DINAMIKA PARTIKEL A. Kekekalan Momentum

RENCANA PEMBELAJARAN 5 . POKOK BAHASAN : DINAMIKA PARTIKEL
A. Kekekalan Momentum, Hukum III Newton
Sesuai dengan hukum II (hukum gerak) Newton, dapat dikatakan bahwa “Jika sistem
tidak mengalami gaya Iuar/eksternal atau resultan gaya luar nol, maka momentum
sistem tersebut kekal, yaitu besar dan arahnya tetap”. Pernyataan tersebut di atas
biasa disebut sebagai hukum kekekalan momentum.
Untuk sistem dua partikel (dua benda), kekekalan momentum dapat ditulis
atau
⃗
adalah gaya yang dialami oleh partikel pertama dalam interaksinya dengan
(dikerjakan oleh) partikel kedua, dan
⃗
menyatakan gaya yang dialami partikel
kedua dikerjakan oleh partikel pertama, sehingga persamaan dapat ditulis
Persamaan (5.2) menyatakan bahwa
“Interaksi antara dua partikel atau sistem selalu dengan gaya yang sama besar dan
berlawanan arah”, dikenal sebagai hukum aksi-reaksi atau hukum III Newton. Gambar
5.1 melukiskan sistem dua partikel, di mana gaya interaksi yang mereka alami masingmasing menyebabkan lintasan melengkung (karena perubahan momentum ).
Universitas Gadjah Mada
1
Persamaan (c) menjadi
Baru persamaan (d) yang diintegralkan, hasilnya
sehingga diperoleh
Ini kan persamaan getaran selaras sederhana, sesuai dengan gaya yang bekeraja, yaitu
F = -k x (gaya balik linier)!
Pada suatu saat momentum kedua partikel
dan
. Perubahan momentum garis kedua
partikel dilukiskan pada gambar, yang sekaligus memperlihatkan bahwa
yang sesuai dengan persamaan (5.1). Untuk sistem banyak partikel, hukum kekekalan
momentum dirumuskan sebagai
Berikut diberikan tiga contoh kasus berlakunya hukurn kekekalan momentum
Tumbukan
Ditinjau peristiwa tumbukan antar dua benda bermassa m1 dan m2, di mana tidak ada
gaya luar yang bekerja sehingga momentum total kedua benda tersebut kekal, yakni
dengan
dan
adalah kecepatan m1 dan m2 sebelum tumbukan,
dan
masing-
masing kecepatan m1 dan m2 sesudah tumbukan. Untuk tumbukan sentral, di rnana
dan
,
semuanya terletak pada satu garis lurus, persamaan (5.5) dapat dilukiskan
dalam persamaan saklarnya,
Universitas Gadjah Mada
2
Di mana setiap v dapat berharga positip atau negatip, tergantung pada arah masingmasing kecepatan.
Pada tumbukan sentral didefinisikan suatu parameter, disebut koefisien kelentingan
atau restitusi, yang menunjukkan derajat kelentingan suatu tumbukan,dirumuskan
sebagai
Persamaan (5.7) sering disebut aturan Newton. Harga restitusi bervariasi dan 0 sampai 1
untuk berbagai tumbukan,
Bila e = 1, tumbukan disebut lenting sempurna (perfect elastic cillision). Pada tumbukan
elastis atau lenting sempuma juga berlaku hukum kekekalan tenaga kinetik,
Bila e = 0,
, berarti kedua benda bergerak bersama-sama, setelah tumbukan,
dikatakan tumbukan tak-lenting sempurna (perfect inelastic collision). Pada tumbukan
tak lenting sempurna, kecepatan kedua benda setelah tumbukan adalah
Bila 0 < e < 1 dikatakan tumbukan lenting sebagian atau lenting tak sempurna. Harga
e atau
dan
ditentukan oleh sifat fisis kedua benda yang bertumbukan, dan
berhubungan dengan perubahan tenaga kinetik melalui persamaan
Peristiwa di mana terjadi pengurangan tenaga kinetik seperti pada tumbukan yang bukan
lenting sempurna, disebut peristiwa yang bersifat eksoergis.
Contoh 5.1
Massa 4 kg bergerak dengan kecepatan 4 m/s, ditumbuk dari belakang oleh massa 2 kg
dengan kecepatan 9 m/s. Setelah tumbukan massa 4 kg kecepatannya 6 m/s.
Hitunglah: a. restitusi tumbukan
b. perubahan tenaga kinetik sistem!
Jawab:
Sebutlah m1 = 2 kg, m2 = 4 kg,sehingga v1 = 9 m/s dan v2 = 4 m/s, v2 = 6 m/s.
Universitas Gadjah Mada
3
a. Menggunakan persamaan (3.4) diperoleh
b. Perubahan tenaga kinetik dapat langsung digunakan persamaan (5.11):
Dapat juga dihitung dengan persamaan
Catatan:
Selama berlangsung tumbukan, terjadi interaksi antara kedua partikel, atau perpindahan
momentum garis dari pertikel satu ke yang lain.
