abjad, kata dan bahasa

LANGUAGES
ABJAD, KATA DAN BAHASA
Himpunan berhingga (finite) tak kosong dari simbolsimbol dinamakan sebuah abjad (alphabet).
Sebuah barisan berhingga simbol-simbol dari suatu
abjad dinamakan sebuah kata (word) yang
terbentuk berdasarkan abjad.
Suatu kumpulan dari kata-kata dinamakan sebuah
bahasa (language).
Abjad terdiri dari 26 simbol.
Abjad berupa kumpulan dari semua kata Inggris
resmi atau kumpulan dari semua simbol Pascal resmi
(pengenal Pascal resmi, kata-kata kunci dan katakata, karakter-karakter khusus dan sebagainya). Jika
 merupakan abjad apa saja, maka dapat dikatakan
 untuk menotasikan bahwa  adalah sebuah
simbol di dalam  Maka, jika
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Dapat juga ditulis 0. Karena sebuah abjad adalah
sebuah himpunan tak kosong maka kita dapatkan
:jika 1 dan 2 juga merupakan abjad. Sehingga bila
12, 1-2, 12 merupakan himpunan tak kosong
juga merupakan abjad.
Jika abjad Bahasa Inggris biasa, kata dapat berupa
PROGRAM, DIGIT, MOON dll. Tapi kata juga dapat
berupa BXTEEMRE,JIPQOPY dll.
Untai(string) adalah sebagai pengganti kata.
Jika Bahasa adalah kumpulan dari kata (untai), Maka
kumpulan {1, 12, 123, 1234, 12345, 123456} adalah
sebuah bahasa.
Kita juga bisa mempunyai bahasa yang terdiri dari untai
bahasa kosong ( empty language). Perhatikan bahwa hal
ini tidak sama seperti bahasa yang terdiri dari untai
kosong {}. Bahasa kosong dinotasikan dengan cara sama
seperti kita menotasikan himpunan kosong.
Misalkan bahwa  adalah suatu abjad dan bahwa w
adalah sebuah untai berdasarkan . Jika L adalah
sebuah bahasa yang terdiri dari beberapa untai
berdasarkan  dan jika w adalah sebuah untai di dalam
L, maka : wL Sehingga
121 {1, 12, 121, 1212, 12121}.
Bahasa yang terdiri dari semua untai berdasarkan
abjad  dinamakan bahasa universal (universal
language) dari  dan dinotasikan dengan *.
Contoh :
= {1}, maka
*= {, 1, 11, 111, 1111, …}.
Catatan : untuk abjad apapun, * bersifat tak
berhingga. (abjad-abjadnya tak kosong).
OPERASI PADA UNTAI
Jika w sebuah untai berdasarkan abjad, panjang (length)
dari w adalah banyaknya simbol di dalam untai itu.
Contoh :
abjad  = {1, 2}, jika w = 121, Maka w=3
Perhatikan bahwa , untai kosong tidak mempunyai
simbol, berarti : = 0
Jika w dan z adalah untai-untai perangkaian
(concatenation) w dengan z adalah untai :
wz= w+ z
Perangkaian  dengan suatu kata w tidak mengubah w,
dengan kata lain  sebagai Identitas terhadap operasi
perkalian ini.
Eksponensial untuk KATA berdasarkan ABJAD
Misalkan w merupakan sebuah kata;untuk nN,
didefinisikan :
,
jika n = 0
wn
wwn-1, jika n>0
Sehingga, berdasarkan  ={1, 2}, jika w =122, kita
dapatkan :
w0 = 
w1=122
w2=122122
w2=122122122
Dikatakan bahwa x adalah sebuah awalan dari w
jika, untuk suatu untai y, kita dapatkan w=xy.
Contoh : Jika w untai 121, maka untai x=12 adalah
awalan w dan y=1. Anggaplah y= , maka untuk
w=xy kita dapatkan w=x, Sehingga kata apapun
dipandang sebagai sebuah awalan dari dirinya
sendiri.
Pembalikan (reversal)/ Transpose
Jika wR merupakan cermin dari w mk dikatakan sebagai
reversal.
w,
jika w = 
wR
yRa, jika w = ay untuk adan
y*
Contoh :
Misal x = “able”. Maka, menurut definisi untuk xR
didapat :
xR = (able)R = (ble)Ra
= (le)Rba
= (e)Rlba
= ()Relba
=  elba
=elba
Operasi-operasi pada Bahasa
• Language concatenation dari A dan B
A.B  {w . x w  A dan x  B}
jika n  0
{ },
n
A 
n 1
 A. A , jika n  1
jika A  {ab}, maka :
A  { }
0
A  A  {ab}
1
A  A. A  {abab}
2
1
A  A. A  {ababab}
3
2
• Irisan, gabungan dan Selisih
A  B  {x x  A atau x  B}
A  B  {x x  A dan x  B}
A  B  {x x  A dan x  B}
Concatenat ion
x  {, x, xx, xxx, xxxx,......}
*
Superscrip t

x  x.x

*
x  {x, xx, xxx, xxxx,......}
REKURSIF
Himpunan mempunyai banyak sekali
elemen-elemen yang membangunnya.
Untuk mendefinisikan elemen-elemen dari
himpunan bisa didefinisikan dengan
memakai definisi rekursif (juga bisa disebut
definisi induktif).
Rekursif ini untuk menghasilkan anggotaanggota dari himpunan, satu persatu dimulai
dengan beberapa subset (himpunan bagian)
dari himpunan tersebut.
Fungsi rekursif
Definisi:
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika
definisi fungsinya mengacu pada dirinya
sendiri.
Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:
• Basis
Bagian yang berisi nilai awal yang tidak
mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini
juga sekaligus menghentikan definisi
rekursif dan memberikan senuah nilai yang
terdefinisi pada fungsi rekursif.
• Rekurens
Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi
dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap
kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri,
argumen dari fungsi harus lebih dekat ke
nilai awal (basis).
Extremal Clause
Jika suatu objek tidak dapat ditunjukkan
menjadi anggota dari huimpunan dengan
menggunakan basisi dan induktif dengan
angka yang terhingga, maka objek bukanlah
anggota dari himpunan tersebut.