vi. metode analisis

METODE ANALISIS
1. Analisis Arus Cabang
Metode arus cabang adalah salah satu metode penyelesaian
analisis rangkaian bila rangkaian terdiri dari dua atau lebih sumber. Pada
metode arus cabang ini, akan diperoleh arus pada setiap cabang dari
suatu rangkaian yang disebut arus cabang. Dengan mengetahui arus
pada setiap cabang maka kuantitas yang lain seperti daya atau tegangan
dapat ditentukan. Langkah-langkah penyelesaian dengan metode arus
cabang adalah :
1. Tentukan arus dan arahnya untuk setiap cabang rangkaian
2. Polaritas untuk setiap resistansi ditentukan oleh arah arus yang
telah diasumsikan
3. Gunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan/beda potensial untuk
setiap lintasan tertutup
4. Gunakan hukum Kirchhoff tentang arus pada suatu simpul
5. Selesaikan persamaan linier sesuai asumsi arus-arus cabang
Contoh 1
Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan
metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Contoh 1
Jawab :
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
67

Loop acda :
4I3 – 2 + 2I1 = 0
2I1 + 4I3 = 2
..................................................(1)

Loop abca
-I2 + 6 - 4I3 = 0
I2 + 4I3 = 6
...................................................(2)

Simpul a
I1 + I2 - I3 = 0
I1 + I2 = I3
...................................................(3)

Substitusi persamaan (3) ke dalam persamaan (1) dan (2)
diperoleh,
2I1 + 4(I1 + I2) = 2 
6I1 + 4I2 = 2
:x5
I2 + 4(I1 + I2) = 6 
4I1 + 5I2 = 6
:x4
30I1 + 20I2 = 10
16I1 + 20I2 = 24 -----------------------14I1 = -14  I1 = -1 Amp ; I2 = 2 Amp ; I3 = 1 Amp
2. Analisis Mesh
Selain metode arus cabang, adapula metode yang dinamakan
analisis mesh. Istilah mesh dirturunkan dari loop tertutup dari suatu
rangkaian. Dari kedua metode tersebut metode analisis mesh yang paling
sering digunakan. Langkah-langkah penyelesaian dengan metode analisis
mesh adalah :
1. Tentukan arus untuk setiap lintasan tertutup/loop. Misal arah arus
searah dengan arah jarum jam
2. Jumlah persamaan yang diperlukan sama dengan jumlah lintasan
tertutup/loop yang bebas
3. Gunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan/beda potensial untuk
setiap lintasan tertutup
4. Selesaikan persamaan linier sesuai asumsi arus pada lintasan
tertutup
Contoh 2
Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan
metode analisis mesh untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
Jawab :
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
68
Gambar 2. Contoh 2
Dari Gambar 2, dapat dituliskan :

Loop 1 :
-2 + 2I1 + 4(I1 - I2 ) = 0
6I1 - 4I2 = 2
..................................................(4)

Loop 2 :
I2 + 6 + 4(I3 - I2) = 0
-4I1 + 5I2 = -6
...............................................(5)

Dari persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh,
6I1 - 4I2 = 2 : x 5 
-4I1 + 5I2 = -6 : x 4 
30I1 - 20I2 = 10
-16I1 + 20I2 = -24 +
-------------------------14I1 = -14
 I1 = -1 Amp ;
I2 = -2 Amp ; I4Ω = 1 Amp
3. Analisis Simpul/Node
Langkah-langkah penyelesaian dengan metode analisis simpul /
node adalah :
1. Tentukan jumlah simpul dari suatu rangkaian
2. Pilih simpul referensi dan beri label pada setiap simpul
3. Gunakan hukum Kirchhoff tentang arus pada setiap simpul kecuali
simpul referensi
4. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk tegangan simpul
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
69
Contoh 3 :
Tentukan arus yang mengalir pada tahanan 6 ohm dan 12 ohm dengan
menggunakan metode analisis simpul untuk rangkaian seperti pada
Gambar 3.
Gambar 3. Contoh 3
Jawab

