Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Matematika Wajib Semester 1
BAB 2
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
MATERI
A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI
MUTLAK
Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif disebut dengan harga mutlak atau
nilai mutlak.
1. Nilai Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0).
Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.
Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3
Jarak angka 3 dari titik 0 adalah 3
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai
positif.
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak.
Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Misalnya seperti berikut.
a. Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari sebarang nilai
bilangan real, yang dinotasikan dengan | |, Secara
umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.
𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0
| |=
−𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
Edited by Agustina
Page 1
Matematika Wajib Semester 1
Contoh 1:
1. Nilai mutlak dari 2 adalah | | = 2 karena 2 ≥ 0
2. Nilai mutlak dari 0 adalah |0| = 0 karena 0 ≥ 0
3. Nilai mutlak dari -3 adalah |− | = −(− ) = 3 karena−
<0
Dari definisi nilai mutlak di atas dapat diperluas sehingga diperoleh definisi berikut.
|
𝑎𝑥
|=
𝑏 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑥
−(𝑎𝑥
𝑏 ≥0
𝑏 )𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑥
𝑏 <0
Contoh 2:
|
𝑥
|=
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥
−( 𝑥
≥0
)𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥
<0
Contoh 3:
A. Tentukan nilai mutlak bilangan berikut.
1. | |
2. |− |
Jawaban:
1. | | = 7
2. |− | = −(− )
B. Tentukan hasil operasi berikut.
1. | 0|
2. |
|− |
| − |− |
Jawaban:
1. | 0|
2. |
|− | =10
(−(− )) = 10 + 4 = 14
| − |− | = | 0| − |− | = 20 −(−(− )) = 20 − = 17
C. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak di bawah ini.
1. |
|
2. |
3. |
4. |
|
|
|
−
Jawaban:
Bentuk-bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada
prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di
ruas kiri.
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) x + 5 = 3 , maka x = 3 - 5 = -2
Edited by Agustina
Page 2
Matematika Wajib Semester 1
(**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}
2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5 , maka 2x = 5 - 3
2x = 2 <==> x = 1
(**) 2x + 3 = -5 , maka 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}
3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai
mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan
≥ 0 atau
Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau
≥−
<−
Mari kita selesaikan.
(*) untuk
≥−
Persamaan mutlak dapat ditulis:
(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 - 1
3x = 6
x = 2 (terpenuhi, karena batasan ≥ − )
(**) untuk
<−
Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x - 1 + 2x = 7
x=7+1
x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < − )
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.
4. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan
nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4≥ 0 atau x≥-4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x ≥-4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis:
(3x + 4) = x - 8
Edited by Agustina
Page 3
Matematika Wajib Semester 1
3x - x = -8 - 4
2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan ≥ -4/3)
(**) untuk x < -4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(3x + 4) = x - 8
-3x - 4 = x -8
-3x - x = -8 + 4
-4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)
Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.
b. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
1. |− | = | |
2. −| |
| |
3. | | = √
4. | | = |−
|=
5. Untuk sebarang
,
bilangan real dan
a)
Jika | |
maka −
b)
Jika | | ≥
maka
6. Untuk sebarang
a)
Jika | |
b)
| − 𝑦|
c)
Jika | |
d)
| 𝑦| = | ||𝑦|
e)
| | = | |, y
f)
|
g)
| | − |𝑦|
𝑦|
,𝑦
−
0, berlaku sebagai berikut.
≥
bilangan real berlaku sebagai berikut.
|𝑦| maka
𝑦
|𝑦 − |
|𝑦| maka
𝑦
0
| | + |𝑦|
Edited by Agustina
| − 𝑦|
Page 4
Matematika Wajib Semester 1
Latihan Siswa
1. |
|− | − 0|
.−
.
.−
.
.
2. Hasil dari
|
|
− |− |
.−
.
.− 0
.
.−
3. Nilai
yang memenuhi | |
.− 0
.
.−
.
0 adalah…
−
0
− 0
. 0
4. Jika |
, nilai k yang memenuhi adalah…
|
.−
.−
−
.−
.
5. Penyelesaian persamaan |
.0
0
0
adalah…
|
.0
−
.0
− 0
.0
c. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
1. Definisi Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya di dalam
tanda mutlak. Contoh pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak.
a. | − |
b. | − |
2. Penyelesaian Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak
Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari
variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.
Contoh:
Penyelesaian | − |
adalah −
karena nilai nilai
pada interval −
membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.
Untuk
= − diperoleh |− − |
Untuk
= 0 diperoleh |0 − |
Untuk
=
diperoleh | − |
Edited by Agustina
(
0
)
(
)
(
), dan seterusnya
Page 5
Matematika Wajib Semester 1
3. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak,
gunakan pengertian dari sifat-sifat nilai mutlak berikut.
Untuk sebarang
1. Jika | |
0
−
2. Jika | | ≥
−
≥
Contoh:
Tentukan nilai
yang memenuhi:
1) | − |
2) | − |
Jawab
1) Berdasarkan sifat “jika | |
Jika | − |
maka −
−
”, diperoleh:
−
−
−
−
−
−
Jadi nilai
yang memenuhi | − |
2) Berdasarkan sifat “jika | |
Jika | − |
maka( − ) < −
( − )<−
adalah −
”, diperoleh:
<−
( − )
( − )
<−
Jadi nilai
yang memenuhi | − |
adalah
<−
Latihan Siswa
1. | |
2. |𝑦|
3. |
4. |−
− |
|
Edited by Agustina
Page 6
Matematika Wajib Semester 1
TUGAS BERKELOMPOK
1. Jika |
𝑦− |
| 𝑦
|, nilai y yang memenuhi adalah…
2. Himpunan penyelesaian persamaan |
− |−
3. Nilai q yang memenuhi |−
0
− 00|
0
4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan |𝑦| <
5. Penyelesaian pertidaksamaan |
−
6. Jika − |
𝑦
Edited by Agustina
−
|<−
0
|
Page 7