BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan 3.2

BAB III
INDUKSI MATEMATIKA
3.1
Pendahuluan
Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang meli-
batkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau bulat seperti barisan
atau deret. Bentuk umum dari pola keteraturan tersebut membutuhkan perumusan yang sahih. Untuk itu, sebagai salah satu alat bukti, pada bab ini dibahas
tentang pengertian induksi matematika dan contoh-contoh penggunaannya.
Topik ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa untuk merumuskan bentuk umum
dari suatu pola yang diamati, seperti barisan dan deret, yang terapannya banyak
dijumpai di bidang premi asuransi, bunga berbunga, integral tertentu, dan iterasi.
Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuan minggu ke-6 yang meliputi
1. Proses Induktif (Aksiomatika bilangan asli)
2. Induksi Matematika
3. Contoh aplikasi pembuktian dengan Induksi matematika
ini secara tuntas diharapkan memiliki learning Outcomes berupa:
1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian induksi matematika
2. Mahasiswa mampu menggunakan induksi matematika dalam bidang matematika
3.2
Induksi Matematika
Salah satu alat bukti penting yang banyak dipakai di bidang matematika,
khususnya yang terkait dengan himpunan bilangan asli adalah induksi matematika yang sesungguhnya merupakan salah satu aksioma yang dipenuhi oleh sistem bilangan asli. Bentuk umum induksi matematika sebagai berikut: Misalkan
N adalah himpunan semua bilangan asli.
Teorema 3.1 Jika G subhimpunan N yang memenuhi
1. Pangkal: 1 ∈ G, dan
33
2. Induksi hipotesa: n ∈ G
berakibat n + 1 ∈ G,
maka G = N .
Selanjutnya jika G = {n ∈ N | P (n)}, dengan ”P (n)” mempunyai arti ”n
mempunyai sifat P ” atau ”n memenuhi ketentuan P ”, maka berlaku
(∀n ∈ N )(n ∈ G ⇐⇒ P (n)).
Hal ini berakibat Teorema 3.1 ekuivalen dengan
Teorema 3.2 Jika G subhimpunan N yang memenuhi
1. Pangkal: P (1), dan
2. Induksi Hipotesa: P (n),
berakibat P (n + 1),
maka (∀n ∈ N ).P (n).
Contoh 3.2.1 Dengan menggunakan induksi matematika buktikan, bahwa :
1. Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio r ̸= 1 dan u1 = a adalah
−1
a rr−1
n
2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dengan beda b dan u1 = a adalah
n
(2a
2
+ b(n − 1))
Penyelesaian:
1. Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio r ̸= 1 dan suku ke-1 a
adalah
Sn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 .
−1
Dibentuk G = {n ∈ N | Sn = a rr−1
}.
n
1. Pangkal: Untuk n = 1,
Sn = S1 = a = a
sehingga 1 ∈ G.
34
rn − 1
r1 − 1
=a
,
r−1
r−1
2. Induksi hipotesa: Misalkan n ∈ G. Akibatnya
a + ar + ar2 + · · · + arn−1 = Sn = a
rn − 1
,
r−1
sehingga
Sn+1 = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 + ar(n+1)−1
rn − 1
= a
+ ar(n+1)−1
r−1
a
=
(rn − 1 + r(n+1)−1 (r − 1))
r−1
rn+1 − 1
= a
r−1
Jadi n+1 ∈ G, sehingga berlaku G = N . Dengan kata lain untuk setiap
−1
bilangan asli n berlaku Sn = a rr−1
n
2. Jumlah n suku pertama deret hitung dengan beda b dan suku pertama a
adalah
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + · · · + (a + (n − 1)b.
Didefinisikan P (n) : ”n mempunyai sifat P ”, yaitu Sn = n2 (2a + b(n − 1))
1. Pangkal: Untuk n = 1,
1
n
Sn = S1 = a = (2a + b(1 − 1)) = (2a + b(n − 1),
2
2
sehingga 1 memenuhi sifat P .
2. Induksi hipotesa: Misalkan n memenuhi sifat P . Akibatnya
a + (a + b) + (a + 2b) + · · · + (a + (n − 1)b = Sn =
n
(2a + b(n − 1)),
2
sehingga
Sn+1 = a + (a + b) + (a + 2b) + · · · + (a + (n − 1)b + (a + b((n + 1) − 1))
n
(2a + b(n − 1)) + (a + b((n + 1) − 1))
=
2
n
1
=
(2a + b(n − 1)) + (2a + 2b(n))
2
2
n+1
n+1
=
(2a + bn) =
(2a + b((n + 1) − 1)
2
2
Jadi n + 1 memenuhi sifat P , sehingga untuk setiap bilangan asli n
berlaku Sn = n2 (2a + b(n − 1))
35
Contoh 3.2.2 Diketahui n dan b adalah dua bilangan bulat positif dan b > 1.
Tunjukkan, bahwa akan berlaku sifat P, yaitu dapat ditemukan bilangan bulat
s ≥ 0 dan ni yang memenuhi 0 ≤ ni < b, untuk i = 0, 1, · · · , s, ns ̸= 0, dan
n = ns bs + ns−1 bs−1 + · · · + n1 b + n0 .
Penyelesaian: Diketahui bilangan bulat b > 0.
1. Pangkal:
1 = 1, dengan s = 0 dan ns = 1,
sehingga 1 memenuhi sifat P .
2. Induksi hipotesa: Misalkan n mempunyai sifat P , berarti dapat ditemukan
s ≥ 0, ns ̸= 0, 0 ≤ ni < b untuk i = 0, 1, · · · , s sedemikian hingga
n = ns bs + ns−1 bs−1 + · · · + n1 b + n0 .
