Deret bilangan kompleks

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah ini dapat kami selesaikan.
Shalawat dan salam senantiasa dihanturkan pada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW
dan keluarganya.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas matakuliah analisis kompleks, makalah ini
memuat materi tentang Deret bilangan kompleks yang diambil dari beberapa sumber.
Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan
sebaik-baiknya. Namun ibarat pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Kami menyadari
masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi
peningkatkan dan penyempurnakan makalh ini.
Akhirnya semoga makalah ini dapat member manfaat bagi para mahasiswa khususnya
yang mengikuti mata kuliah Analisis Kompleks. Amin .
Jakarta,
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar belakang
Analisis komples adalah salah satu mata kuliah di program studi
pendidikan matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang
berhubungan dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku,
fungsi bilangan kompleks, dan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari tentang
deret bilangan kompleks. Untuk lebih memahami deret bilangan kompleks
beserta teorema dan aturan yang berlaku dalam deret bilangan kompleks itu
sendiri maka dosen member tugas pembuatan makalah mengenai deret
bilangan kompleks. Oleh sebab itu penulis membuat makalah ini untuk lebih
memahami mengenai deret bilangan kompleks sekaligus menyelesaikan tugas
dari dosen.
B.
Rumusan masalah
Berdasarkan latar belakang maka dibuat rumusan masalah sebagai berikut :
-
Apa itu Deret bilangan kompleks ?
-
Apa saja teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret bilangan kompleks
?
C.
Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah tujuan dari pembuatan makalah ini
adalah untuk mengetahui apa itu Deret bilangan kompleks beserta teorema dan
aturan yang berlaku dalam Deret bilangan kompleks.
BAB II
DERET BILANGAN KOMPLEKS
Deret bilangan kompleks merupakan penjumlahan suku-suku pada barisan
bilangan kompleks.
Deret bilangan kompleks dinotasikan

z
n 1
n
 z1  z 2  z 3  ...  z n  ...
dengan suku-suku deret yaitu z1 , z 2 , z3 ,.
Misalkan,
S1  z1
merupakan jumlah suku pertama
S 2  z1  z 2
merupakan jumlah dua suku pertama
S3  z1  z 2  z3
merupakan jumlah tiga suku pertama

S n  z1  z 2    z n
merupakan jumlah n suku pertama
Jika barisn S n  mempunyai limit diperoleh jumlah tak berhingga
z1  z2  z3  ...  zn  ...
Jadi dalam symbol dituliskan

lim S n =  z n
n 
1.
n 1
Deret konvergen
Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau tidak adanya limit
barisan jumlah bagiannya. Kekonvergenan deret tersebut disajikan pada definisi
berikut ini :
Definisi 1 :

-
Deret
 zn
n 1
konvergen ke S jika dan hanya jika lim S n  S
n 

-
Deret
 zn
n 1
divergen ke S jika dan hanya jika lim S n tidak ada.
n 
Contoh :

 5i  5i 5i 5i
, , ,... dibentuk deret
Dari barisan  n  =
2 4 8
2 
5i
2
n 1
n
. Tentukanlah
apakah deret tersebut konvergen atau divergen!
Penyelesaian :

5i
=
n
n 1 2
lim S n = 
n 

1
 5i 2
1
n 1

1
1
1

 3  ...  ...
2
2n
2
2

Bagian ruas kanan yang didalam kurung merupakan deret geometri
dengan suku pertama a 
1
1
dan r  dan jumlah tak hingganya adalah
2
2
a
=1.
1 r

