PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK

PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU
Sumardyono, M.Pd.
A. PENDAHULUAN
Aritmetika dimulai dari perhitungan bilangan asli yang masih sederhana. Kemudian
berkembang dengan menggunakan bilangan cacah dan bilangan bulat. Pada saat pengerjaan
hitung menggunakan bilangan bulat, ada saatnya kita berhadapan dengan suatu bentuk yang
tidak dapat dipahami dengan mudah. Misalnya bentuk pembagian 1/0. Apakah ini suatu
bilangan (tertentu) ataukah bukan bilangan. Dapat ditunjukkan bahwa bentuk pembagian
dengan nol di atas merupakan bentuk yang tidak terdefinisi (undefined).
Andaikan ada bilangan k sedemikian hingga 1/0 = k maka berdasarkan definisi pembagian
sebagai invers dari perkalian, bentuk tersebut ekuivalen dengan 1 = 0.k . Tetapi segera kita
dapatkan bahwa ekspresi matematika yang terakhir tidaklah benar karena setiap bilangan jika
dikali nol maka hasilnya nol. Jadi, tidak mungkin ada bilangan k tersebut. Dengan demikian
kita tidak mungkin mendefinisikan suatu bilangan yang ekuivalen dengan bentuk 1/0.
Di samping bentuk yang tak terdefinisi di atas, di dalam aritmetika kita menjumpai bentukbentuk yang juga tidak ekuivalen dengan bilangan (tertentu), tetapi bukan karena tidak ada
hasilnya namun terlalu banyak hasilnya. Oleh karena yang namanya bilangan itu harus
tunggal atau harus jelas titiknya pada garis bilangan, maka bentuk yang demikian bukan
bilangan. Bentuk tersebut dikenal dengan nama bentuk tak-tentu (indeterminate form).
B. BENTUK TAK TENTU DALAM KALKULUS
Secara formal, konsep “bentuk tak-tentu” dikenal di dalam kalkulus. Jika nilai beberapa
fungsi f(x) pada x tertentu mengambil bentuk yang sama, tetapi limitnya dapat beraneka
ragam (mengambil nilai yang berbeda-beda, tak-hingga, negatif tak-hingga, atau tidak ada
limitnya) maka bentuk yang sama tsb dinamakan bentuk tak-tentu.
Dalam mathworld.wolfram dinyatakan “Certain forms of limits are said to be indeterminate
when merely knowing the limiting behavior of individual parts of the expression is not
sufficient to actually determine the overall limit.”.
Pada bagian selanjutnya dalam artikel ini, akan dibahas beberapa bentuk tak-tentu dan
penanganannya dalam menentukan nilai limit. Pembaca diasumsikan telah memahami konsep
dasar dari limit fungsi dengan baik.
C. MEMAHAMI PRILAKU NOL (0) DAN TAK-HINGGA (∞) PADA KALKULUS
Dalam menelaah bentuk-bentuk tak-tentu dan prilakunya, maka perlu dipahami lebih dulu
mengenai konsep bilangan nol dan konsep tak-hingga.
Bilanga nol, 0, jelas sudah dikenal dengan baik, minimal di dalam perhitungan aritmetika
bilangan nol dikenal sifat-sifatnya. Misalnya 0 merupakan identitas terhadap penjumlahan,
atau perkalian dengan nol hasilnya nol.
Untuk tak-hingga (∞), perlu penjelasan lebih lanjut. Beberapa literatur (berbahasa Indonesia)
ada yang menulisnya sebagai “tak-berhingga”, “tak-terhingga”, atau “tak-hingga” (dengan
atau tanpa tanda strip “-“). Penulis di sini, menggunakan kata “tak-hingga” untuk
kesederhanaan penulisan.
Konsep ketakhinggan atau tak-hingga merupakan konsep yang membingungkan bukan saja
bagi orang awam, bahkan bagi matematikawan terkenal sekalipun. Untuk itu, perlu
diperhatikan apa pengertian dan batasan “tak-hingga” yang kita maksudkan di sini.
Pertama, “tak-hingga” bukan bilangan (dalam hal ini bukan bilangan real maupun kompleks).
Konsep tak-hingga hanya menyatakan konsep suatu kecenderungan yang terus-menerus
membesar (baik ke arah positif maupun ke arah negatif). Jadi, kita dapat menyatakan,
misalnya, nilai fungsi tsb terus membesar menuju “tak-hingga”. Tetapi, kita tidak dapat
menyatakan, misalnya, nilai fungsi tsb adalah tak-hingga.