Kemungkinan:
1. Untuk setiap i, ni = b − 1. Akibatnya
n + 1 = ns bs + ns−1 bs−1 + · · · + n1 b + n0 + 1 = bs+1 ,
sehingga n + 1 memenuhi sifat P .
2. Ada indeks i, 0 ≤ i ≤ s yang memenuhi ni < b − 1. Anggap saja indeks
pertama yang memenuhi adalah k. Akibatnya 0 ≤ nk + 1 < b dan
n + 1 = ns bs + ns−1 bs−1 + · · · + n1 b + n0 + 1
= ns bs + · · · + nk+1 bk+1 + (nk + 1)bk
Contoh 3.2.3 Buktikan bahwa 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 , untuk setiap bilangan
bulat positif n.
Bukti:
1. Pangkal: Untuk n = 1
1 = 2.1 − 1 = 2n − 1,
sehingga 1 memenuhi sifat.
36
2. Induksi hipotesa: Misalkan n memenuhi 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 . Maka
1 + 3 + · · · + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1) = n2 + 2(n + 1) − 1
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Latihan 3.1
1. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa untuk n = 1, 2, · · ·
persamaan dan pertidaksamaan berikut ini berlaku:
1.1 1.2 + 2.3 + · · · n(n + 1) =
n(n+1)(n+2)
3
1.2 1.(1!) + 2(2!) + · · · n(n!) = (n + 1)! − 1
1.3 12 + 22 + · · · n2 =
n(n+1)(2n+1)
6
n+1 2
1.4 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)
1.5
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
n =
1
+ · · · (2n−1)(2n+1)
=
(−1)n (n+1)
2
n
2n+1
1.6 2n + 1 ≤ 2n
1.7 2n ≥ n2
1.8 (1 + x)n ≥ 1 + nx, untuk setiap x ≥ 1.
1.9 7n − 1 = 6k, untuk suatu bilangan asli k.
1.10 6.7n − 2.3n = 4k, untuk suatu bilangan asli k.
1.11 (1 + x)n ≥ 1 + nx, untuk setiap x ≥ 1.
1.12 Jika ai bulat positif, untuk i = 1, 2, · · ·, maka
1
(a1 a2 · · · a2n ) 2n ≤
a1 a2 · · · a2n
2n
.
2. Buktikan dengan induksi matematika, bahwa n buah garis lurus pada sebuah
bidang datar pasti membagi bidang tersebut menjadi
n2 +n+2
2
daerah, dengan
asumsi tidak ada dua garis lurus yang sejajar dan tidak ada tiga garis yang
beririsan di satu titik.
3. Tunjukkan bahwa jika sin( x2 ) ̸= 0, maka
x)
sin((n + 1)x) (n + 1) cos( 2n+1
2
1 sin x + 2 sin 2x + · · · + n sin nx =
−
.
x
2 x
2 sin( 2 )
4 sin ( 2 )
37
Tes Formatif III-1
PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN
Topik Bahasan
Hari/tanggal
Waktu
Sifat
: INDUKSI MATEMATIKA
:
: 60 menit
: Buku Tertutup
Dosen : Budi S.
1. Buktikan dengan prinsip Induksi matematika, bahwa pada himpunan semua bilangan bulat positif Z + berlaku
4 + 8 + 12 + . . . + 4n = 2n(n + 1).
2. Tulislah rumus deret geometri dengan suku tak hingga yang memiliki rasio
|r| < 1 dan suku pertama a. Buktikan dengan induksi matematika, bahwa
rumus anda benar!
38
Tes Formatif III-2
PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN
Topik Bahasan
Hari/tanggal
Waktu
Sifat
: INDUKSI MATEMATIKA
:
: 60 menit
: Buku Tertutup
Dosen : Budi S.
Tes Formatif Berkelompok
Jika k bilangan asli. Tunjukkan, bahwa jika terdapat barisan bilangan bulat
ao , a 1 , a 2 , . . .
yang memenuhi
an =
an−1 + nk
n
untuk semua n ≥ 1
maka k − 2 habis dibagi 3.
39
Kunci Jawaban
Tes Formatif III-1
1. No. 1:
4 + 8 + 12 + . . . + 4n = 2n(n + 1).
Untuk n = 1: 4.1 = 2.1(1 + 1)
Misalkan benar untuk n:
4 + 8 + 12 + . . . + 4n = 2n(n + 1).
Jadi untuk n + 1:
4 + 8 + 12 + . . . + 4n + 4(n + 1) = 2n(n + 1) + 4(n + 1) = 2(n + 1)(n + 1).
Benar untuk n + 1.
2. No 2:
Perhatikan kembali Contoh3.2.1
Komentar Dan Pengayaan
1. Tes Formatif III-1 hanya menguji tingkat dasar, pengulangan Contoh3.2.1
2. Tingkat pengusaan sudah mencapai kompetensi jika minimal dapat mengerjakan 70% dari soal Latihan
3. Pengayaan: Tes Formatif III-2 mempunyai tingkat kesulitan tinggi, untuk
mengukur kerjasama. Silahkan buka http:www.imo-official.org
40
BAB IV
KUANTOR
4.3
Pendahuluan
Bab ini merupakan materi untuk Minggu ke-7 dan satu kali tatap muka pada
Minggu ke-8. Pada bab ini akan dibahas tentang Pengertian kuantor (eksistensial
dan universal), hubungan kuantor universal dan eksistensial. Dalam perkembangan
berikutnya diperlukan bebarapa jenis kuantor lain. Untuk itu selanjutnya pada bab
ini juga dibahas tentang. Kuantor terbatas, kuantor jamak, dan implimentasinya
dalam berbagai bidang baik di bidang matematika, maupun kehidupan sehari-hari.
