Sesi 14.indd

X
matematika Wajib
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Dapat melukis grafik fungsi sinus, kosinus, dan tangen dengan menggunakan tabel atau
lingkaran satuan.
2. Memahami sifat-sifat grafik fungsi sinus, kosinius, dan tangen.
3. Dapat melukis grafik fungsi trigonometri dengan metode pergeseran.
4. Dapat menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan grafik fungsi trigonometri.
A. Melukis Pendekatan Nilai π Menurut Kochansky
Dalam melukis grafik fungsi trigonometri, satuan di sumbu-x dan sumbu-y harus mempunyai
perbandingan panjang yang tepat. Hal ini bertujuan agar diperoleh panjang ruas garis sebesar
2π r . Oleh karena itu, sebelum belajar tentang menggambar grafik fungsi trigonometri, kamu
perlu mengetahui dahulu cara melukis pendekatan nilai π . Salah satu cara melukis pendekatan
nilai π adalah dengan cara Kochansky. Dasar dari cara ini adalah sebagai berikut.
D
O
B
r
A
60o
E
C
F
1
Kela
s
Kurikulum 2013
OA = r
1
EC = r cotan 60° = r 3
3
Lukis EF = 3r , sehingga:
1
CF = 3r − r 3
3
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, panjang DF dapat ditentukan sebagai berikut.
DF = CD2 + CF2
=
( 2r )
2
1


+  3r − r 3 
3


2
40 − 6 3
3
= 3,141533…r
=r
Oleh karena hasil perhitungan nilai π sebenarnya adalah 3,14, maka pendekatan DF
sebagai π r sudah cukup teliti.
B. Melukis Grafik Fungsi Trigonometri
Untuk melukis grafik fungsi trigonometri, perlu diingat kembali nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut istimewa berikut.
Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa
Sudut
0o
30o
45o
60o
90o
sin
0
1
2
1
2
2
1
3
2
1
cos
1
1
3
2
1
2
2
1
2
0
tan
0
1
3
3
1
3
Tidak terdefinisi
2
1. Melukis Grafik Fungsi Sinus Menggunakan Tabel
Langkah-langkah melukis grafik sinus dan kosinus menggunakan tabel adalah sebagai
berikut.
a.
Menggunakan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dan sudutsudut relasinya sebagai nilai x. Gunakan tabel seperti ini agar lebih mudah.
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π 11π
4
6
sin x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2π
...
b.
Melengkapi nilai pada tabel, kemudian menuliskan pasangan koordinat titik-titik:
untuk satuan radian, atau untuk satuan derajat.
( 0, 0 ) ,
π 1
 , ,
 6 2
( 0, 0 ) ,
1

 30°,  ,
2

c.
Melukis titik-titik tersebut dalam sistem koordinat Cartesius yang sesuai. Untuk satuan
derajat dengan panjang interval 0° ≤ x ≤ 360° , tetap digunakan 2π satuan sama
halnya saat menggunakan satuan radian. Panjang interval tersebut menggambarkan
keliling satu putaran penuh.
π 1  π 1 
 , 2  ,  , 3  , …, ( 2π , 0 ) untuk satuan radian, atau
4 2  3 2 
1  
1 

