1 MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY DALAM

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY
DALAM BENTUK A ~
x  ~y DENGAN MENGURAIKAN ~y
Diana Mustika1, Mashadi2, Sri Gemawati2
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293) Indonesia
*[email protected]
ABSTRACT
In this paper we solve fuzzy linear system of the form A x~  ~y where A is a
n  n nonsingular matrix, x~ is a fuzzy vector and ~y is a parameter fuzzy
number. This fuzzy linear system is solved by expanding ~y into 8 components by
S. Khezerloo, M. Montazeri and Z. Valizadeh in [6]. Then, it is solved with two
steps. At the end of this paper we give an example with validity test.
Keywords: Fuzzy number, fuzzy linear system
ABSTRAK
Kertas kerja ini membahas tentang bagaimana cara menyelesaikan sistem
persamaan linear fuzzy dalam bentuk A x~  ~y dengan A matriks nonsingular
yang berukuran n  n , sedangkan x~ adalah vektor fuzzy dan ~y berupa bilangan
fuzzy segitiga dalam bentuk parameter. Sistem persamaan linear fuzzy ini
diselesaikan dengan menguraikan ~y menjadi 8 komponen oleh S. Khezerloo, M.
Montazeri dan Z. Valizadeh dalam 6. Selanjutnya langkah penyelesaian
dilakukan dengan dua cara. Pada bagian akhir tulisan ini diberikan contoh serta uji
validitasnya.
1. PENDAHULUAN
Dalam aljabar linear, sistem persamaan linear merupakan topik yang sering
digunakan. Secara umum suatu sistem persamaan linear dapat ditulis dalam
bentuk perkalian matriks Ax  y , dengan A adalah matriks koefisien, x adalah
vektor kolom dari variabel-variabel yang tidak diketahui, dan y vektor kolom
dari konstanta dengan setiap unsurnya merupakan bilangan riil, kemudian dicari
solusinya dengan menggunakan perhitungan aritmatika bilangan riil. Tidak semua
hal dapat diketahui secara tepat atau pasti nilainya, melainkan hanya perkiraan
atau interval dari nilai tersebut. Untuk menyatakan ketidakpastian tersebut
digunakan bilangan fuzzy.
1
Secara umum bilangan fuzzy terdiri dari dua bentuk, yaitu bilangan fuzzy
trapesium (trapezoidal fuzzy number) dan bilangan fuzzy segitiga (triangular
fuzzy number), namun dalam tulisan ini bilangan fuzzy yang digunakan adalah
bilangan fuzzy segitiga. Bilangan fuzzy segitiga dinyatakan dengan
x~  a,b,c dengan a indeks fuzzy kiri, b disebut pusat (center), dan c indeks
fuzzy kanan.
Secara umum, sistem persamaan linear fuzzy memiliki bentuk sebagai
berikut
 
dengan A  aij
n
i , j 1
A~
x  ~y ,
adalah matriks nonsingular,
~
x  xn 
dan
~y   ~
yn 
merupakan vektor fuzzy.
Menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy dalam bentuk A x~  ~y
dengan menggunakan bilangan fuzzy telah banyak dibahas, diantaranya
menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy dengan Metode Huang, yang
dibahas dalam 4, menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy dengan metode
Dekomposisi LU , yang dibahas dalam 1 dan penyelesaian sistem persamaan
linear fuzzy dengan merubah matriks koefisien A yang berukuran n  n menjadi
matriks koefisien yang berukuran 2n  2n yang dibahas dalam 2. Dalam tulisan
ini penulis membahas satu kasus menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy
dalam bentuk A ~
x  ~y dengan menggunakan metode penguraian ~y . Kajian ini
merupakan kajian ulang yang mendetailkan kertas kerja S. Khezerloo, M.
Montazeri dan Z. Valizadeh sesuai pada 6.
2. BILANGAN FUZZY
Pada bagian ini dibahas konsep bilangan fuzzy, operasi aritmatika fuzzy fuzzy dan
sistem persamaan linear fuzzy yang mengacu pada 3 dan 6 .
Definisi 1. Bilangan fuzzy segitiga (triangular fuzzy number) x~  a,b,c dengan
a indeks fuzzy kiri, b pusat (center) dan c indeks fuzzy kanan. Bilangan fuzzy
segitiga ~
x dalam bentuk standar dengan fungsi keanggotaannya dapat dituliskan
sebagai berikut
 x  a 
 b  a 