Setelah mempelajari pokok bahasan ini para mahasiswa diharapkan memperoleh learning outcomes sebagai berikut:
1. Mahasiswa mampu menjelaskan kuantor universal dan eksistensial
2. Mahasiswa mampu membuat ingkaran kalimat berkuantor
3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian kuantor eksistensial dan universal
4. Mahasiswa mampu menjelaskan jenis-jenis kuantor khusus
5. Mahasiswa mampu menggunakan kuantor khusus dalam bidang matematika
4.4
Kuantor
Dalam suatu pernyataan sangat mungkin kalimat yang digunakan merujuk
pada keberadaan ”sejumlah” unsur dalam semesta pembicaraan yang memenuhi
keadaan tertentu, yaitu unsur tertentu, sebagian unsur, atau semua (setiap) unsur
dari semesta pembicaraan. Dengan menggabungkan konsep negasi kalimat pada
”kuantifikasi”, muncullah istilah tidak ada, paling sedikit, paling banyak, tidak
kurang dari, dan tidak semua. Untuk itu diperlukan simbol atau istilah tertentu
yang mewakili sebagian atau seluruh anggota dari semesta pembicaraan. Sebagai
contoh:
1. Ada anak yang suka makan wortel mentah
2. Tidak ada bilangan real yang nilai kuadratnya negatif
3. Setiap hari dia berjualan dari jam 15.00 sampai dengan 22.00
41
4. Di R2 setiap dua garis yang saling tegak lurus tidak mungkin sejajar
5. Tidak semua anak pandai berenang
6. Sebagian rakyat berada di bawah garis kemiskinan
7. Terdapat bilangan bulat yang hasil penjumlahannya dengan masing-masing
bilangan real x sama dengan bilangan x itu sendiri.
Bentuk kuantifikasi di atas dapat juga digunakan untuk mengubah kalimat
terbuka menjadi kalimat deklaratif, selain dengan jalan mengganti variabel dengan
konstanta). Alat tersebut dinamakan kuantor. Ada dua jenis kuantor, yaitu:
1. Kuantor Universal:
”Untuk semua x berlaku · · ·” atau ”Untuk setiap x berlaku · · ·”.
Sebagai contoh misalkan semesta pembicaraannya himpunan semua bilangan
asli.
1. ”x > 1” merupakan kalimat terbuka
2. ”Untuk semua x berlakulah x > 1” merupakan kalimat deklaratif bernilai salah, sebab dapat ditemukan bilangan asli x = 1 yang memenuhi
x>
̸ 1.
2. Kuantor Eksistensial:
”Terdapat x sedemikian hingga · · ·” atau ”Ada x sedemikian hingga · · ·”
Dengan semestanya himpunan semua bilangan asli
1. ”x > 1” merupakan kalimat terbuka
2. ”Terdapat x sedemikian hingga x > 1” merupakan kalimat deklaratif
bernilai benar, sebab untuk x = 2 berlakulah x > 1.
Di dalam contoh di atas kalimat ”x > 1” dapat dibaca dengan ”x mempunyai
sifat lebih besar daripada 1”. Jika kondisi tersebut dinyatakan ”x mempunyai sifat
P ” dan ditulis dengan simbol ”P (x)”, maka kalimat
”Untuk semua x berlakulah x > 1”
dapat ditulis dengan: ”(∀x)P (x)”. Secara umum bentuk ”(∀x)P (x)” dapat dibaca
dengan
1. ”Semua x bersifat P ”
42
2. ”Setiap x mempunyai sifat P ”.
3. ”Untuk semua x berlaku sifat P .
Kalimat ”Terdapat suatu x yang memenuhi (sifat) x > 1” dapat ditulis dengan:
”(∃x)P (x)”.
Secara umum bentuk ”(∃x)P (x)” dapat dibaca dengan
1. ”Terdapat x yang mempunyai sifat P ”
2. ”Beberapa x mempunyai sifat P ”.
3. ”Paling sedikit ada satu x yang mempunyai sifat P .
Selanjutnya perlu diperhatikan, bahwa dalam penulisan simbol kuantor mengikat
lebih kuat dibandingkan kata penghubung lainnya. Sebagai contoh kalimat
(∀x)P (x) ∨ (α ⇐⇒ β)
yang dimaksud adalah ”((∀x)P (x)) ∨ (α ⇐⇒ β)”.
Di dalam prakteknya, di bidang ilmu eksakta untuk mengungkapkan sifat-sifat
(hukum-hukum) yang berlaku umum tidak jarang kuantor universal tidak ditulis,
walaupun eksistensinya memang diakui. Sebagai contoh rumus
xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + 1).
Bentuk sesungguhnya dari rumus tersebut seharusnya
(∀x).xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + 1).
Dalam pemakaiannya seringkali di dalam suatu kalimat kuantor yang digunakan tidak tunggal dan mungkin juga antara kuantor universal dan eksistensial
digunakan bersamaan, baik di awal kalimat maupun di tengah kalimat. Sebagai
contoh kalimat-kalimat berikut ini dengan semesta himpunan semua bilangan real
1. (∀x)(∀y)(−y < x < y =⇒ x2 < y 2 ).
2. (∀x)(∃y)(x − y = 0 = −y + x).