 45°, 2  ,  60°, 3  , …, ( 360°, 0 ) untuk satuan derajat.
2  
2 

Y
1
1
1
2
3
1
2
2 1
2
1
π
4
o0 1
π
6
1 2 1
2
1 32
2
3 5 5
π
5
2π
7
4 6 π6 π
π
π
X
1 2
4
1
7 4 4
11
π π π
5
π
π
2
π 3π π
3
3
6
6
3
2 3
Panjang 2π r dengan r = 1
Untuk satuan derajat, sesuaikan dengan gambar, misal
3
1
π = 30o .
6
d.
Selanjutnya, lukis kurva mulus melalui titik-titik yang diperoleh grafik fungsi
f : x → f ( x ) = sin x , 0 ≤ x ≤ 2π .
y
1
2
1
3
1
2
1
π
4
2 1
2
o0 1
π
6
1 2 1
2
1 32
2
1
3 5
5
π
5
2π
7
4 6π π
π
π
6
4
1 2
4
1
7
11
4
π π π
3 5
π
π
2
π
3
π π
3
6
6
3
2 3
Panjang 2π r dengan r = 1
x
2. Melukis Grafik Fungsi Kosinus Menggunakan Tabel
Untuk melukis grafik fungsi f : x → f ( x ) = cos x , mula-mula tentukan nilai kosinus sudutsudut istimewa sebagaimana tabel berikut.
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
1
1
3
2
1
2
2
1
2
0
x
7π
6
cos x
−
5π
4
1
3
2
−
4π
3
1
2
2
−
1
2
2π
3
−
3π
4
1
2
−
π
5π
6
1
2
2
−
−1
1
3
2
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
0
1
2
1
2
2
1
3
2
1
Dengan demikian, diperoleh grafik fungsi kosinus berikut.
y
1
1
1
2
3
1
2
2 1
2
o0
1 2 1
2
1 32
2
x
1
π
4
1
π
6
3
π
4
1
π
3
1
π
2
2
π
3
5
π
6
5
π
4
7
π
6
7
4
π
3
7π
4
Panjang 2π r dengan r = 1
4
π
3
π 5 4 11
π
2
π
3
6
2π
X
3. Melukis Grafik Fungsi Sinus dan Kosinus Menggunakan Lingkaran
Satuan
Nilai sinus suatu sudut pada lingkaran satuan dapat dinyatakan sebagai proyeksi jari-jari
lingkaran pada garis vertikal yang melalui pusat lingkaran. Oleh karena itu, nilai
π π π
sin x dari x = , , , …, 2π , dapat diwakili oleh proyeksi jari-jari lingkaran pada garis
6 4 3
vertikal tersebut. Sementara itu, nilai kosinusnya dapat diwakili oleh proyeksi jari-jari
lingkaran satuan pada garis mendatar yang melalui pusat lingkaran.
Untuk grafik fungsi sinus, nilai dari proyeksinya langsung dapat digunakan untuk
membuat garis bantu sejajar sumbu-X. Garis bantu inilah yang digunakan untuk
menggambar nilai-nilai sudut bersangkutan.
a.
Dari proyeksi titik ujung jari-jari yang terkait dengan sudut-sudut istimewa, dibuat
garis mendatar sejajar sumbu-X.
Y
π
π π3
6 4 o
b.
X
Di sepanjang sumbu-X, diletakkan nilai-nilai sudut istimewa pada interval 0 ≤ x ≤ 2π
. Setelah itu, dibuat garis-garis vertikal sejajar sumbu-Y sehingga diperoleh hasil
sebagai berikut.
Y
1
π
4
0
c.
1
π
6
3
π
4
1
π
3
1
π
2
2
π
3
5
π
6
5
π
6
7
π
4
5
π
4
7
π
6
4
π
3
3
π
2
5
π
3
2π
11
π
6
X
Selanjutnya, ditentukan titik potong antara garis-garis pada langkah (1) dan (2)
yang bersesuaian. Kemudian, melalui titik-titik tersebut, dilukis sebuah kurva mulus
sehingga diperoleh grafik fungsi sinus pada interval [ 0 , 2π ] berikut.
5
Y
1
π
4
0
1
π
6
3
π
4
1
π
3
1
π
2
2
π
3
5
π
6
5
π
6
7
π
4
5
π
4
4
π
3
7
π
6
3
π
2
2π
11
π
6
5
π
3
X
Catatan:
Untuk melukis grafik kosinus menggunakan lingkaran satuan, penggunaan
perpotongan garis horizontal dan vertikal pada langkah (3) di atas perlu
1

