Untai Elektrik I

Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Untai Elektrik I
Untai Orde Tinggi & Frekuensi Kompleks
Dr. Iwan Setyawan
Fakultas Teknik
Universitas Kristen Satya Wacana
Untai 1
Pendahuluan
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Pada bagian sebelumnya, dibahas untai RC dan RL dengan
hanya satu elemen penyimpan energi. Untai seperti ini
diselesaikan dengan persamaan diferensial orde 1.
• Jika terdapat 2 elemen penyimpan energi, persamaan
diferensial yang dihasilkan adalah persamaan orde 2.
• Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh untai orde 2.
Untai 1
Untai RLC seri (1)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Suatu persamaan diferensial orde 2 memiliki solusi yang
dapat memiliki 3 bentuk, masing-masing bergantung pada
elemen-elemen untai.
• Perilaku ini dapat dianalogikan dengan perilaku sistem
mekanik berikut:
Untai 1
Untai RLC seri (2)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Sistem diatas terdiri atas sebuah pegas dengan konstanta
k, sebuah damper dengan konstanta D dan sebuah massa
M.
• Jika massa dipindahkan dari posisi diamnya pada t = 0,
terdapat 3 kemungkinan gerakan yang terjadi:
overdamped, critically damped atau underdamped
(oscillatory ).
• Perilaku diatas bergantung pada M, k dan D.
Untai 1
Untai RLC seri (3)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Bentuk gerakan yang mungkin terjadi ditunjukkan pada
gambar berikut:
Untai 1
Untai RLC seri (4)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
• Untai RLC pada gambar berikut tidak memiliki sumber
tegangan.
RLC paralel
Exercises
• KVL untuk untai ini setelah switch ditutup adalah:
vR + vL + vC = 0
Z
1
di
Ri + L +
idt = 0
dt
C
Untai 1
Untai RLC seri (5)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Dengan menurunkan persamaan terakhir, dan membagi
dengan L, kita peroleh
d 2i
R di
1
+
+
i =0
dt 2
L dt
LC
• Solusi persamaan ini memiliki bentuk i = A1 e s1 t + A2 e s2 t .
• Dengan memasukkan bentuk ini ke persamaan diferensial,
kita peroleh:
1
1
R
R
+A2 e s2 t s22 + s2 +
=0
A1 e s1 t s12 + s1 +
L
LC
L
LC
Untai 1
Untai RLC seri (6)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Dengan kata lain, jika s1 dan s2 merupakan akar-akar
persamaan s 2 + (R/L)s + (1/LC ) = 0, maka
s 1
R
R 2
−
≡ −α + β
s1 = − +
2L
2L
LC
s R
R 2
1
s2 = − −
≡ −α − β
−
2L
2L
LC
• Pada persamaan diatas, α ≡ R/2L, β ≡
√
ω0 ≡ 1/ LC .
q
α2 − ω02 dan
Untai 1
Untai RLC seri (7)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Jika α > ω0 , sistem disebut overdamped.
• Dalam kasus ini, α dan β keduanya merupakan bilangan
real positif.
• Dengan kata lain diperoleh
i = A1 e (−α+β)t + A2 e (−α−β)t = e −αt (A1 e βt + A2 e −βt )
Untai 1
Untai RLC seri (8)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 1:
Sebuah untai RLC seri dengan R = 200 Ω, L = 0.10 H dan
C = 13.33 µF, memiliki muatan kapasitor awal sebesar
Q0 = 2.67 × 10−3 C. Sebuah switch ditutup pada t = 0
sehingga kapasitor dapat mengosongkan diri. Carilah arus
transien.
Untai 1
Untai RLC seri (9)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab:
Pada untai ini diperoleh
R
= 103 s−1
2L
1
ω02 =
= 7.5 × 105 s−2
LC
p
β = α2 − ω 2 = 500 s−1
α=
Jadi
i = e −1000t A1 e 500t + A2 e −500t
Untai 1
Untai RLC seri (10)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Jawab (cont.):
Exercises
Nilai A1 dan A2 ditentukan kondisi awal untai. Elemen induktor
mengharuskan i(0− ) = i(0+ ). Muatan dan tegangan kapasitor
pada t = 0+ harus sama dengan pada t = 0− dan
vC (0− ) = Q0 /C = 200 V. Dari sini diperoleh
0 = A1 + A2
± 2000 = −500A1 − 1500A2
sehingga A1 = ±2 dan A2 = ∓2. Jika diambil A1 positif,
diperoleh
i = 2e −500t − 2e −1500t
Untai 1
Untai RLC seri (11)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Plot arus transien ditunjukkan gambar berikut:
Tanda A1 dan A2 ditentukan oleh asumsi polaritas muatan
kapasitor dan arah arus.