 c  x 
 ~x  x    ~x  x; a, b, c   
 c  b 
0


2
,a xb
,b  x  c
, x  a dan x  c
1
x  a, b, c  dalam bentuk parameter direpresentasikan
Definisi 2. Bilangan fuzzy ~
dengan u r , u r  , yang memenuhi:
a) u r  adalah fungsi kontinu kiri, dan tak turun terbatas pada 0,1 .
b) u r  adalah fungsi kontinu kiri, dan tak naik terbatas pada 0,1.
c) u r   u r , 0  r  1
~
x  a, b, c 
Adapun
bilangan
fuzzy
digambarkan seperti tampak pada Gambar 1.
dengan ~
x r   u r , u r 
 ~x  x 
1
u r 
u r 
X
c
b
Gambar 1. Bilangan fuzzy segitiga ~
x r   u r , u r 
0
a
Dalam [6] menjelaskan bahwa bentuk parameter dari bilangan fuzzy segitiga
~
x  a, b, c  adalah
~y r   u r , u r   b  a r  a , c  c  b , dengan 0  r  1
Berikut diberikan operasi aritmatika fuzzy
~
x  u r , u r  dan ~y  v r , v r 
2
dalam [5], dengan
Definisi 3. (Penjumlahan) Penjumlahan bilangan fuzzy x~ dan ~y dinotasikan
dengan x~  ~y dirumuskan dengan
~
x  ~y  u r   v r , u r   v r 
3
dan
 ~x  ~y r  ur   vr , u r   v r 
3
, r  0,1
4
Definisi 4. (Pengurangan) Pengurangan bilangan fuzzy ~
x dan ~y dinotasikan
x~  ~y , dirumuskan dengan
5
~
x  ~y  u r   v r , u r   v r 
dan
 ~x  ~y r  ur   v r , u r   vr 
, r  0,1
6
Definisi 5. (Perkalian skalar) Jika disberikan k  R , maka perkalian skalar
k dengan bilangan fuzzy ~
x dinotasikan dengan k~
x , dirumuskan dengan
~  k u r , ku r  , k  0
kx

ku r , k u r  , k  0
7 
dan
k~x r  min k ur , ku r , makk ur , ku r 
8
Definisi 6. (Perkalian) Perkalian bilangan fuzzy ~
x dan ~y dinotasikan dengan
x~~y , dirumuskan dengan

  
9
~
x~y  uv r , uv r 
dan
~x~y r   minur vr , ur v r , u r vr , u r v r 
~x~y r   makur vr , ur v r , u r vr , u r v r 
, r  0,1
10
Berikut akan dibahas mengenai sistem persamaan linear fuzzy menurut [6]
Definisi 7. Misalkan suatu sistem persamaan linear fuzzy sebarang yang terdiri
dari n persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui mempunyai bentuk
umum sebagai berikut
a11 x1  a12 x2    a1n xn  ~
y1 
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  ~
y 2 



