BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET
Masalah 1: Deposito
• Bapak Anton ingin mendepositokan
uangnya sebesar Rp.10.000.000,00
dengan bunga 6% setahun.
– Berapa uang dari Bapak Anton setelah 1
tahun, 2 tahun, dan 3 tahun?
– Secara umum, berapa uang dari Bapak Anton
setelah n-tahun?
Masalah 2:
Pertumbuhan Populasi Kelinci
• Tuan Leonardo da Pisa mempunyai sepasang
anak kelinci. Anak kelinci akan menjadi kelinci
dewasa dalam waktu dua bulan. Setiap bulan,
setiap pasang kelinci dewasa akan melahirkan
sepasang anak kelinci. Diasumsikan bahwa
tidak ada kelinci yang mati.
– Tentukan banyak pasangan kelinci yang dimiliki oleh
Tuan Leonardo pada bulan kesatu, kedua, ketiga,
keempat, dan seterusnya?
– Secara umum, berapa pasang kelinci yang dimiliki
oleh Tuan Leonardo pada bulan ke-n?
Masalah 3: Pertumbuhan Bakteri
• Diketahui bahwa setiap 15 menit suatu sel
tunggal dari bakteri membelah diri menjadi
dua sel.
– Tentukan jumlah sel setelah 4 jam berikutnya.
– Secara umum, tentukan jumlah sel setelah n
kali pembelahan (periode)?
Masalah 4: Pemotongan Pita
• Anita mempunyai pita sepanjang 1 meter. Pita
tersebut kemudian dipotong menjadi dua bagian
yang sama panjang. Satu bagian pita dipotong
lagi menjadi dua bagian yang sama panjang.
Pemotongan satu bagian pita menjadi dua
bagian tersebut dilakukan secara terus
menerus.
– Berapa panjang pita setelah pemotongan yang
kesatu, kedua, ketiga, dan seterusnya?
– Secara umum, berapa panjang pita setelah
pemotongan yang ke-n?
– Apakah Anita selalu dapat memotong pita secara
terus menerus?
Tujuan:
• menentukan suku-suku dari barisan yang
suku umumnya telah diketahui,
• mencari pola dari suatu barisan dan
menentukan suku umumnya, dan
• menentukan kekonvergenan dari suatu
barisan.
EKSPLORASI (1)
Setelah
... Tahun
1
2
3
4
…
n
Jumlah Uang Deposito
Bapak Anton (dalam Rp)
EKSPLORASI (2)
•
•
•
•
Secara berurutan, jumlah uang deposito dari
Bapak Anton setelah 1 tahun, 2 tahun, 3
tahun, 4 tahun, dan seterusnya sampai ntahun adalah
..........., .........., ..........., ............, ... , .........
Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu
barisan
Setiap bilangan (unsur) tersebut disebut suku.
Karena barisan tersebut terdiri dari n suku,
maka barisan tersebut disebut barisan hingga
(finite sequence).
EKSPLORASI (3)
• lengkapilah diagram berikut:
f
1
2
3
4
…
n
EKSPLORASI (4)
• Simpulan:
1. Barisan hingga adalah suatu fungsi ………..
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
2. Barisan hingga adalah suatu fungsi ………..
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI (1)
•
Kadek adalah seorang anak yang rajin
dan hemat. Setiap hari Kadek menabung
uang jajannya sebesar Rp 1.000,00.
Setelah 10 hari tabungan Kadek menjadi
Rp 10.000,00.
– Berapa banyak tabungan Kadek pada hari
ke-2, ke-3, ke-4, dan seterusnya?
– Tentukan barisan bilangan yang terjadi?
– Bagaimana bentuk umum suku ke-n dari
barisan tersebut?
– Tuliskan ciri-ciri dari barisan tersebut?
BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI (2)
•
Gloria memperoleh suatu pekerjaan dengan
upah awal Rp 5.000,00 per jam. Setiap 2
bulan, upah tersebut akan dinaikkan Rp
500,00 per jam dalam waktu 5 tahun.
–
–
–
–
Berapa upah Gloria per jam pada akhir bulan ke-2,
ke-4, ke-6, tahun pertama, kedua, ketiga, keempat,
dan kelima?
Tentukan barisan bilangan yang terjadi?
Bagaimana bentuk umum suku ke-n dari barisan
tersebut?
