logika ekslusive - Raja Matematika

E-LOGIC
Nama : Eko Budi Pranyoto
Nim : 10004148
Abstrak
Logika merupakan hal sangat penting dalam matematika. Hampir semua bidang
dalam matematika dimulai dari logika. Sebagian besar perkembangan matematika seperti teori
himpunan, analisis real, teori bilangan, struktur aljabar, kalkulus dan lain-lain berasal dari
logika inclusife, sedangkan dalam logika eksclusif belum ada yang meneliti secara jauh
bagaimana efek dari logika eksklusif bila diterapkan dalam matematika. Logika ekslusif ini
memiliki nilai kebenaran “salah” apabila ada dua pernyataan memiliki nilai kebenaran sama
dan memiliki nilai kebenaran “benar” untuk yang lain. Hal yang paling pokok jika kita ingin
mengubah cara pandang matematika menggunakan logika eksklusive maka kita harus
mengetahui perubahan utama dalam teori himpunan terlebih dahulu Dimulai dari dasar
tersebut dapat diperoleh sebagai contoh yakni bila diterapkan dalam operasi pada himpunan
misalnya gabungan, irisan, pengurangan, penjumlahan dan operasi lain dalam himpunan.
Penggunaan logika eksklusif ternyata memberikan dampak yang luar biasa terutama bila
operasi tersebut berhubungan dengan disjungsi.
Keyword : logika, ekslusif, e-logic
A. Latar Belakang
Perkembangan
teknologi
semakin
pesat
menjadikan
ilmu-ilmu
diberbagai bidang ikut berkembang. Perkembangan ilmu teknologi tidak dapat
dipungkiri ditunjang oleh ilmu-ilmu lain yang mendukung misalnya
matematika , fisika, kimia, biologi dan lain-lain. Salah satu cabang ilmu
matematika yang digunakan dalam perkembangan Ilmu Teknologi (IT) yakni
logika matematika. Logika matematika adalah hal yang sangat penting dan
fundamental baik dalam matematika itu sendiri ataupun dijadikan sebagai
bahasa pemprograman dalam IT.
Ada beberapa jenis logika matematika diantaranya yakni logika
inclusife dan logika eksklusife. Matematika pada umumnya yang kita pelajari
saat ini berpangkal pada logika inclusif. Logika inklusif ini sudah berkembang
dan diterapkan dalam cabang matematika
1
misal di teori himpunan, analisis real, struktur aljabar, kalkulus dan lain-lain.
Karena aliran logika inklusif sering digunakan sehingga aliran logika ekslusif
menjadi asing dan jarang ditelinga kita. Pada aplikasinya penggunaan bahasa
pemprograman logika eksklusif ini sudah dipakai namun masih sedikit,karena
belum berkembang dalam dunia matematika.
Berbagai buku matematika baik sumber dalam negeri atau pun luar
negeri masih sangat minim untuk mencari tahu bagaimana perkembangan
logika ekslusif ini. Bahkan dalam beberapa sumber menyebutkan hanya
sepenggal pengertian logika ekslusif dan tak ada keterangan lain yang
menjelaskanya. Hal ini menjadikan motivasi saya untuk meneliti bagaimana
efek di matematika bila dikembangan dengan menggunakan logika ekslusif.
Oleh sebab itu sebelum memasuki ranah berbagai cabang matematika yang
bekerja menggunakan logika ekslusive, alangkah baiknya meneliti yang paling
awal dan dasarnya terlebih dahulu yakni bagaimana efek yang terjadi dalam
teori himpunan bila bekerja mengggunakan sudut pandang logika matematika
aliran ekslusif.
B. Rumusan Masalah
1. Apakah logika ekslusif itu?
2. Bagaimana efek dari logika eksklusif jika diterapkan dalam teori
himpunan?
C. Kajian Teori
Adalah tidak asing bila kita mendengar kata logika, namun apakah
logika di matematika sama dengan logika dalam kehidupan sehari – hari?
Dalam kajiannya kata logika diartikan sebagi menurut akal atau nalar. Akan
tetapi logika sebagai istilah mengandung makna suatu metode atau teknik
yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu
pentuk pemikiran. Oleh sebab itu muncul berbagi macam pemikiran pemikiran. Berawal dari munculnya baerbagai pemikiran maka terbentuklah
2
berbagai jenis aliran logika. Contoh tidak lain yang sering kita temui
diantaranya logika simbolik, logika tradisional, logika induktif. Perkembangan
matematika memang tidak lepas dari berbagai macam logika tetapi yang
mendominasi di dalamnya adalah logika simbolik.