Untai 1
Untai RLC seri (12)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Jika α = ω0 , sistem disebut critically damped.
• Dalam kasus ini, bentuk persamaan diferensial berubah,
dan solusi yang sudah diturunkan diatas tidak berlaku.
• Persamaan diferensial menjadi berbentuk
di
d 2i
+ 2α + α2 i = 0
dt
dt
• Solusi persamaan ini berbentuk i = e −αt (A1 + A2 t).
Untai 1
Untai RLC seri (13)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 2:
Ulangi Contoh soal 1 dengan C = 10 µF, yang akan
menghasilkan α = ω0 .
Untai 1
Untai RLC seri (14)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab:
Sama seperti sebelumnya, kita gunakan kondisi awal untuk
mencari A1 dan A2 . Karena i(0− ) = i(0+ ) maka
0 = A1 + (A2 × 0) dan A1 = 0. Jadi
di
d
=
A2 te −αt = A2 −αte −αt + e −αt
dt
dt
dari sini dapat diperoleh A2 = (di/dt)|t=0+ = ±2000 sehingga
3
i = ±2000te −10 t .
Untai 1
Untai RLC seri (15)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
Jawab (cont.):
RLC paralel
Exercises
Sama seperti sebelumnya, polaritas ditentukan asumsi arah
arus yang disebabkan polaritas tegangan awal kapasitor. Plot
arus transien ditunjukkan pada gambar berikut.
Untai 1
Untai RLC seri (16)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Jika α < ω0 , sistem disebut oscillatory atau
underdamped.
• Dalam kasus ini, s1 dan s2 adalah pasangan kompleks
konjugat, atau s1 = α + jβ dan s2 = α − jβ.
q
• Dalam kasus ini, β ≡ ω02 − α2
• Solusi persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk
i = e −αt A1 e jβt + A2 e −jβt
atau
i = e −αt (A3 cos βt + A4 sin βt)
Untai 1
Untai RLC seri (17)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 3:
Ulangi Contoh soal 1 dengan C = 1 µF, yang akan
menghasilkan α < ω0 .
Untai 1
Untai RLC seri (18)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Jawab:
Exercises
Pada untai ini diperoleh
R
= 103 s−1
2L
1
ω02 =
= 107 s−2
LC
p
β = 107 − 106 = 3000 rad/s−1
α=
Jadi
i = e −1000t (A3 cos 3000t + A4 sin 3000t)
Untai 1
Untai RLC seri (19)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Nilai A3 dan A4 diperoleh dengan memperhatikan syarat awal
i(0+ ) = 0 dan vC (0+ ) = 0. Dari sini diperoleh A3 = 0 dan
A4 = ±0.667. Sama seperti sebelumnya, polaritas ditentukan
asumsi arah arus yang disebabkan polaritas tegangan awal
kapasitor.
Untai 1
Untai RLC seri (20)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Plot arus transien ditunjukkan pada gambar berikut.
Untai 1
Untai RLC paralel (1)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
• Misalkan sebuah untai RLC paralel sebagai berikut:
Exercises
• Respon untai ini akan mirip dengan respon untai RLC seri,
yaitu berupa persamaan diferensial orde 2.
Untai 1
Untai RLC paralel (2)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Menggunakan metode tegangan node diperoleh:
v
1
+
R
L
Z
t
vdt + C
0
dv
=0
dt
(1)
• Dengan menurunkan persamaan diatas dan membagi
dengan C , akan diperoleh
d 2v
1 dv
v
+
+
=0
2
dt
RC dt
LC
• Solusi persamaan ini akan memiliki bentuk:
v = A1 e s1 t + A2 e s2 t
(2)
Untai 1
Untai RLC paralel (3)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
• Pada Persamaan (2),
Exercises
1
s1 = −
+
2RC
1
s2 = −
−
2RC
s
s
1
2RC
2
1
2RC
2
1
−
= −α +
LC
q
α2 − ω02
1
= −α −
LC
q
α2 − ω02
−
√
dengan α = 1/2RC dan ω0 = 1/ LC .
• Perhatikan bahwa α disini berbeda dari α pada rangkaian
RLC seri.
Untai 1
Untai RLC paralel (4)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Jika α2 > ω02 maka untai RLC paralel memiliki respon
overdamped.
• Dalam kasus ini, solusi seperti pada Persamaan (2)
berlaku.