Kedua, di dalam kalkulus (karena alasan konsep limit), lambang tak-hingga dapat
diperlakukan “layaknya” lambang sebuah bilangan namun harus memenuhi aturan yang
berikut ini.
a ± ∞ = ±∞
untuk sembarang bilangan real a.
a. (±∞) = ±∞ untuk sembarang bilangan real a > 0
a. (±∞) = m ∞ untuk sembarang bilangan real a < 0
0. ±∞ = 0
a
=0
∞
a
=∞
0
untuk sembarang bilangan real a > 0
a
= −∞
0
untuk sembarang bilangan real a < 0
∞a = ∞
untuk sembarang a ≠ 0
∞∞ = ∞
0∞ = 0
Perhatikan bahwa di dalam kalkulus, pembagian nol secara limit didefinisikan bernilai
tak-hingga. Lebih tepatnya, “limit 1/x untuk x mendekati nol adalah tak-hingga,
sebaliknya limit 1/x untuk x mendekati atau menuju tak-hingga adalah nol”. Jadi,
sesungguhnya semua ekspresi di atas hanya berlaku di dalam konteks limit.
D. BEBERAPA BENTUK TAK-TENTU DI DALAM KALKULUS
Ada 7 bentuk yang termasuk bentuk tak-tentu dalam kalkulus, yaitu 0/0, ∞/∞, 0.∞, ∞ − ∞, 00,
∞0, dan 1∞. Berikut pembahasan dua bentuk tak-tentu di bawah ini.
1. Bentuk Tak-Tentu 0/0
Pengertian
Berapa 0/0? Mungkin kebanyakan orang awam akan menjawab 1 karena penyebut dan
pembilangnya sama. Tetapi alasan ini tidak tepat. Bentuk 0/0 merupakan bentuk tak-tentu
karena tidak mendefinisikan sebuah bilangan (tunggal). Dengan kata lain, bentuk 0/0 bukan
bilangan.
Perhatikan variasi nilai yang mungkin.
0/0 = 1 ↔ 1.0 = 0
0/0 = 23 ↔ 23.0 = 0
0/0 = √3 ↔ √3.0 = 0
0/0 = π ↔ π.0 = 0
Secara formal, disebut bentuk tak-tentu karena ada beberapa fungsi yang nilai fungsinya 0/0
tetapi nilai limitnya tidak tunggal; ada yang limitnya bilangan real, tak-hingga, negatif takhingga, atau limitnya tidak ada.
Cara Menentukan Nilai Limitnya
Ada beberapa cara menentukan nilai limit suatu fungsi yang nilai fungsinya memiliki bentuk
tak-tentu 0/0.
•
Jika fungsi f(x) berbentuk fungsi rasional, maka jika dimungkinkan hilangkan faktor
sekutu pembuat nol-nya.
Contoh 1. lim
x →2
f(x) =
lim
x →2
x2 − 4
x−2
x2 − 4
di mana f(2) memiliki bentuk tak-tentu 0/0.
x−2
( x − 2)( x + 2)
x2 − 4
= lim
= lim ( x + 2) = 2 + 2 = 4
x
→
2
x→ 2
( x − 2)
x−2
Perhatikan bahwa kita dapat mencoret faktor (x – 2) karena faktor tsb tidak
nol.
Untuk mendapatkan faktor sekutu bisa dilakukan dengan berbagai cara: pemfaktoran
biasa, mengganti variabel (substitusi), mengalikan penyebut dan pembilang dengan
suatu konjugat yang bersesuaian, dan lain-lain.
Berikut contoh bila menggunakan substitusi variabel.
Substitusi x – 2 = y maka x → 2 = y → 0
x2 – 4 = (y + 2)2 – 4 = y2 + 4y
lim
x →2
•
y2 + 4y
x2 − 4
= lim
= lim y + 4 = 4
y →0
y →0
y
x−2
Menggunakan Teorema L`Hospital
Misalkan f(x) dan g(x) differensiabel (dapat diturunkan atau
didifferensialkan), dan g′(x) ≠ 0 di sekitar a (kecuali mungkin di a).
Misal pula
limit f(x) = limit g(x) = 0 untuk x mendekati a (bentuk tak tentu 0/0)
atau
limit f(x) = limit g(x) = ±∞ untuk x mendekati a (bentuk tak tentu ∞/∞)
Maka
f ( x)
f ′( x)
lim
= lim
x→a g ( x )
x→a g ′( x )
jika limit pada ruas kanan ada (atau ∞ atau −∞)
Catatan.
o Teorema L`Hospital tetap berlaku bila kita mengganti “x → a” dengan “x →
a+” (limit kanan), “x → a−” (limit kiri), “x → ∞”, atau “x → −∞”.
o Untuk kasus di mana f(a) = g(a) = 0, f′(x) dan g′(x) kontinu serta dan g′(x) ≠ 0
maka Teorema L`Hospital mudah dibuktikan sebagai berikut.