Logika simbolik di sini lebih dikenal disebut logika proposisional.
Logika proposisional adalah logika yang mengunakan pernyataan– pernyataan
sehingga dapat ditarik suatu konklusi melalui silogisme hipotetik. Dalam
sistemnya logika proposisional ini memiliki suatu perantara untuk
menghubungkan proposisi satu dengan yang lain. Perantara ini memiliki
nama, simbol, penggunaan yang berbeda.Adapun konjungsi (∧), disjungsi (∨),
implikasi (→), dan biimplikasi (↔).
Dalam sistemnya masing-masing memiliki nilai kebenaran yang
berbeda pula yang disepakati dan digunakan. Pada umumnya sistem yang
digunakan
menggunakan
logika
inklusif.
Sehingga
matematika
pun
menggunakan logika ini sebagai pangkal dan sudut pandang dalam
perkembangan dirinya.
Sebenarnya ada jenis lain logika dan serupa dengan logika inklusif
yang bisa digunakan untuk mengembangkan matematika yakni logika
ekslusif. Logika ini sangat asing dikarenakan para matematikawan sudah
terpengaruh dan merasa nyaman dengan logika inklusif. Ini menyebabkan para
matematikawan enggan untuk menggunakannya. Memang dilihat dari nilai
kebenaran tidak jauh beda dengan nilai kebenaran yang ada dalam logika
inklusif. Perbedaannya hanya terletak pada nilai kebenaran disjungsi. Dalam
disjungsi eksklusif kita dapat melihat kejadian sehari-hari contoh misalnya
dalam hari dan waktu yang sama diberi pilihan mau mengikuti studytour ke
Hawai atau mengikuti ujian CPNS di Jakarta. Adalah pilihan yang sangat
sulit tak mungkin bisa mengikuti keduanya dalam waktu yang sama. Ini
adalah contoh real logika eksklusif berbeda dengan logika inklusif.Meskipun
perbedaannya terlihat sangat sepele namun ini akan berdampak besar dalam
cabang ilmu matematika lain. Misalnya dimulai dari teori himpunan , analisis
real, struktur aljabar, kalkulus dan lain – lain.
3
Matematika merupakan foundation bagi berbagai ilmu. Matematika
memfasilitasi ilmu lain untuk berkembang. Untuk memfasilitasin tersebut
matematika perlu dikembangan dari berbagi sudut pandang agar dapat
memenuhi kebutuhan ilmu lainya. Perkembangan teknologi saat ini juga
merupakan berkat matematika salah satunya adalah
logika. Dalam ilmu
teknologi, logika sangat perperan penting baik secara langsung atau tidak
langsung dalam pemrograman perangkat lunak. Untuk mengantisipasi hal
tersebut maka perlu dikembangkanya trobosan baru mengenai logika eksklusif
sebab pemrograman saat ini yang diaplikasikan menggunakan logika inklusif.
Tidak menutup kemungkinan logika ekslusif akan digunakan jika matematika
memfasilitasinya.
D. Pembahasan .
a) Simbol dan Pengertian E-Logic (Logika Ekslusif)
Dibawah ini beberapa simbol yang digunakan dalam logika
ekslusif
Tabel 1.1
Simbol
Baca
Contoh
¬
Negasi
∧∈
Konjungsi
∨∈
Disjungsi
→∈
Implikasi Eksklusif
↔∈
¬‫݌‬
Ekslusif
(dan dalam e-logic)
Eksklusif
(atau dalam e-logic)
Negasi p / Ingkaran
p
‫ݍ ∈∧ ݌‬
p dan q
‫ݍ ∈∨ ݌‬
p atau q
‫ݍ →݌‬
Jika p maka q
‫ݍ ↔݌‬
Biimplikasi Eksklusif
Cara membaca
p jika dan hanya jika
q
Selain itu untuk menyatakan nilai kebenaran dalam tabel pernyataan benar
= “B “dan untuk pernyataan salah = “S”.