3. (∃x)(∀y)(x + y = y + x = y).
43
4. (∀x)((x ̸= 0) =⇒ (∃y)(xy = yx = 1)).
Simbolisma-simbolisma di atas dibaca:
1. Untuk semua x dan untuk semua y berlaku jika −y lebih kecil daripada x
dan x lebih kecil daripada y, maka x2 lebih kecil daripada y 2 .
Dapat juga diucapkan dengan kalimat:
Setiap pasangan bilangan real x dan y, jika −y < x < x, berlakulah x kuadrat
lebih kecil darpada y kuadrat.
2. Untuk setiap x terdapatlah y yang memenuhi x dikurang y sama dengan 0
dan 0 sama dengan −y ditambah x.
Dengan bahasa keseharian dapat diucapkan :
Setiap bilangan memiliki kebalikan terhadap operasi pengurangan, yaitu dirinya
sendiri. Kalimat ini bernilai benar.
3. Terdapat x yang memenuhi untuk semua y berlaku x ditambah y sama dengan y ditambah x yang sama dengan y.
Dengan bahasa keseharian dapat diucapkan :
Ada bilangan yang memenuhi sifat jika ditambahkan kepada setiap bilangan
hasilnya akan sama dengan bilangan yang kedua.
4. Untuk setiap x berlaku, jika x tidak sama dengan 0, maka terdapat y yang
memenuhi x dikali y sama dengan y dikali x, sama dengan 1.
Dapat diucapkan:
Setiap bilangan yang tidak nol pasti mempunyai bilangan yang berlawanan
(terhadap perkalian. Kalimat ini bernilai benar, sebagai contoh bilangan 5
lawannya 15 .
4.5
Urutan, Sifat-sifat dan Hubungan Antar Kuantor
Urutan dan letak kuantor di dalam suatu pernyataan harus diperhatikan secara
seksama. Penempatan kuantor yang tidak tepat akan berakibat makna pernyataan
akan berbeda dengan fakta yang ingin disampaikan. Hal ini juga berdampak pada
nilai kebenaran dari pernyataan tersebut.
Selanjutnya, misalkan ”P ” adalah suatu predikat tertentu. Tata tulis dua kuantor secara berurutan mempunyai bentuk umum:
44
1. (∀x)(∀y).P (x, y), juga ditulis dengan: (∀x, y).P (x, y).
Dibaca : ”Untuk semua x dan y berlaku x dan y bersifat P ”.
2. (∀x)(∃y).P (x, y).
Dibaca : ”Untuk semua x terdapat y yang memenuhi x dan y bersifat P ”.
3. (∃x)(∀y).P (x, y).
Dibaca : ”Terdapat x yang memenuhi untuk semua y berlaku x dan y mempunyai sifat P ”.
4. (∃x)(∃y).P (x, y), juga ditulis dengan: (∃x, y).P (x, y).
Dibaca : ”Terdapat x dan y yang memenuhi sifat P .
Teorema berikut ini menunjukkan, bahwa kuantor-kuantor yang sejenis bisa
ditukar letaknya.
Teorema 4.3
(∀x)(∀y).q(x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x).q(x, y).
Teorema 4.4
(∃x)(∃y).q(x, y) ⇐⇒ (∃y)(∃x).q(x, y).
Kalimat ”(∀x)(∃y).P (x, y)” mempunyai arti yang berbeda dengan ”(∃x)(∀y).P (x, y)”.
Sebagai contoh perhatikan kalimat:
1. (∀x)(∃y)(x − y = 0 = −y + x), dan
2. (∃x)(∀y)(x − y = 0 = −y + x),
dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan nyata.
Kalimat ke-1 bernilai benar. Untuk setiap x, pasti ada y yaitu y = x yang
memenuhi x − y = x − x = 0 = −y + x. Sedangkan kalimat ke-2 bernilai salah,
sebab jika ada x yang memenuhi kondisi tersebut, maka x − 1 = 0 dan x − 2 = 0.
Akibatnya −1 = 0, sehingga terjadi kontradiksi.
Teorema 4.5
(∃x)(∀y).q(x, y) =⇒ (∀y)(∃x).q(x, y).
Sifat ini berlaku untuk semua semesta pembicaraan dan semua predikat q.
Contoh 4.5.1 Kalimat : ”(∃x)(∀y)(x+y = y+x = y)” akan berkibat: ”(∀y)(∃x)(x+
y = y + x = y)”, sebab anteseden benar, sehingga eksistensi x yang memenuhi
x + y = y + x = y, untuk semua y dijamin di dalam semestanya. Jadi untuk
sebarang y, berlaku x + y = y + x = y.
45
Selanjutnya bentuk ingkaran dari kalimat
”Semua x mempunyai sifat p,”
adalah ”Tidak benar semua x mempunyai sifat p”, atau ”Tidak semua x mempunyai sifat p”. Kalimat ingkaran tersebut sama dengan kalimat
”Ada x yang tidak mempunyai sifat p”.
Dengan kata lain pernyataan yang merupakan ingkaran, bahwa setiap anggota
semestanya mempunyai sifat p, adalah sama
dengan mengatakan terdapat anggota yang tidak mempunyai sifat p, sehingga
berlaku
Teorema 4.6
(∀x).p(x) ⇐⇒ (∃x).p(x).