Tuliskan ciri-ciri dari barisan tersebut?
BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI (3)
•
Bapak Anton sangat menyayangi anak semata
wayangnya yang baru lulus SMA. Bapak Anton
ingin membelikan anaknya sepeda motor,
tetapi Bapak Anton tidak mempunyai uang.
Oleh karena itu Bapak Anton meminjam uang
di bank sebesar Rp. 10.000.000,00 dengan
bunga 0,5% per bulan.
–
–
–
–
Berapa utang Bapak Anton setelah bulan ke-2, ke3, ke-4, dan seterusnya?
Tentukan barisan bilangan yang terjadi?
Bagaimana bentuk umum suku ke-n dari barisan
tersebut?
Tuliskan ciri-ciri dari barisan tersebut?
BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI (4)
Tugas Kelompok:
•
Perhatikan barisan bilangan berikut
a1 , a2 , a3 ,, an ,
dengan sebagai suku ke-n dari barisan tersebut.
•
Jika barisan tersebut merupakan suatu barisan
aritmetika, maka tentukan ciri-ciri dan bentuk umum
suku ke-n dari barisan tersebut.
•
Jika barisan tersebut merupakan suatu barisan
geometri, maka tentukan ciri-ciri dan bentuk umum
suku ke-n dari barisan tersebut.
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI (1)
• Masalah 1:
• Satu bola pingpong dijatuhkan dari
ketinggian 16 kaki dan bola tersebut selalu
memantul kembali dengan ketinggian dari
ketinggian sebelumnya. Berapa jarak yang
ditempuh oleh bola pingpong tersebut?
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI (2)
• Masalah 2:
• Kota Beijing sebagai tempat penyelenggaraan Olimpiade
Olahraga Dunai Tahun 2008 mempunyai efek ekonomi
yang sangat signifikan. Diasumsikan bahwa 45.000
orang telah mengunjungi kota tersebut dan setiap
pengunjung tersebut menghabiskan uang sebesar $600
selama mereka berada di Beijing. Dimisalkan pula
bahwa 80% dari uang tersebut juga dihabiskan di kota
Beijing, dan kemudian 80% dari uang tersebut juga
dihabiskan di kota tersebut, dan demikian seterusnya.
Hal ini disebut dengan efek pengganda ekonomi
(economic multiplier effect). Tentukan efek ekonomi
total tersebut.
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI (3)
• Tugas:
• Perhatikan deret aritmetika
1 + 2 + 3 + … + 100 + … + n + …
• Tentukan jumlah 99 suku pertama dari
deret aritmetika tersebut.
• Tentukan jumlah n suku pertama dari
deret aritmetika tersebut.
• Apakah deret aritmetika tak hingga
mempunyai nilai?
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI (4)
Tugas:
• Perhatikan deret geometri
2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …
• Tentukan jumlah 10 suku pertama dari
deret geometri tersebut.
• Tentukan jumlah n suku pertama dari
deret geometri tersebut.
• Apakah deret geometri tak hingga (2)
mempunyai nilai? Jelaskan.
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI (5)
•
•
•
Tugas Kelompok:
Perhatikan barisan aritmetika dengan
suku pertama a dan beda b berikut.
a, (a+b),(a+2b),(a+3b),…, (a+(n-1)b)
Jumlah n suku pertama dari barisan
tersebut adalah
S n  a1  (a1  b)  (a1  2b)  (a1  3b)    (a1  (n  1)b).
•
Tentukan rumus umum dari
Sn
tersebut.
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI (6)
Tugas Kelompok:
•
Perhatikan barisan geometri dengan suku pertama a1
dan rasio r berikut.
a1 , a1 r , a1 r 2 , a1 r 3 , , a1 r n 1 , 
•
Jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah
•
•
•
Tentukan rumus umum dari S tersebut.
Sn .
Tentukan nilai lim
n 
Tentukan syarat dari rasio r agar nilai limit tersebut
ada dan hingga.
Jika nilai limit tersebut ada, maka jumlah dari deret
geometri tak hingga juga akan ada. Dengan kata lain
diperoleh
•
S n  a1  a1 r  a1 r 2  a1 r 3    a1 r n 1 .
n
a1  a1r  a1r 2  a1r 3    a1r n1    lim S n
n