4
Pengertian E-Logic
E-logic berasal dari kata exsclusive or jika diartikan dalam bahasa
Indonesia “atau” yang digunakan secara eksklusif . Dalam logika
matematika “atau” sering disebut dengan disjungsi. Yang membedakan
antara logika eksklusif dan logika inklusif terletak pada nilai kebenaran
pada disjungsinya. Disjungsi dalam logika inklusif memiliki nilai
kebenaran “benar” jika salah satu proposisi (pernyataan) bernilai benar
atau keduanya benar serta bernilai “salah“untuk yang lain sedangkan
dalam logika eksklusif memliki nilai kebenaran “salah” bila kedua
proposisi memliki nilai sama dan bernilai “benar” untuk yang lain. Lihat
tabel kebenaran pembanding berikut.
Tabel 1.2
P
Q
ࡼ ∨ ࡽ(disjungsi
inklusif)
ࡼ ∨∈ ࡽ(disjungsi ekslusif)
B
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
b) Definisi-definisi yang Digunakan Dalam E-logic
Definisi 1.1 Misalkan p adalah proposisi.¬ p didefiniskan sebagai
ingkaran p dengan nilai kebenaran jika p bernilai benar maka ingkaran p
bernilai salah atau sebaliknya. Untuk lebih jelas lihat tabel kebenaran
sebagai berikut :
Tabel 1.3
B
¬p
S
B
p
S
Definisi 1.2 Misalkan p dan q adalah proposisi.
5
Konjungsi eksklusif dinotasikan
‫ ݍ ∈∧ ݌‬didefinisikan sebagai ‫ݍ ∧ ݌‬
(konjungsi inklusif) sehingga antara ‫ ݍ ∈∧ ݌‬dan ‫ ݍ ∧ ݌‬memiliki nilai
kebenran sama yakni memiliki nilai kebenaran benar jika keduanya benar
dan bernilai salah untuk yanga lain.
Tabel 1.4
P
Q
ࡼ ∧ ࡽ(disjungsi
inklusif)
ࡼ ∧∈ ࡽ(disjungsi
ekslusif)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
Definisi 1.3 Misalkan p dan q adalah proposisi.Disjungsi eksklusif antara
p dan q dinotasikan ‫ ݍ ∈∨ ݌‬didefinisikan memiliki nilai kebenaran “benar”
jika kedua proposisi memiliki nilai kebenaran berbeda serta memiliki nilai
kebenaran yang salah untuk yang lain.
Tabel 1.5
P
Q
ࡼ ∨∈ ࡽ(disjungsi
inklusif)
B
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Definisi 1.4 Misalkan p dan q adalah proposisi.Implikasi eksklusif antara
p dan q dinotasikan p →∈ q didefinisikan ‫( ݍ → ݌‬implikasi pada inklusif)
memiliki nilai kebenaran “salah” jika proporsi p benar dan q salah serta
memiliki nilai kebenaran yang “ benar” untuk yang lain.
6
Tabel 1.6
P
Q
ࡼ → ࡽ(implikasi
ࡼ →∈ ࡽ(implikasi
inklusif)
ekslusif)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
Definisi 1.5 Misalkan p dan q adalah proposisi.Biimplikasi eksklusif
‫ ݍ ∈↔ ݌‬didefinisikan memiliki nilai
antara p dan q dinotasikan
kebenaran “benar” jika kedua proposisi memiliki nilai kebenaran sama
serta memiliki nilai kebenaran yang salah untuk yang lain.
Tabel 1.7
P
Q
ࡼ ↔ ࡽ(biimplikasi
inklusif)
ࡼ ↔∈ ࡽ(biimplikasi
ekslusif)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
Sama halnya pada logika inklusif dalam logika eksklusif juga terdapat
konvers, invers dan kontraposisi. Adapun nilai kebenarannya sama pada
logika inklusif.
Tabel 1.8
implikasi
࢖
B
ࢗ
B
¬࢖
S
¬ࢗ
S
࢖ →∈ ࢗ
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
konvers
invers
kontraposisi
ࢗ →∈ ࢖ ¬࢖ →∈ ¬ࢗ ¬ࢗ →∈ ¬࢖
B
B
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
7
c) Ekuivalensi (≡), Taotologi ( T )dan Kontradiksi ( K )
Beberapa contoh ekuivalensi, tautologi, kontradiksi dalam logika
inklusif sama dengan di logika eksklusif yang berbeda jika
berhubungan dengan disjungsi ada yang memiliki sifat sama ada yang
berbeda oleh sebab itu contoh berikut berupa disjungsi.