Maka diperoleh limit lim S n = 5i . Jadi deret
n 
2.
5i
2
n 1
n
konvergen ke 5i .
Uji konvergensi pada deret bilangan kompleks
a. Teorema konvergensi
TEOREMA 6.2.2
Diberikan deret bilangan kompleks
(a)
dengan
konvergen jika dan hanya jika
(b)
konvergen, maka
(c)
konvergen mutlak, maka
maka
;
dan
konvergen.
.
konvergen, artinya jika
konvergen.
Teorema di atas hanya akan dibuktikan bagian (a) dan (b),
sedangkan bagian (c) diberikan kepada para pembaca sebagai latihan.
Bukti (a):
misalkan
deret
konvergen
ke
. Akan ditunjukan bahwa deret
dan deret
,
sehingga
konvergen ke
konvergen ke . Menurut definisi diperoleh,
Akibatnya diperoleh,
dan
Karena
dan
bagian dari
berturut-turut merupakan jumlah
dan
, maka
dan
konvergen.
misalkan
konvergen ke
tunjukan
dan
konvergen
konvergen ke
ke
.
Akan
Karena
, menurut teorema diperoleh
Karena
, diperoleh
Jadi terbukti bahwa
konvergen.
Bukti (b):
Diberikan bilangan
sebarang. Akan dibuktikan
berarti terdapat bilangan asli
Diketahui
sehingga jika
berlaku
konvergen, berarti terdapat bilangan kompleks
sehingga berlaku
Jadi untuk setiap bilangan
berlaku
terdapat bilangan asli
dan
Menurut ketaksamaan segitiga, diperoleh
Jadi terbukti bahwa
sehingga jika
b. Uji Rasio
Teorema 6.2.4 (Uji Ratio):
Diberikan deret dengan suku-suku tak negative
(a) Jika L < 1, maka
konvergen
(b) Jika L > 1, maka
divergen
dan
.
(c) Jika L = 1, maka pengujian gagal (deret dapat konvergen atau divergen)
Bukti:
(a) Diberikan bilangan
sebarang. Karena
untuk setiap n, maka L
> 0.
Diketahui L < 1. Dipilih bilangan real r sehingga L < 2 < 1.
Kemudian diambil
Karena
, terdapat bilangan asli
Diperoleh jika
berlaku
sehingga jika
………………… (*)
atau
Diambil
berlaku
sehingga dari (*) diperoleh
………………….
…………………… (**)
Deret
adalah deret konvergen, karena merupakan deret geometri
dengan ratio r < 1.
Dari (**) dan menggunakan uji banding, diperoleh bahwa deret
konvergen.
Deret
Jadi deret
mutlak.
berbeda dari deret
dalam
suku pertama.
konvergen sehingga deret yang diberikan konvergen
(b)
Karena
, dan L > 1, maka
Hal ini berarti untuk setiap bilangan
.
terdapat bilangan
sehingga
jika
berlaku
.
Perhatikan bahwa
Diambil
jika dan hanya jika
,
sehingga diperoleh
……………………………
Jadi jika
, berlaku
Karena
(c)
. Akibatnya
, diperoleh deret
Misalkan deret
Deret
divergen.
, diperoleh
konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk
Jadi deret
.
.
dapat konvergen dan dapat juga divergen, sedangkan yang
divergen memenuhi
.
Contoh :
Tunjukkan bahwa deret
konvergen dengan menggunakan uji ratio.
Penyelesaian:
Misalkan
, maka
Diperoleh,
Jadi menurut uji ratio, diperoleh bahwa deret tersebut konvergen mutlak.
c. Uji Akar
Diberikan deret dengan suku-suku tak negative
lim
n
n 
lim
n
n 
dan
zn  L .


 L  1,  z n konvergen mutlak
n 1



 L   L  1,  z n divergen
n 1

 L  1, uji gagal


zn
Contoh :

Tunjukkan bahwa deret
n 1
 2 .n
n 1
n
konvergen dengan menggunakan uji akar .
Penyelesaian :
Berikut akan dipaparkan menggunakan uji akar. Kesimpulan dari uji akar ini sama
dengan uji rasio.
1
n 1
1  n  1 n
  lim n n = lim 

n 
2 .n n 2  n 
n 1
n 1
Perhatikan bentuk
di atas, jika n   maka
= 1. Perhatikan juga bentuk
n
n
1
1
. Jika n   maka = , sehingga limit diatas memiliki bentuk :
n
n
1
1  n  1 n 1 0 1
lim 
 = x1 =
n  2
2
 n  2

Karena nilai limitnya < 1, maka deret
n 1
 2 .n
n 1
n
konvergen.
d. Uji Integral

Andaikan
z
n 1
n
adalah deret suku-suku tak negative dan andaikan bahwa fungsi
y  f x  didapat dari pengganti n pada suku umum deret dengan peubah kontinu


x, maka deret
z
n 1
n
akan konvergen jika hanya jika
 f x dx juga konvergen.
1
Dari kalkulus :


a
f x dx = lim
b 
b
 f x dx
a
Apa bila limit pada ruas kanan bernilai terhingga, maka integral tak wajar tersebut
konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit tadi. Jika tidak maka
integral tersebut divergen.
Contoh :

Tunjukanlah bahwa deret
1
n
n 1
merupakan deret konvergen dengan melakukan
2
uji integral.
Penyelesaian :
Coba lakukan pengujian dengan uji rasio, maka akan diperoleh hasil perhitungan
L  1 , dengan demikian kita tidak dapat menentukan apakah deret tersebut
konvergen atau divergen dengan uji rasio. Inilah saatnya menggunakan uji
integral. Lihat penjelasan teori diatas mengenai uji integral. Kita ubah notasi n
menjadi peubah kontinu x sehingga diperoleh
f x  
1
. Kita lakukan
x2
pengintegralan terhadap fungsi kontinu ini