an1 x1  an 2 x2    ann xn  ~
y n 
 
11
n
dimana koefisien matrik A  aij i , j 1 adalah matriks nonsingular, x~ adalah vektor
fuzzy, dan ~y berupa bilangan fuzzy segitiga dalam bentuk parameter.
4
3. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY DALAM
BENTUK A ~
x  ~y DENGAN MENGURAIKAN ~y
Penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy dengan menguraikan ~y dalam [6]
didefinisikan sebagai berikut
Definisi 8. Bilangan fuzzy ~y r   u r , u r  , yang direpresentasikan kedalam
bentuk 8 komponen dalam interval 0,1, didefinisikan dengan
~y  u 0 , d 0 , u 1, d 1, u 0 , d 0 , u 1, d 1 
i
i
i
i
i
i
i
i
i
12
dimana
u i 0   a, d i 0   u i 0 , u i 1  b, d i 1  u i 1
'
'
u i 0  c, d i 0  u ' i 0,
u i 1  b, d i 1  u ' i 1
Berikut diberikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar bilangan fuzzy
dalam bentuk 8 komponen dengan ~
x  u0, d 0, u1, d 1, u 0, d 0, u 1, d 1
~
dan y  v 0 , e 0 , v 1, e 1, v 0 , e 0 , v 1, e 1 dalam [5]


Definisi 9. (Penjumlahan) Penjumlahan bilangan fuzzy x~ dan ~y dinotasikan
dengan ~
x  ~y , dirumuskan dengan
~
x  ~y  u0  v0, d 0  e0, u1  v1, d 1  e1,
13
u 0  v 0, d 0  e 0, u 1  v 1, d 1  e 1
Definisi 10. (Perkalian skalar) Diberikan k  R , perkalian skalar k dengan
bilangan fuzzy x~ dinotasikan dengan k~
x , didefinisikan dengan
~  ku 0 , k d 0 , k u 1, k d 1, k u 0 , kd 0 , ku 1, kd 1, k  0
kx

 ku 0 , kd 0 , ku 1, kd 1, k u 0 , k d 0 , k u 1, k d 1, k  0
14
Selanjutnya dijelaskan dua cara untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear fuzzy, sebagai berikut.
Cara 1.
Langkah 1. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy dalam bentuk
A x~  ~y , terlebih dahulu uraikan ~y dalam bentuk parameter menjadi bentuk 8
komponen, dengan menggunakan Definisi 8, yakni
~y  u 0, d 0, u 1, d 1, u 0, d 0, u 1, d 1 
i
i
i
i
i
i
i
i
i
5
Langkah 2. Setelah menguraikan ~y menjadi 8 komponen, maka selanjutnya
sistem persamaan A x~  ~y diselesaikan dengan menggunakan Definisi 9 dan
Definisi 10, sehingga diperoleh solusi x i dalam bentuk 8 komponen.
Cara 2.
Dengan menggunakan cara yang sama pada langkah 1, yakni uraikan ~y dalam
bentuk parameter menjadi bentuk 8 komponen, dengan menggunakan Definisi 8.
Setelah diperoleh ~y dalam bentuk 8 komponen, maka sistem persamaan linear
fuzzy A x~  ~y dapat diselesaikan secara eliminasi atau substitusi. Sehingga pada
sistem persamaan linear fuzzy dengan A matriks nonsingular berukuran 3  3 ,
solusi x 1 , x2 dan x 3 adalah sebagai berikut:
 a a  a32 a23 