Contoh 1.1:
1) Ekuivalen
¬(ܲ ∨∈ ܳ) ≡ ܲ ↔∈ ܳ untuk lebih jelas lihat bukti dalam tabel
berikut
Tabel 1.9
B
¬(ࡼ ∨∈ ࡽ)
S
ࡼ ↔∈ ࡽ
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
P
Q
B
S
2) tautologi gabungan proposisi yang selalu bernilai benar
Tabel 2.0
B
S
(ࡼ ∨∈ ¬ࡼ)
S
B
B
¬ࡼ
P
B
3) kontradiksi gabungan proposisi yang selalu bernilai salah
Tabel 2.1
B
(ࡼ ∨∈ ࡽ)
B
ࡼ ↔∈ ࡽ
S
(ࡼ ∨∈ ࡽ) ∧∈ ( ࡼ ↔∈ ࡽ)
B
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
S
S
P
Q
B
8
S
Latihan 1.1 Sebagai latihan berikanlah contoh lain dari tautologi,
ekuivalensi dan kontradiksi dengan mengujinya menggunakan
tabel kebenaran.
Dari definisi - definisi diatas mengkibatkan theorema berikut.
Theorema 1.1
Setiap pernyataan p berlaku :
a. Bahwa nilai kebenaran ingkaran p ekuivalen dengan tautologi
didisjungsikan eksklusif terhadap p.
(¬࢖ ≡ ࢀ ∨∈ ࢖)
b. Bahwa nilai kebenaran p didisjungsikan eksklusif terhadap p
akan menghasilkan nilai kebenaran selalu kontradiksi.
(ࡷ = ࢖ ∨∈ ࢖)
Bukti untuk a
B
¬‫݌‬
S
B
(ܶ ∨∈ ‫)݌‬
S
B
B
B
p
T
S
Bukti untuk b
B
‫݌‬
S
(‫)݌ ∈∨ ݌‬
S
B
S
p
S
Tabel 2.2
d) Struktur disjungsi dan konjungsi eksklusif dilihat dari sudut pandang
operasi biner pada ring (lapangan).
Sebelum kita melangkah lebih jauh ke dalam ranah teori himpunan
terlebih dahulu kita teliti struktur disjungsi dan konjungsi dilihat dari
syarat lapanganya. Hal ini perlu kita teliti karena untuk mempermudah
pengggunaaannya dalam teori himpunan.
Misalkan P adalah himpunan semua pernyataan maka apakah
( P, ∨∈ , ∧∈ ) membentuk ring ?
9
Untuk mengetahui hal tersebut maka harus memenuhi aksioma syarat
dari ring yaitu sebagai berikut.
i.
Bersifat komutatif
Ambil sembarang p,q ∈ P akan dibuktikan
p ∨∈ q = q ∨∈ p ,
p ∧∈ q = q ∧∈ p
Bukti
‫݌‬
B
ࢗ
B
p ∨∈ q
S
q ∨∈ p
S
p ∧∈ q
B
q ∧∈ p
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
Tabel 2.3
Dari tabel menunjukkan memiliki sifat yang sama jadi terbukti.
ii.
Bersifat asosiatif
Ambil sembarang p,q dan r ∈ P akan dibuktikan
p ∧∈ (‫……ݎ ∈∧ )ݍ ∈∧݌( = )ݎ ∈∧ݍ‬1
‫……ݎ ∈∨ )ݍ ∈∨݌( = )ݎ ∈∨ݍ( ∈∨ ݌‬2
Untuk yang pertama …1 jelas sudah dibuktikan dalam logika
inklusif. Namun yang perlu dibuktikan yakni yang kedua …2
Bukti
Tabel 2.4
iii.
‫݌‬
ࢗ
࢘
B
B
B
࢖ ∨∈ (ࢗ ∨∈ ࢘) (࢖ ∨∈ ࢗ ) ∨∈ ࢘
p
q
S
∨∈ q
S
∨∈ r
B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
B
Bersifat distributif
10
Ambil sembarang p,q dan r ∈ P akan dibuktikan
p ∧∈ (‫……)ݎ ∈∧݌( ∈∨ )ݍ ∈∧݌( = )ݎ ∈∨ݍ‬1
‫……)ݎ ∈∨݌( ∈∧ )ݍ ∈∨݌( = )ݎ ∈∧ݍ( ∈∨ ݌‬2
Bukti untuk….1
Tabel 2.5
‫݌‬
FB
ࢗ
B
࢘
S
q ∨∈ r
B
࢖ ∧∈ (ࢗ ∨∈ ࢘)
B
S
B
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
Tabel 2.6
(࢖ ∧∈ ࢗ ) ∨∈ (࢖
‫݌‬
ࢗ
࢘
p ∧∈ q
p ∧∈ r
B
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
S
S
S
S
S
S
B
S
S
S
∧∈ ࢗ )
Dari tabel 2.5 dan 2.6 bisa dbuktikan bahwa bersifat distributif
untuk yang pertama kemudian kita buktikan yang kedua.