memperhatikan relasi, yaitu cos x = sin π − x  . Dengan demikian, titik potong
2

1
yang nantinya dilalui kurva adalah perpotongan antara garis x = π dan garis
6
1 
1
horizontal yang melalui titik pada ujung jari-jari pembentuk sudut  π − π  .
6 
2
Y
1
π
4
0
d.
1
π
6
3
π
4
1
π
3
1
π
2
2
π
3
5
π
6
5
π
6
7
π
4
5
π
4
7
π
6
4
π
3
3
π
2
5
π
3
2π
11
π
6
X
Pada dasarnya, sudut-sudut yang digunakan tidak harus sudut istimewa.
4. Melukis Grafik Fungsi Tangen Menggunakan Lingkaran Satuan
Jika jari-jari lingkaran satuan diperpanjang sampai memotong sumbu-Y, akan diperoleh
gambar seperti berikut.
Y
C
B
A
60o
30o
45o
o
D
E
F
6
Dari gambar tersebut, dapat diambil beberapa contoh nilai tangen berikut.
OA OA
tan 30° =
=
= OA
PO
1
OC OC
tan 60° =
=
= OC
PO
1
Contoh tersebut menunjukkan bahwa panjang ruas garis dari titik O sampai ke
titik potong jari-jari yang terkait dengan suatu sudut, misalnya sudut x merupakan nilai
tangennya. Ruas garis ke arah atas bertanda positif, sedangkan ke arah bawah bertanda
negatif. Melukis garis sejajar pada grafik tangen dilakukan bukan melalui titik ujung jarijari, melainkan melalui titik potongnya. Perhatikan grafik fungsi tangen berikut.
Y
π
π
π 3
4
6
1
π
6
1
π
4
1
π
3
1
π
2
2
π
3
3
π
4
π
5
π
6
5
π
4 4
7
π
π
3
6
3
π
2
5
π
3
7
π
4
2π
11
π
6
X
C. Bentuk Umum Grafik Fungsi Trigonometri
Bentuk umum grafik fungsi sinus, kosinus, dan tangen dengan A > 0 dan B > 0 adalah
sebagai berikut.
Y
A
2π
B
y = A sin Bx
X
−A
Y
A
y = −A sin Bx
2π
B
−A
7
X
Y
A
y = A cos Bx
X
2π
B
−A
Y
A
2π
B
y = −A cos Bx
X
−A
A
Y
X
y = A tan Bx
−π
2B
π
2B
Contoh Soal 1
Lukislah grafik fungsi y = 2 cos 2x dalam interval 0° ≤ x ≤ 180°.
Pembahasan:
Tentukan dahulu periodenya.
2π
= π = 180°
2
Dengan demikian, grafik fungsi y = 2 cos 2x dalam interval 0° ≤ x ≤ 180° adalah sebagai
berikut.
Y
2
0
90o
45o
135o 180o
X
−2
8
Contoh Soal 2
Lukislah grafik fungsi y = −3 sin 2x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Pembahasan:
Tentukan dahulu periodenya.
2π
= π = 180°
2
Dengan demikian, grafik fungsi y = −3 sin 2x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah sebagai berikut.
Y
3
45o
0
X
90o 135o 180o 225o 270o 315o 360o
−3
Contoh Soal 3
Lukislah grafik fungsi y = 3 tan 3x dalam interval 0° ≤ x ≤ 180°.
Pembahasan:
Tentukan dahulu periodenya.
π
= 30°
6
Dengan demikian, grafik fungsi dalam interval 0° ≤ x ≤ 180° adalah sebagai berikut.
Y
X
0o
30o
60o
90o
120o
150o
9
180o
D. Grafik Fungsi Trigonometri
1. Grafik Fungsi y = a sin bx , x ∈ [0°, 360°]
Grafik fungsi sinus, yaitu y = sin x , x ∈ [ 0°, 360°] berbentuk gelombang yang bergerak
secara teratur seiring pergerakan nilai x. Perhatikan gambar berikut.
y
1
1
π
4
0
1
π
6
3
π
4
1
π
3
1
π
2
2
π
3
5
π
6
5
π
6
7
π
4
5
π
4
7
π
6
4
π
3
3
π
2
5
π
3
2π
11
π
6
x
−1
Berdasarkan grafik fungsi y = sin x , x ∈ [ 0°, 360°] dapat diperoleh beberapa sifat berikut.