Banyaknya simpul ada dua buah, I1 dan I2 didefinisikan sebagai
arus yang meninggalkan simpul V1

Simpul V1 : I – I1 - I2 = 0  I = I1 + I2

Dimana : I1 

Substitusi pesamaan (7) ke dalam persamaan (6), diperoleh
V1 = 20 volt ; I1 = - 0.667 Amp ; I2 = 1.667 Amp
V1 24
;
6
I2 
V1
12
....................................(6)
............................................(7)
4. Konversi Y - ∆ (T-π) dan ∆ - Y (π - T)
Bentuk rangkaian pada umumnya dapat dengan mudah
disederhanakan menjadi satu impedansi atau admitansi, namun adapula
rangkaian dimana tidak tampak sebagai hubungan seri atau paralel. Untuk
hubungan yang terakhir ini tidak dapat disederhanakan secara langsung
menjadi satu impedansi atau admitansi dan bentuk rangkaiannya biasa
disebut rankaian tiga ujung. Pada rangkaian tiga ujung ini terdapat tiga
cabang. Rangkaian tiga ujung dalam bentuknya yang sederhana tampil
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
70
sebagai rangkaian hubung bintang (Y) atau T dan rangkaian hubung delta
(∆) atau pi (π) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Bentuk rangkaian tiga ujung
Rangkaian hubung bintang (Y) dapat diganti dengan rangkaian
hubung (∆) yang setara dengannya, dan demikian pula sebaliknya sebuah
rangkaian hubung (∆) dapat diganti dengan rangkaian hubung bintang (Y)
setaranya.
Konversi Hubung Bintang  Hubung Delta
Suatu rangkaian hubung delta dikatakan setara dengan suatu
rangkaian hubung bintang, dan demikian pula sebaliknya suatu rangkaian
hubung bintang setara dengan suatu rangkaian hubung delta, bila
tegangan antar ujung-ujung dan arus dari setiap ujung yang sealamat
pada kedua rangkaian sama. Terhadap ujung-ujung rangkaian, rangkaian
dapat diganti dengan rangkaian setaranya tanpa mempengaruhi tegangan
dan arus pada ujung-ujung tersebut.
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
71
Gambar 5. Kesetaraan rangkaian Y dengan ∆
Perhatikan Gambar 5, biarkanlah rangkaian hubung bintang setara
dengan hubung delta sehingga Vab, Vbc, Vca di kedua rangkaian sama,
demikian pula halnya dengan Ia , Ib dan Ic .
Pada rangkaian hubung delta :
Ia = Iab – Ica
Ib = Ibc – Iab
Ic = Ica – Ibc
…………………………………………...…(8)
Demikian pula :
Iab 
Vab
,
Z ab
Ibc 
Vbc
,
Z bc
Ica 
Vca
Z ca
Sehingga persamaan (8) dapat dituliskan sebagai :
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
72
Ia 
Vab Vca

Z ab Z ca
Ib 
Vbc Vab

Z bc Z ab
Ic 
Vca Vbc

Z ca Z bc
..........................................................................(9)
Pada rangkaian hubungan bintang, terlihat bahwa :
Vab = Ia Za – Ib Zb
Vbc = Ib Zb – Ic Zc
Vca = Ic Zc – Ia Za
………....………………………………….....(10)
Pada simpul n, haruslah
Ia + Ib + Ic = 0, atau Ic = -Ib – Ia ……………………………………..(11)
Gunakan persamaan (11) untuk mengganti Ic pada persamaan terakhir
dari persamaan (10) :
Vca = (-Ia – Ib ) Zc – Ia Za = - (Za + Zc) Ia – Zc Ib ............................(12)
Gabungkan persamaan (12) dengan persamaan pertama dari (10) :
- (Za + Zc) Ia – Zc Ib = Vca
Za
Ia – Zb Ib = Vab
Vca  Z c
Didapat : Ia 
Vab  Z b
 (Z a  Z c )
Za
 Zc