Gerak Pental
Suatu sistem dapat melepaskan atau memisahkan sebagian massanya dengan tenaga
internal (tanpa gaya luar), di mana momentumnya secara keseluruhan tidak mengalami
perubahan atau kekal. Sebutlah momentum sistem
m1 dan kecepatannya menjadi
. Massa bagian yang dipisahkan
, yang berarti ia (m1) mengalami perubahan momentum
dan karena momentum sistem keseluruhan harus kekal, maka sisa sistem (m – m1)
mengalami perubahan momentum
di mana
adalah kecepatan sisa sistem dengan massa m – m1. Peristiwa seperti di atas
banyak dijumpai, baik pada sistem rnakro maupun mikro, seperti senapan yang bergerak
mundur apabila pelurunya ditembakkan, inti-inti atom yang memancarkan sinar-sinar
radioaktif dan lain-lain. Sebagai contoh, misalnya senapan dengan massa M berisi peluru
dengan massa m, yang mula-mula diam ( = 0). Jika kemudian peluru ditembakkan dengan
kecepatan
momentum
, maka Iarasnya/senapan akan mengalami gerak pental/rekoil dengan
⃗
, atau kecepatan rekoilnya
Universitas Gadjah Mada
4
Gerak Roket
Pelepasan massa oleh sistem bisa berlangsung secara kontinyu, seperti yang terjadi pada
roket. Ditinjau roket yang sedang meluncur. Sebutlah massa roket + bahan bakar dan
kecepatannya pada suatu saat adalah m dan . Roket tersebut mengeluarkan bahan bakar
(ke belakang) dengan kecepatan ⃗ terhadap roket, atau kecepatannya terhadap kerangka
acuan (lab/bumi) adalah
Pada saat yang bersamaan, massa sistem roket berubah dengan dm = - dm , dan
kecepatannya berubah dengan
, di mana dm = massa bahan bakar yang dikeluarkan (sisa
pembakaran). Hukum kekekalan momentum memberikan
Dengan mengabaikan suku
terhadap suku-suku yang lain, persamaan (5.15)
menghasilkan
Integrasi persamaan (5.16) memberikan
di mana m(0) = massa roket + bahan bakar mula-mula, dengan kecepatan awal v(0) = 0.
Selanjutnya, jika laju pengeluaran sisa bahan bakar konstan,
Maka
Gaya dorong roket
⃗ disebut hentakan roket (thrust). Apabila roket bergerak vertikal
ke atas, gaya beratnya sebagai gaya perlambatan, sehingga persamaan (5.19) menjadi
Dimana roket akan mulai bergerak apabila VC > mg, dengan menganggap g konstan.
Contoh 5.2 :
Universitas Gadjah Mada
5
A bullet of mass m is fired from a gun of mass M. If the gun can recoil freely and the muzzle
velocity of the bullet is
⁄(
, show that the actual velocity of the bullet (relative to the ground is
⁄(
), and the recoil velocity for the gun is
) , where
⁄
Answer :
Conservation of linear momentum gives
⃗
The recoil velocity of the gun is ⃗
, Then,
⁄(
)
Contoh 5.3:
An artillery shell is fired at an angle of elevation 60 with the initial speed v0. At the upper
most part of its tryectory, the shell bursts into two equal fragments, one of which moves
directly upward, relative to the ground with speed
⁄ . What is the direction and speed of
the other fragment immediately after burts?
Answer :
Then obtained
and the speed of:
̂
√
̂ . Thus, the direction is
( ⁄ )
( )
under the horizontal
√
Universitas Gadjah Mada
6
Contoh 5.4 :
Dua benda masing-masing bermassa m1 = 5 kg dan m2 = 3 kg, bergerak berlawanan arah
saling mendekati dengan kelajuan sama 10 rn/s (terhadap acuan diam/inesial), lalu
bertumbukan. Ternyata, setelah tumbukan benda yang massanya 3 kg bergerak dengan
kecepatan 5 m/s berbalik arah dari arah geraknya semula.
Hitunglah :
a. Kecepatan benda 5 kg setelah tumbukan!
b. Restitusi tumbukan!
c. Fraksi relative pengurangan tenaga kinetik selama tumbukan!
Jawab :
Ketentuan pada soal dapat dinyatakan sebagai
Disini telah digunakan pilihan bahwa vektor yang arahnya ke kanan skalarnya dengan tanda
aljabar positip ( >0 ) dan sebaliknya.
a. Gunakan rumus/persamaan kekekalan momentum (5.6)
Jadi kecepatan benda 5 kg setelah tumbukan: 1 rn/s arah seperti semula.
b. Langsung gunakan rumus restitusi, persarnaan (5.7),
c. Fraksi relatif pengurangan tenaga kinetik adalah
Hitung dulu K dan K :
Universitas Gadjah Mada
7
Bisa juga dihitung dengan K menggunakan rumus/persamaan (5.11),
Universitas Gadjah Mada
8