a.
Simpangan gelombang (amplitudo) sama dengan 1. Simpangan gelombang adalah
jarak dari fungsi x ke titik puncak gelombang.
b.
Periode gelombang sama dengan satu putaran penuh.
c.
Grafik y = sin x memiliki nilai ymax = 1 dan ymin = −1.
d.
Titik maksimum gelombang adalah (90o, 1) dan titik minimumnya adalah (270o, −1)
Sekarang, perhatikan grafik y = asin x dengan a = 2 berikut ini.
y
2
x
−2
Gambar grafik y = 2sin x, x Є [0o, 360o]
Perubahan nilai a mengakibatkan berubahnya nilai maksimum dan minimum fungsi y =
asin x.
10
Selanjutnya, perhatikan grafik y = sin bx dengan b = 2 berikut ini.
y
1
0,5
x
90
o
180
o
−0,5
270
o
360o
−1
Perubahan nilai b mengakibatkan berubahnya jumlah gelombang yang terbentuk. Pada
grafik fungsi sinus y = sin 2x , terbentuk dua gelombang.
SUPER "Solusi Quipper"
Diketahui fungsi sinus y = a sin bx , x ∈ [ 0°, 360°].
•
Nilai a dan −a menyatakan nilai maksimum dan minimum fungsi.
•
Nilai b menyatakan banyaknya gelombang pada fungsi.
2. Grafik Fungsi y = cos 2 x , x ∈ [0°, 360°]
] berupa
Sama halnya dengan grafik fungsi sinus, grafik fungsi y = cos 2 x , x ∈ [ 0°, 360°juga
gelombang yang bergerak teratur. Bedanya adalah grafik fungsi kosinus dimulai dari y
= 1, sedangkan grafik fungsi sinus dimulai dari y = 0. Perhatikan grafik fungsi kosinus y
= cos x berikut ini.
y
1
3
2
1
2
2
1
2
o
30o 45o 60o
90o
180o
120o 135o 150o
210o 225o 240o
1
-2
1
2
−
2
1
− 3
2
11
270o
x
305o 315o 330o 360o
Jika fungsi kosinus diubah menjadi y = cos 2 x , x ∈ [ 0°, 360°] , akan terbentuk grafik
seperti berikut.
1
Y
0,5
X
90o
180o
270o
360o
−0,5
−1
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa pada grafik fungsi y = cos 2 x , x ∈ [ 0°, 360°] ,
terdapat dua gelombang dengan pergerakan grafik yang tetap dimulai dari y = 1.
3. Grafik Fungsi y = tan x , x ∈ [0°, 360°]
Pada fungsi tangen, saat x → 90o dan x → 270o (dari kanan), nilai y = tan x menuju tak
terhingga. Sebaliknya, saat x → 90o dan x → 270o (dari kiri), nilai y = tan x menuju negatif
tak terhingga. Perhatikan grafik y = tan x , x ∈ [ 0°, 360°] berikut.
y
3
1
3
- 3
−1
- 3
120o 135o150o
30o 45o 60o
90o
300o 315o 330o
180o
210o 225o 250o
12
270o
x
360o
Jika fungsi tangen diubah menjadi y = tan 2x, x Є [0o, 360o], akan terbentuk grafik
seperti berikut.
y
x
0o
45o
90o
135o
180o
225o
270o
315o
360o
Contoh Soal 4
Lukislah grafik fungsi y = 2 cos 2 x , x ∈ [ 0°, 360°] .
Pembahasan:
Dengan menggunakan tabel, diperoleh:
x
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
...
360o
y
2
1
0
−1
−2
−1
0
…
2
Dengan demikian, grafik fungsi y = 2 cos 2 x , x ∈ [ 0°, 360°] adalah sebagai berikut.
2
Y
1
X
90o
180o
270o
−1
−2
13
360o
Contoh Soal 5
Lukislah grafik fungsi y = −2 sin( x + 60° ) , x ∈ [ 0°, 360°] .
Pembahasan:
Dengan menggunakan tabel, diperoleh:
x