x 1   22 33
u 1 0, d 1 0, u 1 1, d 1 1, u1 0, d1 0, u1 1, d1 1 



 a13 a32  a12 a33 



u 2 0, d 2 0, u 2 1, d 2 1, u 2 0, d 2 0, u 2 1, d 2 1 



 a12 a 23  a13 a 22 



u 3 0, d 3 0, u 3 1, d 3 1, u 3 0, d 3 0, u 3 1, d 3 1



(15)
 a a  a 21a33 


u 1 0, d 1 0, u 1 1, d 1 1, u1 0, d1 0, u1 1, d1 1 
x 2   23 31



 a11a33  a13 a31 



u 2 0, d 2 0, u 2 1, d 2 1, u 2 0, d 2 0, u 2 1, d 2 1 



 a13 a 21  a11a 23 



u 3 0, d 3 0, u 3 1, d 3 1, u 3 0, d 3 0, u 3 1, d 3 1



(16)
 a a  a31a 22 


u 1 0, d 1 0, u 1 1, d 1 1, u1 0, d1 0, u1 1, d1 1 
x 3   21 32



 a12 a31  a11a32 



u 2 0, d 2 0, u 2 1, d 2 1, u 2 0, d 2 0, u 2 1, d 2 1 



 a11a 22  a 21a12 



u 3 0, d 3 0, u 3 1, d 3 1, u 3 0, d 3 0, u 3 1, d 3 1



4. CONTOH
6
(17)
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy berikut sehingga diperoleh
solusi x i dalam bentuk 8 komponen.
x1  x 2  x 3  r , 2  r 
x1  2 x 2  x 3  r  2, 3
2 x1  x 2  3x 3   2,  1  r 
18
Solusi.
Cara 1.
Langakah 1, yaitu meuraikan ~y dalam bentuk parameter menjadi bentuk 8
komponen, sehingga system persamaan linear fuzzy menjadi
x1  x 2  x 3  0, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1
x1  2 x 2  x 3  2, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0
2 x1  x 2  3x 3   2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1
Langkah 2, selesaikan sistem persamaan A x~  ~y dengan menggunakan Definisi 9
dan Definisi 10, sehingga diperoleh solusi x i dalam bentuk 8 komponen.
x1  7 130, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1  4 132, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0
 1 13 2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1
 6 13, 11 13, 17 13, 11 13, 25 13,  8 13, 17 13,  8 13
x 2  1 130, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1   5 132, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0
 2 13 2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1
  19 13, 1 13,  18 13, 1 13,  10 13,  8 13,  18 13,  8 13
x 3   5 130, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1   1 132, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0
 3 13 2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1
  19 13, 5 13,  14 13, 5 13,  5 13,  9 13,  14 13,  9 13
Cara 2.
Dengan menggunakan cara yang sama pada langkah 1, yakni uraikan ~y dalam
bentuk parameter menjadi bentuk 8 komponen, dengan menggunakan Definisi 8.
Setelah diperoleh ~y dalam bentuk 8 komponen, maka sistem persamaan linear
fuzzy A x~  ~y dapat diselesaikan secara eliminasi atau substitusi menggunakan
persamaan (15), (16) dan (17)
7
  6  1
0, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1    1  3 2, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0 
x1  
  13
   13

 1  2 
 2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1

  13

 6 13 , 11 13 , 17 13 , 11 13 , 25 13 ,  8 13 , 17 13 ,  8 13
 2  3
0, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1   3  2 2, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0 
x2  
  13
   13

  1  1
 2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1

  13

  19 13, 1 13,  18 13, 1 13,  10 13,  8 13,  18 13,  8 13
 1  4 
0, 1, 1, 1, 2,  1, 1,  1   2  1 2, 1, 3, 1, 3, 0, 3, 0 
x3  
  13
   13

  2  1
 2, 0,  2, 0,  1,  1,  2,  1

  13

  19 13 , 5 13 ,  14 13 , 5 13 ,  5 13 ,  9 13 ,  14 13 ,  9 13
Jadi, solusi yang diperoleh pada cara 2 sama dengan solusi yang diperoleh pada
cara 1, yakni
 x 1  6 13 , 11 13, 17 13 , 11 13 , 25 13 ,  8 13 , 17 13 ,  8 13

 x    19 13 , 1 13,  18 13 , 1 13 ,  10 13 ,  8 13 ,  18 13 ,  8 13
 2 

 x 3   19 13 , 5 13,  14 13 , 5 13 ,  5 13 ,  9 13 ,  1 4 13 ,  9 13
4. UJI VALIDITAS SOLUSI
Dalam menguji validitas solusi ini dilakukan dalam 2 tahap:
Tahap 1. Mengembalikan solusi dalam bentuk parameter.
Solusi dalam bentuk 8 komponen dengan bentuk umum yakni



 x 1   x 1 0, d 1 0, x 1 1, d 1 1, x1 0, d 1 0, x1 1, d 1 1 

x  
x 2 0, d 2 0, x 2 1, d 2 1, x 2 0, d 2 0, x 2 1, d 2 1 
2


xi 


  



 
 x n   x n 0, d n 0, x n 1, d n 1, x n 0, d n 0, x n 1, d n 1 



8
19
Bentuk umun solusi dalam bentuk parameter yakni
 x 1  u 1 r , u1 r  
 x  u r , u r 
2
,
xi   2    2