Untai 1
Untai RLC paralel (5)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 4:
Misalkan sebuah untai RLC paralel dengan R = 1000 Ω,
C = 0.167 µF dan L = 1.0 H, memiliki tegangan awal pada
kapasitor sebesar V0 = 50 V. Carilah v (t) jika switch ditutup
pada waktu t = 0.
Untai 1
Untai RLC paralel (6)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Jawab:
Exercises
Dalam kasus ini kita peroleh
α=
1
= 2994 α2 = 8.96 × 106
2RC
ω02 =
1
= 5.99 × 106
LC
Untai ini overdamped. Dari Persamaan (2) kita peroleh
q
s1 = −α + α2 − ω02 = −1271
q
s2 = −α − α2 − ω02 = −4717
Untai 1
Untai RLC paralel (7)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Jawab (cont.):
Exercises
Pada waktu t = 0,
V0 = A1 + A2
dan
dv = s1 A1 + s2 A2
dt t=0
Dari Persamaan (1), pada saat t = 0 dan tidak ada arus awal
pada induktor, kita peroleh:
V0
dv
dv V0
+C
= 0 atau
=−
R
dt
dt t=0
RC
Untai 1
Untai RLC paralel (8)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Dari sini dapat diperoleh
A1 =
V0 (s2 + 1/RC )
= 155.3
s2 − s1
dan
A2 = V0 − A1 = 50 − 155.3 = −105.3
Dengan memasukkan hasil ini ke Persamaan (2) kita peroleh
v = 155.3e −1271t − 105.3e −4717t V
Untai 1
Untai RLC paralel (9)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Plot tegangan ditunjukkan pada gambar berikut:
Untai 1
Untai RLC paralel (10)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Jika ω02 > α2 , untai disebut underdamped atau
oscillatory.
• Keadaan ini menghasilkan persamaan yang sama dengan
kondisi underdamped pada untai RLC seri, atau
v = e −αt (A1 cos ωd t + A2 sin ωd t)
q
dengan α = 1/2RC dan ωd = ω02 − α2 .
• Frekuensi ωd sering disebut dengan damped (radian)
frequency.
(3)
Untai 1
Untai RLC paralel (11)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 5:
Sebuah untai RLC paralel memiliki R = 200 Ω, L = 0.28 H dan
C = 3.57 µF. Kapasitor memiliki tegangan awal V0 = 50 V.
Carilah fungsi tegangan jika switch ditutup pada t = 0.
Untai 1
Untai RLC paralel (12)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab:
Untuk untai ini, diperoleh:
1
1
=
= 700
RC
2 × 200 × 3.57 × 10−6
α2 = 4.9 × 105
1
1
=
= 106
ω02 =
LC
0.28 × 3.57 × 10−6
α=
Karena ω02 > α2 , untai akan menunjukkan respon
underdamped. Kita peroleh juga
q
q
2
2
ωd = ω0 − α = 106 − (4.9 × 105 ) = 714
Untai 1
Untai RLC paralel (13)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Pada t = 0, V0 = 50. Oleh karena itu, pada Persamaan (3)
diperoleh A1 = V0 = 50. Dari persamaan tegangan node
diperoleh:
Z
V0
1 t
dv
+
=0
vdt + C
R
L 0
dt
dv V0
=−
dt t=0
RC
Untai 1
Untai RLC paralel (14)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
Jawab (cont.):
RLC paralel
Exercises
Dengan menurunkan Persamaan (3) dan membuat t = 0 kita
peroleh:
V0
dv = ωd A2 − αA1 = −
dt t=0
RC
Karena A1 = 50, maka
A2 =
−(V0 /RC ) + V0 α
= −49
ωd
sehingga
v = e −700t (50 cos 714t − 49 sin 714t) V
Untai 1
Untai RLC paralel (15)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
• Kasus critically damped tidak akan dibahas disini, karena
tidak banyak berguna dalam desain untai.
• Hal ini disebabkan karena respon untai dalam kasus ini,
meskipun teredam, mendekati respon yang berosilasi.
Untai 1
Contoh soal tambahan (1)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 6:
Sebuah untai RLC seri dengan R = 3 kΩ, L = 10 Hdan
C = 200 µF. Sebuah sumber tegangan konstan sebesar 50 V
dipasang pada saat t = 0.
a. Carilah arus transien, jika kapasitor tidak memiliki muatan
awal.
b. Cari nilai maksimum arus dan waktu t saat nilai ini dicapai.