Vab Z C  Vca Z b
Za Zb  Zb Zc  Zc Za
 Zb
Persamaan pertama dari (9) :
Ia 
Vab Vca

Z ab Z ca
Dengan jalan membandingkan kedua persamaan untuk Ia ini, haruslah
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
73
Z ab 
Za Zb  Zb Zc  Zc Za
, dan
Zc
……………………………(13)
Z Z  Zb Zc  Zc Za
 a b
Zb
Z ca
Dengan jalan yang sama dapat diperoleh :
Ib 
Vbc Z a  Vab Z c
Za Zb  Zb Zc  Zc Za
dan bila dibandingkan dengan persamaan kedua dari (9) :
Ib 
Vbc Vab

Z bc Z ab
Maka haruslah :
Z bc 
Za Zb  Zb Zc  Zc Za
Za
……………………………….(14)
Konversi Hubung Delta  Hubung Bintang
Rumus pada persamaan (13) dan (14) adalah rumus penggantian
rangkaian hubung bintang dengan setaranya rangkaian hubung delta
pada ujung a,b dan c. Selanjutnya diturunkan rumus untuk penggantian
rangkaian hubung delta dengan setaranya rangkaian hubung bintang
pada ujung a, b dan c.
Biarkanlah
Za Zb + Zb Zc + Zc Za = α . Persamaan-persamaan (13) dan
(14) menjadi :
Z ab 
α
Zc
Z bc 
α
Za
Za 
α
Z bc
Zb 
α
Z ca
Z ca 
Zc 
α
Zb
atau
α
………………………….(15)
Z ab
Jadi,
Za Zb 
α2
α2
α2
, Zb Zc 
, Zc Za 
Z bc Z ca
Z ca Z ab
Z ab Z bc
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
74
 1
1
1
Z a Z b  Z b Z c  Z c Z a  α 2 


 Z bc Z ca Z ca Z ab Z ab Z bc
 1
1
1
α 


 Z bc Z ca Z ca Z ab Z ab Z bc

  1

 Z 2 ab Z bc Z ca  Z 2 bc Z ca Z ab  Z 2 ca Z ab Z bc
α 
Z 2 ab Z 2 bc Z 2 bc

 Z  Z bc  Z ca
α  ab
 Z Z Z
ab
bc
ca

α 

  α


1



 1


jadi
Z ab Z bc Z ca
Z ab  Z bc  Z ca
Dengan demikian persamaan-persamaan (15) menjadi :
Za 
Zb 
Zc 
Z ab Z ca
Z ab  Z bc  Z ca
Z bc Z ab
………………………………………..(16)
Z ab  Z bc  Z ca
Z ab
Z ca Z bc
 Z bc  Z ca
Persamaan-persamaan (16) adalah rumus penggantian rangkaian hubung
delta menjadi rangkaian hubung bintang. Pada umumnya persamaan (16)
lebih banyak dibutuhkan daripada persamaan (13) dan (14) karena pada
umumnya penggantian hubung delta menjadi hubung bintang akan lebih
mempermudah analisis rangkaian, dan tidak sebaliknya.
Untuk kondisi dimana semua nilai baik hubung delta atau bintang adalah
sama yaitu Zab = Zbc = Zca maka
Za 
Z ab Z bc
Z ab  Z bc  Z ca

Z ab Z ab
Z ab  Z ab  Z ab

2
Z ab
Z
 ab
3 Z ab
3
Dengan prosedure yang sama diperoleh,
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
75
Zb  Zc 
Z ab
3
Dalam bentuk umum adalah :
ZY 
ZΔ
3
atau
Z Δ  3 Z Y ...............................................(17)
Contoh 4 :
Tentukanlah resistansi total dari rangkaian pada Gambar 6.
Gambar 6. Contoh 4
Jawab
a. Konversi hubung bintang menjadi hubung delta
b. Konversi hubung delta menjadi hubung bintang
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
76