bab 6 notasi sigma, barisan dan deret

BAB 6
NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET
A
RINGKASAN MATERI
1. Notasi Sigma
n
 Diberikan suatu barisan bilangan, a1, a2, ..., an. Lambang  a k menyatakan jumlah n suku pertama barisan
k 1
n
deret tersebut, yaitu:  a k = a1 + a2 + ... + an
k 1
 Sifat-sifat Notasi Sigma: Jika m dan n bilangan asli, dengan m  n dan c  R maka berlaku:
n
a.
 a k = a1 + a2 + ... + an
k 1
n
b.
 ak  bk    a k   bk
k m
n
c.
n
n
k m
k m
f.
g.
k m
 c  nc
n
m
n
k 1
m 1
k 1
k m
 ak   ak   ak
 ak  0
k m
n
n
 cak  c  ak
k m
n
d.
e.
h.
k 1
2
 ak  bk    ak2  2  ak  bk   bk2
n
k m
n
nc
k m
k m
k mc
n
k m
n c
n
k m
 a k   a k c   a k  c
k  mc
2. Barisan Aritmetika
 Sebuah barisan bilangan u1, u2, ... , un disebut barisan aritmetika jika berlaku
b = u2 – u1 = u3 – u2 = ... = un – un – 1 ,
dengan b disebut beda dari barisan aritmetika
 Un = a + (n – 1)b
dengan Un = suku ke-n, b = beda, dan a = suku pertama (U1 )
1
 Ut = (a + Un)
2
dengan Ut = suku tengah, Un = suku ke-n (n ganjil)
 Jika diantara dua suku berurutan disisipkan k buah suku, maka diperoleh barisan aritmetika yang baru
b
dengan beda yang baru menjadi: b' 
k 1
b’ = beda barisan aritmetika yang baru
b = beda barisan aritmetika yang lama
k = banyaknya penyisip
3. Deret Aritmetika
 Deret aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika, yaitu:
Sn = u1 + u2 + ... + un
n
= (2a + (n – 1)b)
2
n
=
(a + Un)
2
= n . Ut
dengan Sn = jumlah n suku pertama, dan n = jumlah suku
 Un = Sn – Sn – 1
4. Barisan Geometri
 Sebuah barisan bilangan u1, u2, ..., un disebut barisan geometri jika berlaku :
u
u
u
r  2  3    n , dengan r merupakan rasio dari barisan geometri tersebut.
u1 u 2
u n1
n–1
 Un = ar
dengan Un = suku ke-n, r = rasio, dan a = suku pertama (U1)
1
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
 Ut 
a Un
dengan Ut = suku tengah,

r' 
k 1
Un = suku ke-n (n ganjil)
r
dengan r’ = rasio barisan yang baru,
5. Deret Geometri
a r n 1
, untuk r > 1 atau
Sn 
r 1


Sn 
r = rasio barisan yang lama,

k = banyaknya penyisip

a 1 rn
, untuk r < 1
1 r
6. Deret Geometri Tak Hingga
 Adalah suatu deret geometri yang mempunyai suku-suku yang tak hingga banyaknya.
a
S = a + ar + ar2 + ar3 + ... =
,n~
1 r
S  genap
a
ar
 S ganjil =
, S genap =
, S = S ganjil + S genap , r 
2
2
S  ganjil
1 r
1 r
B
SOAL DAN PEMBAHASAN
5
1. Niai dari
  1
k 1
a. –22
Jawaban: b
Penyelesaian:
k
k
2