Contoh 4.5.2 Jika semestanya himpunan semua bilangan nyata, tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini:
1. (∀x)(x2 + 2x + 1 ≥ 1)
2. (∀x)(−a ≤ x ≤ a =⇒ x2 ≤ a2 )
Penyelesaian:
1. (∃x)x2 + 2x + 1 ≥ 1
Sama dengan: (∃x)(x2 + 2x + 1 ̸≥ 1)
Atau: (∃x)(x2 + 2x + 1 < 1)
2. (∃x)−a ≤ x ≤ a =⇒ x2 ≤ a2
Sama dengan: (∃x)−a ≤ x ≤ a ∨ x2 ≤ a2
Dengan kata lain: (∃x)(−a ≤ x ≤ a ∧ x2 ≤ a2 )
Mempunyai makna yang sama dengan: (∃x)(−a ≤ x ≤ a ∧ x2 > a2 )
Ingkaran bahwa terdapat anggota semestanya yang mempunyai sifat p sama
dengan menyatakan, bahwa tidak ada anggota semestanya yang mempunyai sifat
p. Hal ini sama dengan mengatakan semua anggota semestanya tidak mempunyai
sifat p.
Teorema 4.7
(∃x).p(x) ⇐⇒ (∀x).p(x).
46
Contoh 4.5.3 Tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini:
1. Ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85.
2. Dengan semesta himpunan bilangan nyata: (∃x)(x2 − 2x + 1 < −1)
Penyelesaian:
1. Tidak ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85.
Sama dengan: Semua mahasiswa IPK-nya tidak lebih besar daripada 3,85
Atau: Semua mahasiswa IPK-nya kurang dari atau sama dengan 3,85.
2. (∀x)x2 − 2x + 1 < −1
Sama dengan: (∀x)(x2 − 2x + 1 ̸ < − 1)
Dengan kata lain: (∀x)(x2 − 2x + 1 ≥ −1)
Berdasarkan sifat-sifat ingkaran kalimat di atas dapat diturunkan bentuk-bentuk
ingkaran kalimat yang lain, yang di dalamnya juga memuat kuantor.
Teorema 4.8 Ingkaran kuantor jamak:
1. (∃x)(∃y).p(x, y) ⇐⇒ (∀x)(∀y).p(x, y)
2. (∃x)(∀y).p(x, y) ⇐⇒ (∀x)(∃y).p(x, y)
3. (∀x)(∃y).p(x, y) ⇐⇒ (∃x)(∀y).p(x, y)
4. (∀x)(∀y).p(x, y) ⇐⇒ (∃x)(∃y).p(x, y)
Contoh 4.5.4 Dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan nyata,
tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini:
1. (∀x)(∃y)(x + y = 0).
2. (∃l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ))
3. (∀x)(∀y)(x > y ⇐⇒ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)).
Penyelesaian:
47
1. Ingkaran dari: (∀x)(∃y)(x + y = 0) adalah :
(∀x)(∃y)(x + y = 0)
(∃x)(∃y)(x + y = 0)
(∃x)(∀y)x + y = 0
(∃x)(∀y)(x + y ̸= 0)
2. Ingkaran dari: (∃l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ)) adalah :
(∃l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ))
(∀l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ))
(∀l)(∃ϵ)ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ)
(∀l)(∃ϵ)(ϵ > 0 ∧ P (l, ϵ))
3. Ingkaran dari: (∀x)(∀y)(x > y ⇐⇒ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)) adalah :
(∀x)(∀y)(x > y ⇐⇒ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)).
(∃x)(∀y)(x > y ⇐⇒ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)).
(∃x)(∃y)x > y ⇐⇒ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u).
(∃x)(∃y)(x > y ∨ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)) ∧ ((∃u)(u > 0 ∧ x = y + u) ∨ x > y).
(∃x)(∃y)(x > y ∨ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u))∨((∃u)(u > 0 ∧ x = y + u) ∨ x > y).
(∃x)(∃y)(x > y∧(∃u)(u > 0 ∧ x = y + u))∨((∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)∧x > y).
(∃x)(∃y)(x > y ∧ (∀u)u > 0 ∧ x = y + u ∨ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u) ∧ x ̸ >y).
(∃x)((∃y)(x > y ∧(∀u)(u ̸ >0∨x ̸= y +u)∨((∃u)(u > 0∧x = y +u)∧x ̸ > y)).
Berikut ini diberikan contoh-contoh menentukan nilai logika kalimat yang menggunakan kuantor.
Contoh 4.5.5 Semesta pembicaraan adalah himpunan semua bilangan real. Tentukan nilai logika dari kalimat berikut ini.
1. (∀x).x2 − x > 1
2. (∃x).x2 − x > 1
√
3. (∀x). x2 = x
√
4. (∃x). x2 = −x
5. (∀x)(x > 0 =⇒ (∃y)( y1 < x))
6. (∀x)(∃y)( xy = 0)
7. (∀x)(∀y)(x ̸= y =⇒ (∃z)(x < z < y ∨ y < z < x))
48
Penyelesaian:
1. Bernilai salah, sebab untuk x = 1 berlaku x2 − x = 1 − 1 = 0 ≤ 1.
2. Bernilai benar, sebab untuk x = 2 berlaku x2 − x = 4 − 2 > 1.
3. Bernilai salah, sebab untuk x = −3 berlaku
√
√
√
x2 = (−3)2 = 9 = 3 ̸= x.
4. Bernilai benar. Contohnya x = −3.
5. Bernilai benar, sebab jika x > 0, maka 0 <
maka
1
x
<
1
x
+ 1. Jika dipilih y =
1
x
+ 1,
1
1
< 1 = x.
y
x
6. Bernilai salah, sebab untuk x = 1, berapapun y berlaku
1
y
̸= 0.
7. Bernilai benar.
Contoh 4.5.6 Semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan 0, 1, 2, 3 dan 4.