Tabel 2.7
࢖
B
ࢗ
B
࢘
S
q ∧∈ r
S
࢖ ∨∈ (ࢗ ∧∈ ࢘)
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S
11
B
Tabel 2.8
‫݌‬
B
‫ݍ‬
B
‫ݎ‬
S
p ∨∈ q
S
p ∨∈ r
B
(࢖ ∨∈ ࢗ ) ∧∈ (࢖ ∨∈ ࢗ )
B
S
B
B
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
Ternyata untuk yang kedua tidak terbukti distributif hal ini perlu
digaris bawahi karena sangat penting.
p ∧∈ (ࢗ∨∈ ࢘) = (࢖∧∈ ࢗ) ∨∈ (࢖∧∈ ࢘)……1 terbukti
࢖ ∨∈ (ࢗ∧∈ ࢘) = (࢖∨∈ ࢗ) ∧∈ (࢖∨∈ ࢘)……2 tidak terbukti
Memiliki elemen identitas K untuk setiap p ∈ P , maka
iv.
(‫݌=)ܭ ∈∨݌‬, dan elemen identitas T untuk setiap p ∈ P, maka
(‫݌=)ࢀ ∈∧݌‬,
Memiliki invers terdapat p untuk setiap p ∈ P yang memenuhi
v.
(‫ܭ=)݌ ∈∨݌‬
Baik untuk sementara itu dulu kita akan lanjutkan ke ranah teori
himpunan
e) Efek dari logika Eksklusif dalam Teori Himpunan.
1) Irisan
Definisi 1.6
ܵ = ܵ݁݉ ‫ܽݑ‬ℎ݅݉ ‫݊ܽ݊ݑ݌‬,
‫ܣ‬, ‫ܵ ∈ ܤ‬, ݉ ܽ݇ܽ‫⊘≠ }࡮ ∈ ࢞ ∈∧ ࡭ ∈ ࢞|ࡿ ∈ ࢞{ = ܤ ∈∩ ܣ‬
Tidak berimbas karena masih menggunakan konjungsi
2) Gabungan
Definisi 1.7
ܵ = ‫ܽݑ ݉݁ݏ‬ℎ݅݉ ‫݊ܽ݊ݑ݌‬,
‫ܣ‬, ‫ܵ ∈ ܤ‬, ݉ ܽ݇ܽ‫∪ ܣ‬ఢ ‫}࡮ ∈ ࢞ ∈∨࡭ ∈ ࢞|ࡿ ∈ ࢞{ = ܤ‬
12
‫ ⊘≠ ܤ ∈∩ ܣ‬pada diagram venn terlihat sebagai berikut
Hal ini jelas berbeda dengan gabungan versi logika inklusif( ( ini
merupakan produk baru dalam e- logic) .
3) Selisih
Definisi 1.7
ܵ = ܵ݁݉ ‫ܽݑ‬ℎ݅݉ ‫݊ܽ݊ݑ݌‬,
‫ܣ‬, ‫ܵ ∈ ܤ‬, ‫ ܣ‬− ‫{= ܤ‬x ߳S | x ߳A dan x ∉ B}
Himpunan selisih A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya
merupakan elemen A tetapi bukan elemen dari B.