  


  
 x n  u n r , u n r 
20
dengan membandingkan persamaan 19  dan 20 , diperoleh hubungan sebagai
berikut
u i 0  x i 0  a
u i 1  u i 1  x i 1  xi 1  b
21
u i 0  xi 1  c .
Dengan menggunakan persamaan 21 , solusi 8 komponen yang diperoleh pada
contoh dikembalikan dalam bentuk parameter, menjadi
 x 1  11 13r  6 13, 25 13  8 13r  
 x   1 13r  19 13,  10 13  8 13r .
 2 

 x 3  5 13r  19 13,  5 13  9 13r  
Tahap 2. Uji validitas solusi.
Maksud dari uji validitas solusi ini adalah menentukan apakah solusi yang
diperoleh valid atau tidak, artinya kalau solusi tersebut disubstitusikan ke
persamaan semula, maka hasilnya akan sama dengan ruas kanan.
Dengan menggunakan Definisi 3, Definisi 4 dan Definisi 5, maka:
i.
x1  x2  x3  11 13r  6 13, 25 13  8 13r  
1 13r  19 13,  10 13  8 13r  
5 13r  19 13,  5 13  9 13r 
 13 13r, 26 13 r  13 13
 r, 2  r 
ii. x1  2 x2  x3  11 13r  6 13, 25 13  8 13r  
21 13r  19 13,  10 13  8 13r  
5 13r  19 13,  5 13  9 13r 
 13 13 r  26 13, 39 13
 r  2, 3
9
iii. 2 x1  x2  3x3  211 13r  6 13, 25 13  8 13r  
1 13r  19 13,  10 13  8 13r  
35 13r  19 13,  5 13  9 13r 
  26 13,  13 13  13 13 r 
  2,  1  r 
Karena persamaan 18 terpenuhi, maka solusi yang diperoleh valid.
5. KESIMPULAN
Sistem persamaan linear fuzzy dalam bentuk A x~  ~y diselesaikan dengan
menguraikan ~y menjadi bentuk 8 komponen. Untuk menyelesaikannya dapat
dilakukan menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian skalar seperti pada
persamaan 13 dan 14 atau dapat juga diselesaikan dengan cara eliminasi atau
substitusi. Akan tetapi cara yang kedua ini kurang efisien karena memerlukan
perhitungan determinan yang sangat panjang, yang mana hanya baik digunakan
untuk sistem persamaan linear fuzzy 2  2 atau 3  3, sedangkan untuk sistem
persamaan linear fuzzy dengan ukuran yang lebih besar, lebih efisien digunakan
cara pertama.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Abbasbandy, S., R. Ezzati & A. Jafarian. 2006. LU Decomposition Method
For Solving Fuzzy System of Linear Equations. Applied Mathematics and
Computation, 172: 633-643.
[2]. Allahviranloo. T & . M. A Kermani. 2006. Solution of a Fuzzy Linear
Equation. Applied Mathematics and Computation. 175: 519-531.
[3]. Dubois, D & H. Prade. 1980. Fuzzy Sets and System: Theory and Application.
Academic Press, New York.
[4]. Huang, H. Y. 1975. A Direct Method for The General Solution of A System
of Linear Equation. Journal of Optimization Theory and Applications, 16:
429-445.
[5]. Guerra, M. L. & L. Stefanini. 2005. Approximate fuzzy arithmetic operation
using monotic interpolation. Fuzzy Sets and System, 150: 5-33.
[6]. Khezerloo, S. M. Montazeri, & Z. Valizadeh, 2010. A New Method for
Solving Fuzzy Linear System. International Journal of Industrial
Mathematics. 2: 97-104.
10