 3 = ….
b. –12
c. 12
d. 13
e. 22
k
2
2 2
3 2
4 2
5 2
2
  1 k  3 = (–1)(1 – 3) + (–1) (2 – 3) + (–1) (3 – 3) + (–1) (4 – 3) + (–1) (5 – 3)
5
k 1
= 2 + 1 + (–6) + 13 + (–22)
= –12
2. Dari barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-9 adalah 35 dan jumlah suku ke-4 dan ke-12 adalah 62. Nilai
suku ke-10 adalah ….
a. 25
b. 35
c. 39
d. 49
e. 62
Jawaban: c
Penyelesaian:
U9 = 35  a + 8b = 35 ... (1)
U4 + U12 = 62  a + 3b + a + 11b = 62
 2a + 14b = 62
 a + 7b = 31 ... (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh
a + 8b = 35
a + 7b = 31
b=4 a=3
Jadi, Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + 9(4) = 39
3. Ebtanas 2001
Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 + 3n. Beda deret tersebut adalah ....
a. 6
b. 4
c. 2
d. – 4
e. – 6
Jawaban: c
Penyelesaian:
Sn = n2 + 2n
Metode Praktis:
S1 = U1 = (1)2 + 2(1) = 3
2
S2 = (2) + 2(2)
Sn = An2 + Bn  Un = 2An + (B – A) dan beda = 2A
Karena Sn = n2 + 2n
 U1 + U2 = 8
maka
Un = 2n + (2 – 1) = 2n + 1
 3 + U2 = 8
dan
beda
= 21 = 2
 U2 = 5
Jadi, b = U2  U1 = 5 – 3 = 2
2
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
4. Ebtanas 2000
Jumlah suku n pertama deret aritmetika adalah 12.000 untuk n = 75, maka suku tengah deret itu adalah ….
a. 80
b. 150
c. 155
d. 160
e. 320
Jawaban: d
Penyelesaian:
S
12.000
Ut  n 
 160
n
75
Jadi, suku tengah deret itu adalah 160.
5. Ebtanas 2001
1 1 1 1
, , ,
adalah ....
16 8 4 2
c. 128
d. 256
Suku ke-13 dari empat suku barisan yang berpola
a. 32
Jawaban: d
Penyelesaian:
b. 64
e. 512
1
U
1
1
dari barisan di atas diperoleh a 
dan U 2 , sehingga r  2  8 = 2 dan
1
16
8
a
16
1
U13 = ar =
 212 = 256
16
Jadi, suku ke-13 barisan tersebut adalah 256.
12
6. Antara bilangan 4 dan 1024 disisipkan 7 bilangan. Bilangan ini bersama bilangan semula membentuk sebuah
deret geometri. Jumlah deret geometri tersebut adalah ….
a. 1028
b. 2011
c. 2044
d. 2066
e. 3044
Jawaban: c
Penyelesaian:
Antara bilangan 4 dan 1024 disisipkan 7 bilangan, maka
1024
r = 7 1
= (256)1/8 = (28)1/8 = 2
4
untuk a = 4, r = 2 dan n = 9, maka
Sn 


a rn 1
r 1


4 29  1
2 1
= 4(511)
= 2044
Jadi, jumlah deret geometri adalah 2044.
S9 
7. Suku pertama dan rasio barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 3. Jumlah n suku pertama dari deret
tersebut adalah 80, banyak deret tersebut adalah ….
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Jawaban: b
Penyelesaian:
Diketahui a = 2, r = 3, dan Sn = 80, maka


a rn 1
r 1
a r n 1
 80 =
r 1
Sn 




2 3n  1
3 1
n
 80 = 3 – 1
 3n = 81
 n=4
Jadi, banyak deret tersebut adalah 4.
 80 =
3
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
8. UAN 2003
2
( 2  1)
3
Jawaban: c
Penyelesaian:
a.
3
( 2  1)
2
b.
1
2
2 1
Jumlah deret geometri tak hingga
1
+ … adalah ….
2
2
c. 2( 2 + 1)
Deret geometri tak hingga di atas memiliki : a  2 dan r 
S 
a
=
1 r
2
1
1
2
=
2 1
2
=
2 1