Tentukan nilai logika dari kalimat berikut ini.
1. (∀x).x ≥ −1
2. (∃x).x2 − x > x − 1
3. (∀x).x2 ≤ 16
√
4. (∃x). x2 = −x
Penyelesaian:
1. Bernilai benar, sebab paling kecil 0 dan 0 > 1. Jadi pasti 0 ≥ 1.
2. Bernilai benar, sebab contohnya x = 1 berlaku x2 − x = 1 − 1 = x − 1.
3. Bernilai benar, sebab paling besar adalah 4 dan 42 = 16
4. Bernilai salah, sebab semua anggota semestanya positif, sehingga
Latihan 4.2
49
√
x = x.
1. Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua manusia. Didefinisikan
simbol-simbol sebagai berikut:
M (x) :
P (x) :
A(x) :
x merupakan mahasiswa
x orang yang pandai
x suka berolah raga.
Tulislah penyataan-pernyataan ini dengan menggunakan kauantor dan simbolsimbol di atas
1.1 Ada manusia yang suka berolah raga tetapi tidak pandai
1.2 Semua mahasiswa pandai
1.3 Ada mahasiswa yang pandai dan suka berolah raga.
1.4 Semua manusia yang tidak pandai tetapi suka berolah raga pasti bukan
mahasiswa.
1.5 Ada manusia yang suka berolah raga tetapi bukan mahasiswa
1.6 Semua orang pandai pasti tidak menyukai olah raga
2. Diberikan semesta pembicaraannya himpunan semua bilangan nyata. Bacalah kalimat-kalimat di bawah ini, kemudian renungkan artinya dan ucapkanlah dengan menggunakan bahasa sehari-hari (dengan makna yang sama
dengan bentuk simbolnya). Selanjutnya tentukan nilai kebenaraannya.
2.1 (∃x)(x2 − 1 = 0)
2.2 (∀y)(∃x)(x ≤ y)
2.3 (∃y)(∀x)(yx = xy = 0)
2.4 (∀x)((∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ |x| < 0) =⇒ x = 0)
2.5 (∀x)(∀y)(x ̸= 0 =⇒ (x < y ∨ x > y))
2.6 (∃x)(∃y)(x > y > 0 ∧ x2 < y 2 )
2.7 (∀x)(∃y)(xy = y 2 ).
3. Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat Soal 1.1 - 1.6,
kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari.
4. Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat Soal 2.1 - 2.7,
kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya.
50
4.6
Kuantor Jenis Lain Dan Kuantifikasi Terbatas
Di bidang matematika terdapat suatu kuantor jenis lain yang mempunyai simbol
khusus, yaitu yang mewakili pernyataan ”Terdapatlah satu dan hanya satu · · ·” di
dalam semestanya. Untuk itu perhatikan kalimat :
”Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P ”.
Simbol dari pernyataan tersebut adalah:
”(∃x)(P (x) ∧ (∀y)(P (y) =⇒ y = x))”
yaitu ada x yang memenuhi sifat P dan untuk setiap y yang memenuhi sifat P ,
maka y sama dengan x. Kuantor ini diberi simbol dengan ”(∃!x)”, sehingga kalimat
selengkapnya dapat ditulis dengan
”(∃!x)P (x)”
dan dibaca ” Terdapat dengan tunggal x yang mempunyai sifat P ”.
Contoh 4.6.1 Di dalam himpunan semua bilangan nyata kalimat berikut ini bernilai benar
(∃!x)(∀y)(x + y = y + x = x)
satu-satunya bilangan nyata x yang memenuhi adalah 0.
Kuantor jenis lain dapat dijumpai dalam pernyataan berikut ini:
Terdapat tepat dua bilangan nyata yang memenuhi x2 − x − 6 = 0.
Secara simbolis kalimat tersebut dapat ditulis
(∃u, v)(u ̸= v∧u2 −u−6 = 0∧v 2 −v−6 = 0∧(∀w)(w2 −w−6 = 0 =⇒ (w = u∨w = v))),
dengan terjemahan
”Terdapat u dan v yang berbeda yang memenuhi x2 − x − 6 = 0 dan untuk
setiap w yang memenuhi x2 − x − 6 = 0, maka w sama dengan u atau v”.
Selanjutnya untuk keperluan tertentu tidak jarang kuantor (eksistensial maupun
universal) yang tertulis di awal kalimat mengalami pembatasan ruang lingkup
dalam semesta pembicaraannya yang disebabkan oleh sifat yang dipenuhinya di
dalam pernyataan. Secara simbolis penulisan kuantor kemudian mengalami penyesuaian.
51
Contoh 4.6.2 Diberikan kalimat-kalimat berikut ini :
1. Terdapat x yang positif dan bersifat P .
2. Terdapat u yang merupakan elemen A dan bersifat P .
3. Semua x yang positif mempunyai sifat P .
4. Semua u anggota A mempunyai sifat P .
Bentuk simbolis dari kalimat-kalimat tersebut adalah:
1. (∃x)(x > 0 ∧ P (x)).
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: (∃x > 0).P (x)
dan dibaca : Terdapat suatu x positif yang bersifat P .
2. (∃x)(x ∈ A ∧ P (x)).
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: (∃x ∈ A).P (x)
dan dibaca : Terdapat suatu x elemen A yang bersifat P .
3. (∀x)(x > 0 =⇒ P (x)).
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: (∀x > 0).P (x)
dan dibaca : Semua x positif mempunyai sifat P .
