px cosb±kxsina=y 33 SKETSA GRAFIK FUNGSI

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
y = a sin kx ± b cos px
Teguh Wibowo
Jurusan Pendidikan Matematika
FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Grafik fungsi trigonometri y = a sin kx + b cos px dapat dilukis
dengan menjumlahkan secara aljabar nilai ordinat y = a sin kx dan
y = b cos px untuk setiap nilai x pada selang yang ditentukan. Grafik
fungsi trigonometri y = a sin kx b cos px lebih mudah diselesaikan apabila diubah dalam bentuk y = a sin kx + ( b cos px ) . Grafik y = b cos px
dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik y = b cos px terhadap
sumbu x. Menggunakan prinsip yang sama yaitu dengan menjumlahkan
setiap nilai dari y = a sin kx dan y = b cos px dapat dilukis grafik fungsi
trigonometri y = a sin kx b cos px .
Kata kunci : grafik, fungsi trigonometri
Pendahuluan
Sketsa grafik fungsi trigonometri telah dipelajari di SMA, yaitu
akan
mengalami
kesulitan
jika
menemui soal-soal seperti ini.
fungsi y = a sin kx dan y = b cos px
Oleh karena itu, tulisan ini
dengan a, b, k dan p suatu konstanta.
sengaja diturunkan untuk mem-bahas
Untuk fungsi y = a sin kx ± b cos px
secara praktis sketsa grafik fungsi
materi ini di luar silabus kurikulum
trigonometri
matematika
SMA.
Kurikulum
y = a sin kx ± b cos px
matematika SMA tahun 2004 sesuai
dengan a, b, k dan p suatu kons-tanta.
dengan konsep KBK, tidak secara
Materi
eksplisit
sebagai bahan pengayaan oleh guru
menje-laskannya.
Siswa
ini
dapat
dipergunakan
matematika SMA berkaitan dengan
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
33
sub pokok bahasan grafik fungsi
trigonometri,
sehingga
Fungsi Trigonometri
wawasan
Misalkan lingkaran
satuan
siswa dan guru semakin bertambah.
dengan persamaan x2 +y2 =1 berpu-sat
Bagi mahasiswa pendidikan mate-
di titik asal sistem koordinat dengan
matika dapat dipergunakan untuk
radius 1 (gambar 1). Jika titik P(x,y)
memperdalam materi grafik fungsi
terletak
trigonometri
kuliah
satuan dan titik (1,0) dinyatakan
trigonometri. Kita awali tulisan ini
dengan A, maka akan terdapat
dengan fungsi trigonometri.
bilangan positif θ . Panjang busur
pada
mata
AP
di
yang
berlawanan
sembarang
diukur
jarum
lingkaran
menurut
jam
arah
dari
A
sepanjang lingkaran satuan adalah θ .
Perhatikan gambar berikut.

x2 + y2 = 1
y

P(x,y)
y

x

’
P
?
x

A



Gambar 1
34 Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y  a sin kx  b cos px

Keliling lingkaran adalah 2 π ,
sehingga jika
θ > 2π
diperlukan
Hubungan fungsional ini dinama-kan
fungsi
trigonometri,
dimana
θ
untuk
merupakan domain fungsi dalam
menelusuri busur AP. Apabila θ = 0
radian atau derajat, sedangkan y atau
,maka P = A.Untuk θ > 0 (dengan
x adalah range dari fungsi.
lebih
dari
satu
putaran
memutar berlawanan jarum jam) kita
akan mendapatkan sembarang titik
P(x,y) demikian juga jika
θ<0
(dengan memutar searah jarum jam)
maka akan diperoleh pula sembarang
Grafik Fungsi Sinus dan Cosinus
Untuk
menggambar
grafik
fungsi y = sin θ dan y = cos θ , kita
ingatkan bahwa daerah hasil kedua
titik P(x,y) pada lingkaran satuan.
fungsi ini adalah selang  1,1 . Grafik
Pada lingkaran satuan di atas, untuk
fungsi sinus dan cosinus terletak
seti-ap nilai θ (busur dimana terdapat
antara garis mendatar y = 1 dan y = –
titik P(x,y) pada lingkaran) maka
1. Nilai
sin θ dan cos θ untuk
nilai sin θ ditunjukkan oleh y (PP' ) ,
beberapa
sudut
sedangkan nilai cos
diketahui. Dari nilai-nilai ini dapat
ditunjukkan
oleh x (OP' ) .
istimewa
telah
digambar fungsi sinus y = sin θ dan
cosines y = cos θ berikut.
Definisi:
Misalkan θ menentukan titik P(x,y)
seperti ditunjukkan pada gambar 1
Maka sin θ = y cos θ = x
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
35
y

y = sin ?