f ′( x)
f ′( a )
lim
=
=
x→a g ′( x )
g ′( a )
= lim
x →a
f ( x) − f (a )
f ( x) − f (a )
x→a
x−a
x−a
= lim
x →a g ( x) − g ( a )
g ( x) − g (a )
lim
x →a
x−a
x−a
lim
f ( x) − f (a )
f ( x)
= lim
x→
a
g ( x) − g (a )
g ( x)
o Teorema L`Hospital dapat diterapkan berulang-ulang, selama syarat-syaratnya
dipenuhi. Penting untuk mengecek apakah syarat teorema tsb dipenuhi
sebelum menerapkan teorema tsb (ini yang kadang dilupakan para siswa dan
sebagian guru).
o Oleh karena Teorema L`Hospital menggunakan konsep turunan, maka harus
diperhatikan bahwa pembelajaran (kembali) konsep limit dengan Teorema
L`Hospital setelah pembelajaran turunan, dan bukan sebelum pembelajaran
turunan.
Contoh 2. lim
x →2
x2 − 4
x−2
Cek: lim ( x 2 − 4) = 0, lim ( x − 2) = 0. Jadi,berbentuk 0/0. Lalu, karena x2 – 4
x→ 2
dan (x−2)
x→ 2
differensiabel
dan
d
( x − 2) ≠ 0
dx
maka dengan Teorema
L`Hospital diperoleh
d 2
( x − 4)
x2 − 4
2x
lim
= lim dx
= 2.2 = 4. (ada limitnya)
= lim
x →2 x − 2
x→ 2 d
x→ 2 1
( x − 2)
dx
ln x
Contoh 3. lim
x →1 x − 1
Karena bukan bentuk fungsi rasional (penyebut bukan polinomial) maka cara
pertama tidak dapat diterapkan.
Cek: lim ln x = 0, lim x − 1 = 0, jadi berbentuk 0/0. Lalu, karena kedua
x →1
x →1
turunan ln x dan turunan (x – 1) ada, serta
lim
x →1
1
ln x
= lim x = 1 (ada limitnya)
x − 1 x→1 1
2. Bentuk Tak-Tentu ∞/∞
Pengertian
d
( x − 1) = 1 ≠ 0 maka diperoleh
dx
Bentuk ∞/∞
(bilangan).
juga tidak bernilai 1, karena bentuk tersebut tidak memiliki nilai tunggal
Perhatikan variasi nilai yang mungkin.
∞/∞ = 1 ↔ 1.∞ = ∞
∞/∞ = 23 ↔ 23.∞ = ∞
∞/∞ = √3 ↔ √3.∞ = ∞
∞/∞ = π ↔ π.∞ = ∞
Secara formal, disebut bentuk tak-tentu karena ada beberapa fungsi yang nilai fungsinya ∞/∞
tetapi nilai limitnya tidak tunggal; ada yang limitnya bilangan real, tak-hingga, negatif takhingga, atau limitnya tidak ada.
Cara Menentukan Nilai Limitnya
Ekspresi matematika yang dapat bernilai ∞/∞ dapat disusun kembali hingga memiliki bentuk
f ( x)
0/0. Jika kita berhadapan dengan ekspresi
yang untuk nilai x tertentu memiliki bentuk
g ( x)
1
∞/∞ maka kita ubah menjadi
1
g ( x)
yang untuk nilai x tadi akan memiliki bentuk tak-tentu
f ( x)
0/0.
Bentuk-bentuk tak-tentu lainnya, pada dasarnya merupakan bentuk tak-tentu karena dapat
diubah menjadi bentuk tak-tentu 0/0 atau pun ∞/∞.
E. PENUTUP
Pemahaman akan konsep bentuk tak-tentu merupakan salah satu faktor penting dalam
memahami kalkulus, oleh karena konsep bentuk tak-tentu merupakan salah satu konsep
esensial dalam kalkulus, terutama pada konsep limit. Dengan paparan dalam artikel ini,
mudah-mudahan dapat memberikan wawasan kepada guru mengenai bentuk tak-tentu dan
mengatasi kemungkinan miskonsepsi yang terjadi pada bentuk tak-tentu.
DAFTAR PUSTAKA DAN BACAAN
Jiwen He.- . Indeterminate form. A lecture notes. Not publised.
Saeed Al-Hajjar. 2008. Indeterminate Forms And Their Behaviours. Dalam WSEAS
TRANSACTIONS on MATHEMATICS. Issue 11, Volume 7, November 2008.
Wikipedia, 2012. Indeterminate Form. dalam
http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form
Weisstein, Eric W. "Indeterminate." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/Indeterminate.html