Simbolisasi dari kalimat tersebut bukan: (∀x)(x > 0 ∧ P (x)),
karena terjemahan dari ”(∀x)(x > 0 ∧ P (x))” adalah
”Setiap x pasti positif dan mempunyai sifat P ”.
Kalimat ini tidak sesuai dengan kalimat aslinya.
4. (∀x)(x ∈ A =⇒ P (x)).
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: (∀x ∈ R).P (x)
dan dibaca : Semua x elemen A mempunyai sifat P .
Bentuk ingkaran dari kalimat-kalimat dalam contoh di atas adalah :
1. (∃x > 0).P (x) yaitu
(∃x)(x > 0 ∧ P (x))
(∀x)x > 0 ∧ P (x)
(∀x)(x > 0 ∨ P (x)
(∀x)(x > 0 =⇒ P (x)
(∀x > 0).P (x)
52
dan dibaca : Semua x positif tidak mempunyai sifat P .
2. (∃x ∈ A).P (x) yaitu
(∃x)(x ∈ A ∧ P (x))
(∀x)x ∈ A ∧ P (x)
(∀x)(x ∈ A ∨ P (x)
(∀x)(x ∈ A =⇒ P (x)
(∀x ∈ A).P (x),
dan dibaca : Semua x elemen R tidak mempunyai sifat P .
3. (∀x > 0).P (x) yaitu
(∀x)(x > 0 =⇒ P (x))
(∃x)x > 0 ∨ P (x)
(∃x)(x > 0 ∧ P (x)
(∃x)(x > 0 ∧ P (x)
(∃x > 0).P (x)
dan dibaca : Terdapat x positif yang tidak mempunyai sifat P .
4. (∀x ∈ A).P (x)) yaitu
(∀x)(x ∈ A =⇒ P (x))
(∃x)x ∈ A ∨ P (x)
(∃x)(x ∈ A ∧ P (x)
(∃x)(x ∈ A ∧ P (x)
(∃x ∈ A).P (x),
dan dibaca : Terdapat x elemen R yang tidak mempunyai sifat P .
Contoh 4.6.3 Tentukanlah negasi (ingkaran) dari kalimat-kalimat berikut ini, jika
semestanya adalah himpunan orang-orang.
1. Bagi wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75 meraih derajat cumlaude
2. Ada bayi yang berat badan lahirnya kurang dari 2 kg yang tidak dimasukkan
ke dalam inkubator.
53
3. Setiap mahasiswa semester satu harus mengambil kalkulus I.
Penyelesaian:
1. Kalimatnya sama artinya denga kalimat, setiap wisudawan yang memiliki
IPK lebih dari 3,75 meraih derajat cumlaude, sehingga ingkarannya adalah
Ada wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75 tapi tidak meraih derajat
cumlaude.
2. Setiap bayi yang berat badan lahirnya kurang dari 2 kg pasti dimasukkan ke
dalam inkubator.
3. Ada mahasiswa semester satu yang tidak harus mengambil kalkulus I. Kalimat ini sama artinya dengan kalimat : ”Ada mahasiswa semester satu yang
diperbolehkan tidak mengambil kalkulus I”.
Contoh 4.6.4 Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini.
1. Sekurang-kurangnya ada satu x yang mempunyai sifat P .
2. Paling banyak ada satu x yang mempunyai sifat P .
3. Hanya ada satu x yang mempunyai sifat P .
4. Paling banyak ada satu bilangan positif yang bersifat P .
5. Sekurang-kurangnya ada dua x bersifat P .
6. Paling banyak ada dua elemen D yang bersifat P .
Penyelesaian:
1. (∃x).P (x).
2. (∀x)(∀y)(P (x) ∧ P (y) =⇒ x = y). Ekuivalen dengan
(∀x)(∀y)(x ̸= y =⇒ P (x) ∨ P (y)).
(∀x)(∀y)(x ̸= y =⇒ (P (x) =⇒ P (y))).
(∃x, y)(x ̸= y ∧ P (x) ∧ P (y)).
Perlu diperhatikan, bahwa kalimat ini mengandung arti di dalam semestanya
tidak ada kepastian ada x yang bersifat P . Namun jika ada x yang memenuhi
sifat P , maka elemen sedemikian tunggal adanya.
3. (∃x)(P (x) ∧ (∀y)(P (y) =⇒ x = y). Kalimat ini berbeda dengan kalimat 2,
sebab adanya elemen x yang bersifat P dijamin ada dan tunggal.
54
4. (∀x)(∀y)(x > 0 ∧ y > 0 ∧ P (x) ∧ P (y) =⇒ x = y).
5. (∃x)(∃y)(x ̸= y ∧ P (x) ∧ P (y)).
6. (∀x)(∀y)(∀z)((P (x) ∧ P (y) ∧ P (z)) =⇒ (x = y ∨ x = z ∨ y = z)).
Contoh 4.6.5 Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan bulat.
Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini.
1. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat |δ| <
ϵ.
2. Ada bilangan L yang memenuhi untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat
bilangan positif δ yang bersifat |δ| < ϵ.
3. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga
untuk setiap x anggota Df yang memenuhi 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x) −
L| < ϵ.
4. Ada bilangan L sedemikian hingga untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota Df yang
memenuhi 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x) − L| < ϵ.
Penyelesaian:
1. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ.
2. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ.
3. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ).
4. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ).
Pernyataan ini merupakan definisi dari fungsi f mempunyai limit di x = a.