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
...
360o
y
− 3
−2
− 3
−1
0
1
3
…
− 3
Dengan demikian, grafik fungsi y = −2 sin( x + 60° ) , x ∈ [ 0°, 360°] adalah sebagai berikut.
Y
X
100o
50o
150o
200o
250o
300o
350o
Contoh Soal 6
Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = 3 cos 2 x − 2, x ∈ [ 0°, 360°] .
Pembahasan:
Dengan menggunakan tabel, diperoleh
x
0o
30o
y
1
−
1
2
60o
90o
120o
7
2
−5
−
−
14
7
2
150o
180o
...
360o
1
2
1
…
1
−
Dengan demikian, grafik fungsi y = 3 cos 2 x − 2, x ∈ [ 0°, 360°] adalah sebagai berikut.
Y
50o
100o
150o
200o
250o
X
350o
300o
Dari grafik tersebut, terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah 1 dan minimumnya
adalah −5.
Contoh Soal 7
Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = cos ( x − 30 ) , x ∈ [ 0°, 360°] .
Kemudian, lukislah grafik fungsinya.
Pembahasan:
Dengan menggunakan tabel, diperoleh:
x
0o
30o
60o
90o
120o
y
1
3
2
1
1
3
2
1
2
0
150o
−
1
2
180o
210o
...
360o
1
3
2
−1
…
1
3
2
−
Berdasarkan tabel tersebut, nilai maksimum dari fungsi y = cos ( x − 30 ) , x ∈ [ 0°, 360°]
adalah 1 dan nilai minimumnya adalah −1. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsi
yang diperoleh berikut.
y
x
50o
100o
150o
200o
15
250o
300o
350o
Contoh Soal 8
Tentukanlah nilai x yang memenuhi kesamaan cos x = sin x pada sudut-sudut istimewa.
Pembahasan:
Untuk menentukan nilai x yang memenuhi kesamaan cos x = sin x, dapat digunakan tabel
dan juga dengan grafik.
Cara 1: Menggunakan tabel sinus dan kosinus untuk sudut istimewa.
Sudut
sin
cos
Sudut
0o
0
1
210o
30o
1
2
1
3
2
225o
45o
1
2
2
1
2
2
240o
60o
1
3
2
1
2
270o
90o
1
0
300o
−
1
3
2
120o
1
3
2
1
2
315o
−
1
2
2
1
2
2
135o
1
2
2
−
1
2
2
330o
1
2
1
3
2
150o
1
2
−
1
3
2
360o
0
1
180o
0
−
sin
cos
1
2
−
1
3
2
−
1
2
2
−
1
2
2
−
1
3
2
−
−1
−
−
1
2
0
1
2
-1
Berdasarkan tabel tersebut, terlihat bahwa nilai x yang memenuhi kesamaan cos x = sin x
adalah x = 45o dan 225o.
16
Cara 2: Menggunakan grafik fungsi y = cos x dan y = sin x , x ∈ [ 0°, 360°] .
y
x
50
100
150
200
250
300
350
Grafik yang berwarna hitam menunjukkan fungsi y = sin x, sedangkan yang
bewarna merah menunjukkan fungsi y = cos x. Berdasarkan grafik tersebut terlihat
kedua grafik berpotongan pada 2 titik, yaitu x = 45 o dan y = 225o. Hal ini menunjukkan
bahwa pada kedua titik tersebut memiliki nilai yang sama, sehingga memenuhi
persamaan cos x = sin x.
Jadi, nilai x yang memenuhi kesamaan cos x = sin x adalah x = 45o dan y = 225o.
E. Melukis Grafik Fungsi Trigonometri dengan Metode Pergeseran
Selain cara melukis grafik yang telah kamu pelajari sebelumnya, ada metode lain yang
lebih mudah digunakan, yaitu dengan pergeseran. Misalkan diketahui fungsi sinus,
kosinus, dan tangen berikut ini.
y = A sin B ( x − C ) + D
y = A cos B ( x − C ) + D
y = A tan B ( x − C ) + D
1
A = amplitudo = ( ymax − ymin )
2