 
 



?
y = cos ?


Gambar 2
Daerah asal fungsi sinus dan
cosinus
adalah
selang
[0,2π] .
Perhatikan bahwa grafik fungsi sinus
dan cosinus mempunyai sifat
mengulang, sehingga kedua fungsi
tersebut dinamakan fungsi periodik.
Grafik fungsi sinus dan cosinus akan
kembali seperti semula setelah 2 π ,
dengan kata lain periode fungsi
tersebut adalah 2 π . Karena sifat
keperiodikannya, grafik fungsi sinus
dan cosinus dapat digeser ke kiri
maupun ke kanan. Grafik yang
dihasilkan seperti tampak pada
gambar 2 yaitu untuk  dalam selang
 2 ,2  .
Ada beberapa hal yang dapat di
ketahui dari grafik pada gambar 2:
1. Daerah
hasil sin θ
dan
cos θ
berkisar antara –1 sampai 1.
2. Kedua
grafik
mempunyai
amplitudo 2 .
3. Amplitudonya 1, yang didapat dari
½ x (nilai max – nilai min).
4. Grafik y = sin θ simetris terha-dap
titik asal dan y = cos θ simetris
terhadap sumbu y.
5. Grafik y = sin θ sama seperti
y

= cos θ, tetapi digeser 2 satuan
ke kanan.
6. y = sin θ merupakan fungsi ganjil
karena sin (-θ) = sin θ, sedangkan
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
35
y = cos θ merupakan fungsi genap
karena
riode
cos( )  cos .
bahwa:
2π .
k
Dapat
disimpulkan
Grafik fungsi y = a sinkx dengan
Grafik Fungsi Sinus y = a sin kx
a
≠ 0 dan k > 0 mempunyai amplitudo |
Grafik fungsi y = sin x (huruf x
a | dan periode 2
sebagai ganti dari  ) mempunyai
amplitudo 1 dan periode 2 π . Fungsi
Sebagai
k
contoh
gambarlah
y  2 sin 3x
untuk
y = a sin x dengan a suatu konstanta
grafik
dan a ≠ 0, nilai dari y = a sin x ada-
 2  x  2 .
Diketahui
bahwa
y = sin x . Sehingga
amplitudo 2 dan periodenya adalah
grafik y = sin x mempunyai ampli-
2 = 120o. Sehingga nilai mak3
lah a kali nilai
tude | a | dan periodenya
2π .
simum suatu fungsi adalah 2 dan nilai
Sedangkan grafik y = a sin kx dengan
minimum adalah –2. Grafik akan
a, k suatu konstanta a ≠ 0 dan k > 0
mempunyai amplitude
kembali seperti semula setelah 2
| a | dan pe-
atau 120o.
Perhatikan grafik berikut.
y

y = sin x

  


  
 

 

x

y = 2 sin 3 x

Gambar 4
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
37
3
Bagaimana jika nilai a negatif?
1
Contoh: sketsa grafik y  2 sin x
2
untuk  2  x  2 . Amplitudo fungsi
y = 2 sin
1
x
2
adalah
2
dengan
periode 4 π , Artinya siklus fungsi
y = 2 sin
1
x dalam selang
2
atau dalam selang yang panjangnya
4π .
y = 2 sin
Grafik
diperoleh me- lalui
1
x
2
dapat
pencerminan
1
grafik y = 2sin x terhadap sumbu x.
2
Grafik ini ditunjukkan pada gambar
5.
[0,4π]
y
y

 2 s in
1
2
x

y

2 s in
1
2
x

y = sin x
  
    
 
  
 

