sia.
1.2.1. Dia tidak lulus.
1.2.2. Semua usahanya akan sia – sia.
Teknik memisah – misah atau memilah – milah kalimat menjadi proposisi – proposisi
atomic disebut Parsing dan hasilnya dapat diujudkan dalam bentuk Parse Tree.
Parse tree mengubah proposisi majemuk menjadi fpe sebagai berikut:
A = Dewi lulus sarjana teknik informatika
C = Orangtua Dewi senang
D = Dewi bekerja
Liduina Asih Primandari, S.Si.,M.Si
P a g e | 16
E = Usaha Dewi sia – sia
𝐴→ 𝐶∧𝐷
E.
∧ ((~𝐴) → 𝐸)
ATURAN PENGURUTAN
Aturan pengurutan digunakan untuk memastikan proses pengerjaan subekspresi. Pada
masalah perangkai, urutan atau hierarkinya berdasarkan pada hierarki tertinggi:
Hierarki ke
Simbol
Nama
1
~
Negasi
2
∧
Konjungsi
3
∨
Disjungsi
4
→
Implikasi
5
↔
Ekuivalensi
Aturan tambahan: “Jika menjumpai lebih dari satu perangkai pada hierarki yang sama,
maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri”
Contoh:
1. ~𝐴 ∧ 𝐶 menjadi (~𝐴 ) ∧ 𝐶 bukan ~(𝐴 ∧ 𝐶)
2. 𝐴 ∧ 𝐶 ∨ 𝐷 menjadi (𝐴 ∧ 𝐶) ∨ 𝐷 bukan 𝐴 ∧ (𝐶 ∨ 𝐷)
3. 𝐴 → 𝐶 ∧ 𝐷 menjadi 𝐴 → (𝐶 ∧ 𝐷) bukan (𝐴 → 𝐶) ∧ 𝐷
4. 𝐴 ↔ 𝐶 → 𝐷 menjadi 𝐴 ↔ (𝐶 → 𝐷) bukan (𝐴 ↔ 𝐶) → 𝐷
Liduina Asih Primandari, S.Si.,M.Si