1
1
 1 1
1 x 2 dx   x 1     1   0  1  1
Integral fungsi ini bersifat konvergen (ada hasilnya) dengan demikian deret

1
n
n 1
2
konvergen
e. Uji Deret berganti tanda

Diketahui suatu deret
  1
n 1
n
z n , dengan z n  0
Andaikan : lim z n  0
n 
z n 1  z n
Untuk setiap n yang lebih besar dari suatu bilangan bulat M tertentu, maka deret
yang diketahui tersebut konvergen.
Contoh

Tunjukanlah bahwa deret
in
merupakan deret konvergen dengan

2
n 1 n  i
melakukan uji deret berganti tanda.
Penyelesaian :
Kita lakukan uji rasio pada deret diatas
i n 1
n2  i
i n2  i
in 2  1
L  lim
x

lim

lim
i
n  n  12  i
n  n  12  i
n  n 2  2 n  1  i
in


Berarti L  i  1 . Karena L  1 , maka kita tidak dapat mengetahui apakah deret
tersebut konvergen atau divergen. Dengan demikian kita harus menggunakan uji
lain. Kita uji dengan pembanding sekali lagi, syaratnya harus hati-hati dalam
memilih deret pembanding.

in
- Untuk kasus ini kita pilih  2 sebagai deret pembanding.
n 1 n
Namun bagaimana kita menguji deret ini ? coba kita uraikan deret ini

in i 1  l 1
 

  ...

2
1 4
9 16
n 1 n
Tempat pada bagian pembilang berubah tanda dari i,1,i,1 . Dengan demikian uji
deret berganti tanda merupakan uji yang paling tepat untuk deret ini. Lihat lagi
teorema untuk deret berganti tanda.

in
Pada deret  2 yang membuat berganti tanda adalah i n , dengan demikian
n 1 n
1
pemeriksaan dilakukan terhadap bagian 2 .
n

in
1
1
1
Ternyata lim 2  0 dan
konvergen.


2
n  n
n  12 n 2 
n 1 n

in
konvergen, sementara

2
n 1 n
juga konvergen.
Karena

in
in
, maka deret



2
2
n 1 n  i
n 1 n


in

2
n 1 n  i
f. Uji Banding
TEOREMA 6.2.3 (Uji Banding)
Diberikan
untuk setiap
(a) Jika
konvergen, maka
(b) Jika
divergen, maka
konvergen (mutlak)
divergen.
Bukti:
(a)
Diketahui
dan
konvergen mutlak. Misalkan
dan
Karena
konvergen. Akan dibuktikan
adalah barisan jumlah bagian untuk deret
adalah barisan jumlah bagian untuk deret
.
konvergen, berarti terdapat bilangan real M sehingga
. Karena
, diperoleh
untuk setiap
.
Karena barisan
berlaku
sebagai jumlah bagian dari deret
untuk suatu bilangan real
, sehingga
Akibatnya
konvergen.
(b) Diketahui
dan
divergen. Akan dibuktikan
divergen. Andaikan deret
konvergen. Karena
dari (a) diperoleh barisan deret
sehingga
konvergen. Hal ini bertentangan
dengan hipotesis yang diketahui jadi pengandaian di atas salah, haruslah deret
divergen.
Contoh :
Ujilah
kekonvergenan
deret
dengan
menggunakan uji banding.
Penyelesaian:
Diketahui:
Bentuk umum deret di atas adalah
,
Kita buat fungsi pembandingnya yaitu
Sehingga berdasarkan definisi adalah
Kemudian deret
.
konvergen.
Bukti:
gunakan integral, maka:
(terbukti)
Karena
konvergen, maka berdasarkan uji banding diperoleh
bahwa deret
juga konvergen
Latihan soal-soal :
1. Tentukanlah apakah deret bilangan kompleks dibawah ini konvergen
atau divergen :
a.

1  2i n
n 1
n!


b.
1
 nn  1
n 1
3  i 2 n

2n !
n 1

c.

i
d.   
n 1  2 

e.
i 2n

n 1 n
 n 1
Daftar Pustaka
Ekowati. CK 2010. Bahan Ajar Mandiri Kompleks. Kupang: Universitas Nusa
Cendana.
http//:diktat-anakom.pdf
Gunawan Wibisono dan John D. Paliouras. 1987. Peubah Kompleks Untuk Ilmuan
Dan Insinyur. Penerbit:Erlangga.