   
 
x
 
 
Gambar 5
y = b cos px
Grafik Fungsi Cosinus
sehingga
y = b cos px
mempunyai amplitudo | b | dan
Seperti halnya pada fungsi
y = a sin kx , sketsa grafik fungsi
y = b cos px
dengan
b0
dan
p  0 dapat dikembangkan dengan
konsep yang sama. Fungsi y = sin x
dan
y = cos x
amplitudo
1
dan
mempu-nyai
periode
2 ,
periode
fungsi
2
p
.Diperoleh
kesim-
y = b cospx
dengan
pulan bahwa:
grafik
fungsi
b  0 dan p  0 mempunyai ampli-
tudo
| b | dan periode 2
p
.
Contoh:
2 Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y  a sin kx  b cos px
Gambarlah grafik fungsi
untuk
 2  x  2 .
y = 3 cos 2 x
nilai minimumnya –3. Grafik akan
Diketahui
mengalami
bahwa amplitudo y = 3 cos 2x adalah
3 dan periodenya 2
siklus
atau
kembali
seperti semula setelah  atau 180o.
2 atau  . Jadi
nilai maksimum fungsi adalah 3 dan
y

y = 3cos2x


 
  

 
 

 

x

y = cos x


Gambar 6
Grafik
fungsi
trigonometri
y = a sin kx + b cos px dengan a, b, k,
Jika nilai b negatif, grafik
dan
p
suatu
konstanta
dapat
y  b cos px dapat diperoleh de-
dikonstruksi melalui pengembangan
ngan
grafik
39
sumbu x.
konsep dari grafik fungsi trigono-
Amplitudonya adalah | -b | = b dan
adalah pertama kita sketsa dulu grafik
periodenya 2
y = a sin kx pada sistem koordinat,
mencerminkan
y  b cos px
Grafik
terhadap
p
.
Fungsi
y = a sin kx + b cos px
metri yang kita pelajari. Caranya
kemudian
Trigonometri
kita
lukis
grafik
y = b cos px pada sistem koordinat
yang
sama
pula.
Grafik
2 Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y  a sin kx  b cos px
y = a sin kx + b cos px dapat dilu-kis
ngan menjumlahkan nilai ordinat
dengan menjumlahkan setiap nilai
y = sin 2 x dan y = 2 cos 3x untuk
dari y = a sin kx dan y = b cos px .
setiap
Contoh: Sketsa grafik trigono-
 2  x  2 . Misal untuk nilai x =
metri y = sin 2x + 2 cos 3x untuk
OA1, maka ordinat A1D1 dari fungsi
 2  x  2 !
y = sin 2x + 2 cos 3x
Penyelesaian:
jumlah aljabar ordinat A1B1 dari
Mula-mula
dulu grafik
lukislah
nilai
x
y = sin 2 x
terlebih
y = sin 2 x , grafik ini
dan
pada
selang
meru-pakan
A1C1
dari
y = 2 cos 3x .
mempunyai amplitudo 1 dan periode 
Jadi A1D1 = A1B1 + A1C1
atau 180o. Kemudian lukislah grafik
Demikian pula A2D2 = A2B2 + A2C2,
y = 2 cos 3x , dengan ampli-tudo 2
A3D3 = A3B3 + A3C3 dan seterusnya.
dan
periodenya
120o.
y = sin 2x + 2 cos 3x
Gambar 7 merupakan sketsa dari
Grafik
y = sin 2x + 2 cos 3x .
fungsi
diperoleh dey

D2
y = 2cos 3x
B3
A3

 

C2

B2

A2  
y  sin 2 x  2 co s 3 x
y=sin2x
A1
 
B1

 