2 1
2 1
d. 3( 2 + 1)
e. 4( 2 + 1)
un
1
, maka

u n 1
2
= 2( 2 + 1)
2
9. UAN 2003
Sebuah bola dijatuhkan tegak dari ketinggian 6 m, terjadi pantulan ke-2, ke-3, ke-4 dan seterusnya dengan
16
ketinggian pantulan 4 m, 8 m,
m dan seterusnya. Jarak lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti adalah
3
a. 16 m
Jawaban: e
Penyelesaian:
9
b. 18 m
c. 20 m
d. 24 m
e. 30 m
Bola
6
4
4
1
8
8
3
3
2
Bola turun: 6 + 4 +
3
5
4
8
+ … , sehingga Sturun=
3
6
=18 m
2
1
3
16
4
8
Bola naik: 4 + +
+… , sehingga Snaik =
= 12 m
2
3
9
1
3
S = Sturun + Snaik = 18 + 12 = 30 m.
Jadi, lintasan yang ditempuh bola adalah 30 m.
C
Metode Praktis:
yx
, dengan
S  h
yx
S = Jarak lintasan bola sampai berhenti
x
r  = rasio
y
h = tinggi bola semula
2
Diketahui h = 6 dan r = , berarti x = 2
3
dan y = 3,
32
sehingga: S  6 
= 30 m
32
LATIHAN SOAL
1. UN 2004
21
Nilai  (5n  6)  ....
n2
a. 882
b. 1.030
c. 1.040
2. Ebtanas 2000
d. 1.957
e. 2.060
k
3
k 1 x  1
5
Nilai x yang memenuhi persamaaan 
adalah ….
a. –1 atau 1
b. –2 atau 2
c. –3 atau 3
2
d. –4 atau 4
e. –5 atau 5
4
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
3. Ebtanas 2000
Suku kedua dari suatu deret aritmetika adalah 5.
Jika jumlah suku ke-4 dan suku ke-6 sama dengan
28, maka suku ke-9 adalah ....
a. 19
d. 26
b. 21
e. 28
c. 23
4. Ebtanas 2000
Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika
jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku
deret itu adalah ....
a. 17
d. 23
b. 19
e. 25
c. 21
5. Barisan (2k + 25), (–k + 9), (3k + 7), ... membentuk
suatu barisan aritmetika. Jumlah 5 suku pertama
deret tersebut adalah ....
a. 1
d. 4
b. 2
e. 5
c. 3
6. Ebtanas 1998
Jumlah deret aritmetika 2 + 5 + 8 +…+ k = 345,
maka k = .…
a. 15
d. 46
b. 25
e. 47
c. 44
7. Ebtanas 1994
Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + … + 99.
Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis
dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ….
a. 950
d. 1.980
b. 1.450
e. 2.430
c. 1.930
8. Ebtanas 2001
Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah
Sn = n2 +
adalah ....
a. –5 1
2
b. –2
5
n . Beda dari deret aritmatika tersebut
2
d. 2 1
2
e. 5 1
2
c.
2
9. UN 2008
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret
aritmetika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah
delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ...
a. 100
d. 160
b. 110
e. 180
c. 140
10. UN 2007
Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36,
jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah
sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….
a. 840
d. 630
b. 660
e. 315
c. 640
5
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
11. Dari deret aritmetika diketahui
U6 + U9 + U12 + U15 = 20, maka S20 = ….
a. 50
d. 200
b. 80
e. 400
c. 100
12. UN 2006
Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya
membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sekarang
usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun,
maka jumlah usia kelima orang anak tersebut 10
tahun yang akan datang adalah ….
a. 95 tahun
d. 140 tahun
b. 105 tahun
e. 145 tahun
c. 110 tahun
13. UN 2005
Seorang anak menabung di suatu bank dengan
selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada
bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua
Rp. 55.000,00 bulan ketiga sebesar Rp. 60.000,00
dan seterusnya. Besar tabungan anak itu selama dua
tahun adalah ....
a. Rp. 1.315.000,00 d. Rp. 2.580.000,00
b. Rp. 1.320.000,00 e. Rp. 2.640.000,00
c. Rp. 2.040.000,00
14. UN 2008
Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang
masing-masing potongan membentuk deret
aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm
dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang
tali semula adalah ….
a. 5.460 cm
d. 1.352 cm
b. 2.808 cm
e. 808 cm
c. 2.730 cm
15. Ebtanas 2000
Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan
geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku
keempat barisan tersebut adalah ....
a. 24
d. 38
b. 30
e. 42
c. 34
16. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri.
Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya 26,
maka rasio deret adalah ....
a.
b.
c.
1
3
1
3 atau –
3
3 atau
1
2
1
e. 2 atau
2
d. 3 atau
3 atau 2
17. UN 2008
Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6
dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku
pertama deret tersebut adalah ....
a. 368
d. 379
b. 369
e. 384
c. 378
6
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
18. UN 2004
Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap
hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk
barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua
adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3 95 cm,
maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama
pengamatan adalah ….
a. 1 cm
d. 1 79 cm
b. 1 13 cm
e. 2 14 cm
c. 1 12 cm
19. UN 2006
Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri
adalah 93 dan rasio deret itu 2. Hasil kali suku ke-3
dan ke-6 adalah ....
a. 4.609
d. 768
b. 2.304
e. 384
c. 1.152
20. UAN 2002
Sn = 2n+1 – 2 adalah jumlah n buah suku pertama
dari suatu deret, dan Un adalah suku ke-n deret
tersebut. Jadi, Un = ….
a. 2n
d. 3n – 1
n–1
b. 2
e. 3n – 2
n
c. 3
21. UN 2007
Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp
80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi
3
dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah
4
dipakai 3 tahun?
a. Rp 20.000.000,00 d. Rp 35.000.000,00
b. Rp 25.312.500,00 e. Rp 45.000.000,00
c. Rp 33.750.000,00
22. UN 2005
Seutas tali dipotong 7 bagian dan panjang masingmasing potongan membentuk barisan geometri. Jika
panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm
dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan
384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah ....
a. 378 cm
d. 762 cm
b. 390 cm
e. 1.530 cm
c. 570 cm
23. Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 12 dan
suku keduanya –5 13 , maka salah satu suku pertama
deret itu ....
a. 13
d. 16
b. 14
e. 17
c. 15
24. UN 2006
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan
memantul kembali dengan ketinggian 34 kali tinggi
sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti.
Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….
a. 65 m
d. 77 m
b. 70 m
e. 80 m
c. 75 m
7
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika
8
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
Sukses Ujian Nasional Matematika