4) Komplemen dan selisih
Definisi 1.8
ܵ = ‫ܽݑ ݉݁ݏ‬ℎ݅݉ ‫݊ܽ݊ݑ݌‬, komplemen dari A disinotasikan dengan
AC dan elemen – elemenya terdapat pada S tetapi bukan elemen di
A. AC = {x ߳S | x ∉ A}
daerah yangdiarsir merupakan AC
Definisi 1.9
Selisih A dan B dinotasikan dengan A – B dan elemen –elemenya
terdari dari elemen A tetapi bukan elemen B
13
A – B = {x ߳A ∧∈ x ∉ B}
5) Simetrik diferensi
Biasanya sering di sebut beda setangkap, simetric diferensi dari A
dan B disimbolkan A ∆∈ B
Definisi 2.0
A ∆∈ B = {࢞|࢞ ∈ ‫ܤ ∈∩ ܣ‬, ‫∪ ܣ ∉ ݔ‬ఢ ‫ }ܤ‬dapat juga di maknai (AB) ∪ఢ( B-A)
Dalam logika eksklusif ini akan menjadi unik karena simetric
diferensi sama dengan irisan/gabungan.
Contoh Soal
Diketahui S = {૚, ૛, ૜, ૝, ૞}, A = {૚, ૛, ૜, ૝} , B = {૛, ૞} tentukan A ∪ࣕ
B!
Jawab :A ∪ࣕ B = {࢞ ∈ ࡿ|࢞ ∈ ࡭∨∈ ࢞ ∈ ࡮} kita cek satu – persatu
elemen dari S
1.{૚ ∈ ࡿ|૚ ∈ ࡭∨∈ ૚ ∈ ࡮} , nilai kebenarannya yakni benar atau
salah = benar jadi 1 elemen dari A ∪ఢ B.
14
2. {૛ ∈ ࡿ|૛ ∈ ࡭∨∈ ૛ ∈ ࡮} , nilai kebenarannya yakni benar atau
benar = salah jadi 2 bukan elemen dari A ∪ఢ B.
3. {૜ ∈ ࡿ|૜ ∈ ࡭∨∈ ૜ ∈ ࡮} , nilai kebenarannya yakni benar atau
salah = benar jadi 3 elemen dari A ∪ఢ B.
4. {૝ ∈ ࡿ|૝ ∈ ࡭∨∈ ૝ ∈ ࡮} , nilai kebenarannya yakni benar atau
salah = benar jadi 4 elemen dari A ∪ఢ B.
5. {૞ ∈ ࡿ|૞ ∈ ࡭∨∈ ૞ ∈ ࡮} , nilai kebenarannya yakni salah atau
benar = salah jadi 5 elemen dari A ∪ఢ B. Jadi A ∪ఢ B ={૚, ૜, ૝, ૞}
Jika A merupakan bagian dari S (Himpunan semua pernyataan) ,
buktikan bahwa A ∪ࣕ A= ∅?
Jawab :
Menurut theorema 1.1b jelas
bahwa untuk setiap p pernyataan
akan menghasilkan kontradiksi sehingga tidak ada anggota dari A
∪ࣕ A maka A ∪ࣕ A= ∅
Latihan 1.2
1) Diberikan semesta pernyataan S = {1,2,3…..,10} ,
P = { Bilangan prima kurang dari 10}
Q ={Bilangan ganjil kurang dari 10}. Tentukan :
a) P ∪ࣕ Q
b) S ∪ࣕ Q
c) Q ∪ࣕ Q
2) Buktikan bahwa : ). ࡭ ⋃۳ ࡮ = ࡮ ⋃۳ ࡭
15
E. PENUTUP
Dari uraian di atas dapat saya simpulkan bahwa E - logic secara umum
sering disebut logika eksklusif yang memiliki kebenaran berbeda dengan
logika inklusif. Perbedaan nilai kebenaran ini akan berpengaruh dalam cara
memandang matematika dari sudut pandang mana ia bekerja.
Pengaruh logika eksklusif dalam teori himpunan meski dilihat sangat
kecil namun efeknya akan besar, dalam hal ini peneliti tidak hanya berhenti di
sini tapi masih berlanjut untuk bahasan selanjutnya sebab ada banyak
fenomena dalam matematika yg pelu dikaji lebih jauh lagi.
F. DAFTAR PUSTAKA
Antonie, Pierre. 2007. Abstrak Algebra. USA : Mathematic:
Depertement University Of California At Berkeley.
Johnstone P.T. 2002. Notes on Logic and_Set Theory. New York : Cambridge
Univercity Press.
Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit . Bandung : Penerbit Informatika.
Soekadijo, R . G. 2001. Logika Dasar (Tradisional, Simbolik, dan Induktif).
Jakarta: Gramedia.
Suppes Patrick. 2000. Axiomatix Set Theory . Canada : D Van Nostran
Company.
16