Untai 1
Contoh soal tambahan (2)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (a.):
Untuk untai ini kita peroleh:
α=
R
1
= 150 s−1
ω02 =
= 500 s−1
2L
LC
p
β = α2 − ω 2 = 148.3 s−1
Karena α > ω0 , untai ini termasuk jenis over-damped. Jadi,
s1 = −α + β = −1.7 s−1
s2 = −α − β = −298.3 s−1
dan
i = A1 e −1.7t + A2 e −298.3t
Untai 1
Contoh soal tambahan (3)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (a., cont.):
Untai mengandung induktor, sehingga i(0− ) = i(0+ ) = 0.
Juga, karena Q(0− ) = Q(0+ ) = 0, maka pada waktu t = 0+
kita peroleh
di 0+0+ L =V
dt 0+
di V
=
dt 0+
L
= 5 A/s
Untai 1
Contoh soal tambahan (4)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (a., cont.):
Dengan memasukkan syarat-syarat ini ke persamaan i,
diperoleh:
0 = A1 (1) + A2 (1)
5 = −1.7A1 (1) − 298.3A2 (1)
Sehingga diperoleh A1 = −A2 = 16.9 mA. Jadi persamaan
fungsi transien adalah
i = 16.9 e −1.7t − e −298.3t mA
Untai 1
Contoh soal tambahan (5)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 7:
Sebuah untai RLC seri dengan R = 50 Ω, L = 0.1 Hdan
C = 50 µF. Suatu tegangan konstan V = 100 V dipasang
pada t = 0. Carilah arus transien, jika:
a. Diasumsikan kapasitor awalnya kosong.
b. Diasumsikan kapasitor memiliki muatan awal Q0 = 2500 µC.
Untai 1
Contoh soal tambahan (6)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (a.):
Pada untai ini kita peroleh
α=
R
1
= 250 s−1
ω02 =
= 2 × 105 s2
2L
LC
q
β = α2 − ω02 = j370.8 rad/s
Untai ini underdamped, sehingga diperoleh
i = e −250t (A1 cos 370.8t + A2 sin 370.8t)
Untai 1
Contoh soal tambahan (7)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (a., cont.):
Dengan analisis yang sama seperti soal sebelumnya, kita
peroleh kondisi awal
di +
= 1000 A/s
i(0 ) = 0
dt 0+
Dari sini dapat ditentukan nilai A1 = 0 dan A2 = 2.7 A. Jadi
kita peroleh:
i = e −250t (2.7 sin 370.8t) A
Untai 1
Contoh soal tambahan (8)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
Jawab (b.):
RLC paralel
Exercises
Jika kapasitor memiliki muatan awal, syarat awal kedua menjadi
Q0
di =V
0 + L +
dt 0+
C
100 − (2500/50)
di =
dt 0+
0.1
= 500 A/s
Karena nilai ini setengah dari nilai pada soal (a), maka dengan
menggunakan prinsip linearitas kita peroleh:
i = e −250t (1.35 sin 370.8t) A
Untai 1
Contoh soal tambahan (9)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Contoh soal 8:
Suatu untai RLC paralel memiliki R = 50 Ω, C = 200 µF dan
L = 55.6 mH. Kapasitor memiliki muatan awal Q0 = 5 mC.
Carilah tegangan pada untai tersebut.
Untai 1
Contoh soal tambahan (10)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab:
Untuk untai ini diperoleh
α=
1
= 50 s−1
2RC
ω02 =
1
= 8.99 × 104 s−2
LC
Untai q
ini underdamped, dengan frekuensi osilasi
ωd =
ω02 − α2 = 296 rad/s. Fungsi tegangan berbentuk
v = e −50t (A1 cos 296t + A2 sin 296t)
Untai 1
Contoh soal tambahan (11)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Karena Q0 = 5 × 10−3 C, diperoleh V0 = 25 V. Jadi pada saat
t = 0, v = 25 V. Dari sini dapat diperoleh A1 = 25. Kita
peroleh juga
dv
d
=
e −αt (A1 cos ωd t + A2 sin ωd t)
dt
dt
= −αe −αt (A1 cos ωd t + A2 sin ωd t)
+ e −αt (−ωd A1 sin ωd t + ωd A2 cos ωd t)
Untai 1
Contoh soal tambahan (12)
I. Setyawan
Pendahuluan
RLC seri
RLC paralel
Exercises
Jawab (cont.):
Pada saat t = 0, dv /dt = −V0 /RC . Jadi untuk t = 0
diperoleh
−V0
= ωd A2 − αA1
RC
Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, dapat diperoleh
A2 = −4.22. Jadi fungsi tegangan adalah
v = e −50t (25 cos 296t − 4.22 sin 296t) V