Jika C > 0, grafik digeser ke kanan.

Jika C < 0, grafik digeser ke kiri.

Jika D > 0, grafik digeser ke atas.

Jika D < 0, grafik digeser ke bawah.
Sebelum menggambar grafiknya, tentukan dahulu langkah sudut pada sumbu-X.
Langkah sudut dirumuskan sebagai berikut.
π
Langkah =
2B
17
Contoh Soal 9
Lukislah grafik fungsi y = cos (x – 30°) + 1 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Pembahasan:
Grafik fungsi y = cos (x – 30°) + 1 dapat diperoleh dari grafik fungsi y = cos x dengan metode
pergeseran. Caranya adalah dengan menggeser grafik fungsi y = cos x sejauh 30° ke kanan
dan sejauh 1 satuan ke atas. Namun sebelumnya, tentukan dahulu langkahnya.
Langkah =
π 180°
=
= 90°
2.1
2
Dengan demikian, diperoleh:
Y
30o
2
390o
1
120o
300o
210o
30o
120o
210o
X
300o
390o
Contoh Soal 10
Lukislah grafik fungsi y = 2 sin (3x – 60°) – 2 dalam interval 0° ≤ x ≤ 180°.
Pembahasan:
Fungsi y = 2 sin (3x – 60°) – 2 dapat dinyatakan dengan y = 2 sin 3(x – 20°) – 2.
Sebelum melukiskan grafiknya, tentukan dahulu langkahnya.
Langkah =
π 180°
=
= 30°
2.3
6
18
Dengan metode pergeseran, diperoleh grafik berikut.
Y
O
30o
50o
80o
110o
140o
X
170o 180o
180o
−2
140o
80o
30o
200o
−4
110o
−10o
Contoh Soal 10
Lukislah grafik fungsi y = sin( x + 60° ) , x ∈ [ 0°, 360°] .
Pembahasan:
Cara I: Dengan tabel fungsi y = sin( x + 60° ) , x ∈ [ 0°, 360°] .
x
0o
30o
60o
y
1
3
2
1
1
3
2
90o
120o
1
2
0
150o
−
180o
...
360o
1
3 1
−
3
2
2
…
1
3
2
Dengan demikian, grafik fungs y = sin( x + 60° ) , x ∈ [ 0°, 360°] adalah sebagai berikut.
Y
X
50o
100o
150o
200o
19
250o
300o
350o
Dengan menggunakan cara pertama, kita harus menghitung nilai y untuk setiap x, baru
kemudian dapat menentukan grafik fungsi y = sin( x + 60° ) , x ∈ [ 0°, 360°] .
Cara II: Dengan menggunakan metode pergeseran.
Grafik fungsi y = sin (x + 60) dapat diperoleh dari grafik fungsi y = sin x.
Sketsa dahulu grafik y = sin x , x ∈ [ 0°, 360°] . Kemudian, geser grafik tersebut ke kiri sejauh
seperti berikut.
Y
X
50
100
150
200
250
300
350
Grafik berwarna hitam merupakan grafik dasar, yaitu y = sin x , x ∈ [ 0°, 360°] dan grafik
berwarna merah merupakan grafik hasil penggeseran sejauh ke kiri.
20