D3
C3
C1
D1


Gambar 7
40 Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y  a sin kx  b cos px
x
Untuk diingat bahwa nilai
Fungsi y = b cos px diubah menjadi
ordinat di atas sumbu x adalah positif
y  b cos px , kemudian dijumlah-
sedangkan di bawah sumbu x adalah
kan dengan nilai fungsi y = a sin kx .
negatif.
Contoh: Untuk  2  x  2 !
Nilai
ordinat
dari
y = sin 2x + 2 cos3x bergantung pada
nilai nilai ordinat y = sin 2 x dan
Sketsalah y = 2 sin
1
x
2
cos 2x ,
y = 2 cos 3x apakah bernilai positif
atau negatif. Hasil penjum-lahannya
untuk setiap nilai x terluhat pada
gambar
7.
Konsep
dikembangkan
ini
pula
dapat
untuk
menggambar grafik fungsi trigonometri
yang
lain
berbentuk
y = a sin kx + b cos px
atau
Penyelesaian:
Lukislah terlebih
Pertanyaan selanjutnya ada-
1
y  2 sin x , grafik ini mempu-nyai
2
amplitudo 2 dan periode 4 . Fungsi
1
y = 2sin x cos2x
2
dalam bentuk:
dapat
fungsi
mencerminkan
berbentuk
Grafik
fungsi
y = a sinkx bcospx dapat diselesaikan dengan menggunakan algo-ritma
yang
sama
seperti
diubah
fungsi
diperoleh
y = cos 2 x
terhadap sumbu x. Amplitudo fungsi
y = cos 2x
adalah
1
dan
periodenya  atau 180 . Langkah
o
selanjutnya
menggambar
analogi
y = sin 2x + 2 cos3x .
mudah diselesaikan kita ubah dulu
merupakan
fungsi y = a sinkx bcospx ke dalam
y = 2 sin
y = a sin kx + ( b cos px ) .
dengan
grafik
y = a sin kx + b cos px . Agar lebih
bentuk
dapat
1
x + ( cos 2 x ) . Kemu2
dian dilukis grafik y = cos 2x yang
lah bagaimana menggambar grafik
y = a sinkx b cospx ?
grafik
y = 2 sin
y = a cos kx + b sin px .
trigonometri
dulu
1
x
2
seperti
grafik
Gambar
sketsa
8
grafik
cos 2x .
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
41
y

1
y  2 s in
2
D1
x  cos 2 x
B2

B1
y   cos 2 x
C1

D2
A1
 
  

  
A2
 


y  2 s in
1
2
 
x

C2
x


Gambar 8
dilukis
dengan
melakukan
bangkan pula untuk menggambar
pengembangan
dari
konsep
grafik fungsi trigonometri ber-bentuk:
y = a sin kx + b cos px . Pertama di-
y  a sinkx  b cos px ,
lukis grafik y = a sin kx , kemudian
y  asinkxbcospx,
y = b cos px yang dapat diperoleh
y  a sin kx  b sin px ,
dengan
Konsep yang sama dikem-
y  a cos kx  b cos px
dan
seba-
gainya.
dapat
y = b cos px
Grafik
diperoleh
Penutup
Sketsa grafik fungsi trigonometri y = a sinkx+ bcospx dapat dilu-kis
dengan menjumlahkan nilai ordinat
dari y = a sin kx dan y = b cos px ,
mencerminkan
terhadap
sumbu
y =asinkx bcospx
dengan
grafik
dapat
menjumlahkan
setiap nilai dari y = a sin kx
dan
y = b cos px . Dari konsep ini dapat
dikembangkan
pula
untuk
menggambar grafik fungsi trigonometri yang lain.
untuk setiap nilai x pada selang
yang
ditentukan.
Sedang
grafik
x.
Daftar Pustaka
y = a sinkx b cospx
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
1
Connelly, James F and Robert A.
Fratangelo. 1980. Precalculus Mathematics A Functional Approach. New York:
Macmillan Publishing Co. ,
Inc.
Iskandar, Sidarto. 1980. Trigonometri.
Semarang:
IKIP
Semarang
Kartini, dkk. 2004. Matematika XB.
Klaten: Intan Pariwara
Nasoetion, Andi
Matematika
Hakim. 1993.
2.
Jakarta:
Departemen Pendidikan dan
Kebudayaan
Robert, A. Wayne. 1968. Introductory Calculus. New York:
Academic Press
Schwartz, Abraham. 1960. Analy-tic
Geometry and Calculus. New
York: Holt, Rinehart and
Winston, Inc.
Vance, Elbridge P. 1963. Modern
Algebra and Trigonometry.
Massachusetts:
AddisonWesley Publishing Compa-ny,
Inc.
Teguh Wibowo:Sketsa Grafik Fungsi Trigonometri y = a sin kx ± b cos px
43