Teorema 4.9 Ingkaran kuantor jamak dengan pembatasan himpunan:
1. (∃x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∀x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y)
2. (∃x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∀x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y)
3. (∀x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∃x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y)
4. (∀x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y)
55
Selanjutnya pada kalimat ”Untuk x yang bersifat P terdapat y yang bersifat
Q, sehingga x dan y memenuhi r” dapat dinyatakan dengan
(∀P (x))(∃Q(y)).r(x, y)
Contoh 4.6.6 Pernyataan ”Untuk setiap ϵ yang bersifat ϵ > 0 terdapat δ yang
memenuhi δ > sehingga jika 0 < |x − x0 | < δ, maka |f (x) − L| < ϵ dapat ditulis
(∀ϵ > 0)(∃δ > 0).[0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ϵ]
Teorema 4.10 Ingkaran kuantor jamak dengan pembatasan berbentuk pernyataan:
1. (∃P (x))(∃Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∀P (x))(∀Q(y)).r(x, y)
2. (∃P (x))(∀Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∀P (x))(∃Q(y)).r(x, y)
3. (∀P (x))(∃Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∃P (x))(∀Q(y)).r(x, y)
4. (∀P (x))(∀Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∃P (x))(∃Q(y)).r(x, y)
Contoh 4.6.7 Tentukan ingkaran pernyataan di Contoh 4.6.5.
Penyelesaian:
1. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ. ⇐⇒ (∃ϵ > 0)(∀δ > 0).|δ| ≥ ϵ
2. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ ⇐⇒ (∀L)(∃ϵ > 0)(∀δ > 0).|δ| ≥ ϵ
3. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ).
⇕
(∃ϵ > 0)(∀δ > 0)(∃x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − L| ≥ ϵ)
4. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ).
⇕
(∀L)(∃ϵ > 0)(∀δ > 0)(∃x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − L| ≥ ϵ)
Latihan 4.3
1. Tentukan negasi dari simbolisma-simbolisma logika kalimat-kalimat di dalam
Contoh 4.6.4, kemudian terjemahkan dengan bahasa sehari-hari.
56
2. Tentukan negasi dari simbolisma-simbolisma logika kalimat-kalimat di dalam
Contoh 4.6.5, kemudian terjemahkan dengan bahasa sehari-hari.
3. Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real. Tentukanlah
nilai kebenaran dari uangkapan-ungkapan berikut ini:
3.1 (∀x)((∀ϵ > 0)|x| < ϵ =⇒ x = 0).
3.2 (∀ϵ > 0)(∃N0 ∈ N )( N10 < ϵ).
3.3 (∃M > 0)(∀x)(e−|x| < M ).
Tulislah dalam bentuk simbolisma logika
4. Tulislah definisi lim f = L untuk x → c
5. Tulislah definisi lim f = L untuk x → c−
6. Tulislah definisi lim f = L untuk x → c+
7. Tulislah definisi fungsi f tidak mempunyai limit di x = c.
8. Tulislah definisi fungsi f mempunyai derifatif di x = c.
9. Tulislah definisi fungsi f kontinu di x = c.
10. Tulislah definisi fungsi f tidak kontinu x = c.
11. Paling banyak ada dua x dimana f tidak kontinu di x.
12. Fungsi f kontinu pada interval I.
13. Fungsi f mempunyai derivatif di setiap x ∈ I kecuali mungkin di c.
14. Tulislah definisi barisan {xi }i≥1 konvergen, kemudian tentukan ingkarannya.
15. Tentukan nilai kebenaran dan beri alasan kalimat
[(∀ε > 0)(∃δ > 0)(|x − xo | < 0 ⇒ |f (x) − fxo | < ε)] ⇒ f ′ (xo ) ada
57
Tes Formatif V
PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN
Topik Bahasan
Hari/tanggal
Waktu
Sifat
: KUANTOR
:
: 100 menit
: Buku Tertutup Dosen : Budi S.
1. Tulislah kalimat berikut dalam simbolisma matemtika:
1.1. Terdapat tepat 3 bilangan asli yang bersifat P .
1.2. Fungsi f mempunyai limit di x = c.
1.3. Jika untuk setiap ϵ > 0 berlaku 0 ≤ x < ϵ, maka x = 0.
1.4. Untuk setiap bilangan real x dan y yang berbeda, terdapat bilangan
bulat n dan k, sehingga
n
m
terletak di antara x dan y.
2. Tentukan bentuk ingkaran dari soal nomor 1, kemudian terjemahkan dalam
kalimat sehari-hari.
3. Tentukan nilai kebenaran soal nomor 1(dan beri alasan):
3.1. Soal nomor 1.3 di atas.
3.2. (∀x ∈ [0, 1))(∃y ∈ IR )(x2 + y 2 = 2xy).
Kunci Jawaban Tes Formatif V
1. No. 1.2.
(∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ϵ)
2. No. 2 dan 3. Ingkaran 1.3 dalam kalimat sehari-hari adalah ”Untuk setiap
untuk setiap ϵ > 0 berlaku 0 ≤ x < ϵ, tetapi x ̸= 0”.
Kalimat ini bernilai salah.
58
Komentar Dan Pengayaan
1. Materi topik ini dilengkapi dengan soal latihan yang cukup untuk memenuhi
kommpetensi mahasiswa di bidang kuantor. Untuk kemampuan cukup mahasiswa harus bisa mengerjakan minimal 80% soal contoh dan latihan.
2. Sebagai pelengkap mahasiswa dapat penelusuran internet dengan kata kunci
”Mathematical Logic” atau ”Agebraic Logic”. Salah satu di antaranya ”Leibniz’s Logic” di situs http://www.philosophie.uni-osnabruek.de
59