File

Pola dan Barisan Bilangan
Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Pola bilangan yaitu
susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat
susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).
Pola Bilangan
1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang
Dalam pola persegi panjang biasanya terdiri dari kumpulan noktah berjumlah 2, 6, 12,
dst. Untuk menentukan pola-pola bilangan tersebut kita dapat menggunakan rumus Un =
n (n+1) dimana n adalah bilangan bulat bukan negatif.
2. Pola Persegi
Pola ini memiliki bentuk kumpulan noktah menyerupai persegi dengan sisi-sisi yang
sama besar. Perhatikan polanya. Kemudian kita dapat memperoleh pola-pola bilangannya
yaitu : 1, 4, 9 dst di lihat dari jumlah noktah dalam susunan pola. Andaikan kita ingin
mengetahui pola-pola bilangan persegi dapat kita lakukan dengan menggunakan rumus
Un = n2 dengan n adalah bilangan bulat positif.
3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)
Dalam membentuk pola ini dibutuhkan kumpulan noktah yang berbentuk segitiga sama
sisi. Terdapat dua cara dalam menentukan pola segitiga, yaitu:
Cara 1: dengan cara mengikuti pola berikut ini
Kita mulai dengan angka 1 yang kemudian ditambahkan angka setelah angka satu yaitu 2
yang menghasilkan 3 dan 3 ditambahkan dengan 3 dimana tiga adalah bilangan setelah
dua yang kemudian hansil jumlahnya 6, 6 dijumlahkan dengan bilangan berikutnya dari 3
dan menghasilkan 10, 10 dijumlahkan lagi denagn bilangan setelah empat yaitu lima akan
menghsilkan 15 dan begitu seterusnya.
Cara 2: pola bilangan segitiga anara lain1, 3, 6,10 dst. Bilangan tersebut dapat diperolah
dengan cara ke-2 yaitu menentuak pola segitiga dengan menggunakan rumus Un = n/2
(n+1). Sehingga dihasilkan bentuk seperti dibawah ini dengan urutan-urutan bilangannya.
4. Pola Kubus
Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3
5. Pola bilangan ganjil dan genap
Pada pola ini bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya
ditambah dua.
a. Pola bilangan ganjil
 Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal
 Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
b. Pola bilangan genap
 Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal
 Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1
7. Pola Bilangan Fibonaci
Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan
tertentu. Yang biasanya dilambangkan Un.
Barisan bilangan biasanya ditulis :
U1, U2,`U3, . . . . , Un
Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . .
Perhatikan bentuk penulisan barisan bilangan dimana U1 adalah suku pertama, U2 adalah
suku ke-2, dan seterusnya hingga Un yang disebut suku ke-n
Contoh :
Barisan 0,2,4 berarti:
U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4
(menambahkan 2 pada suku sebelumnya)
1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan
Contoh:
Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . .
Jawab:
Barisan 2, 5, 8, 11,. . .
U1 = 2
U2 = 5 = 2 + 3
U3 = 8 = 5 +3
U4 = 11 = 8 +3
Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)
2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan
Un = f (n)

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)
U1, U2, U3, U4, …, Un
Maka diperoleh:
Un = bn + (U1 - b)
Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.
1, 3, 5, 7, …, Un
Maka,
b = 2 ; U1 = 1
Un = bn + (U1 - b) = 2n+(1-2) = 2n -1

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap
U1, U2, U3, U4, …, Un
Maka diperoleh:
Un = rn x U1/r
Contoh :
Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )
Maka,
r = 10 ; U1 = 1
Un = rn x U1/r = 10n x 1/10 = 10n -1

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap
Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan
formula berikut:
Un = b/2 . n (n-1) + c
Dengan: c = Suku ke-n barisan bilangan pola
b = Selisih tetap
Contoh:
Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu
Barisan:
3
5
7
9
11
+2
+2
+2
c = 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1
Jadi, suku ke-n adalah:
Un = ½. n(n-1) +c
Un = ½. n(n-1) + 2n + 1
Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1
Un = ½ n2 – 3/2 n +1
+2
Barisan Arimatika dan Barisan Geometri
Barisan Arimatika atau Barisan Hitung
Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku
sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap.
Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan
sebagai berikut :
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b
.
.
.
Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b
Un = a + (n – 1 )b
Dengan n = 1, 2, 3,..
Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus
beda dapat di uraikan sebagai berikut :
U2 = U1 + b => b = U2 - U1
U3 = U2 + b => b = U3 - U2
U4 = U3 + b => b = U4 - U3
.
.
.
Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1
Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.
Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik
Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun
Contoh:
Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan
aritmetika tersebut.
a. 1, 3, 5, 7,. . . .
b. 4, 2, 0, -2,. . .
Jawab :
Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan
aritmetika.
a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .
berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..
U1 = 1
U2 = 3
U3 = 5
b = U2 - U1 = 2
b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2
karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.
U10 = U1 (10 - 1) . b
U10 = 1 + 9 . 2 = 19
b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .
U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2
b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2
karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus
Un = U1 (n - 1) . b
U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14
Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14
Barisan Geometri atau Barisan Ukur
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya
dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap
Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :
U1 = a
U2 = U1 . r = ar
U3 = U2 . r = ar2
U4 = U3 . r = ar3
Un = Un-1 . r = arn-1
Un
1. Un = r × Un-1 atau r = U
n−1
2. Un = a × rn-1
Dengan: r = rasio atau pembanding
n = bilangan asli
a = suku pertama
Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.
Bila r > 1 maka barisan geometri naik.
Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.
Contoh :
a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
Jawab:
a.
Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729
b.
Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah
Deret Aritmetika dan Deret Geometri
Deret Aritmetika atau Deret Hitung
Deret bilangan adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan.
Bentuk umum:
Sn = U1 + U2 + U3 + ⋯ + Un
Menyatakan deret ke-n
Contoh:
1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah Sn = 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1)
Maka,
S1 = 3
S2 = 3 + 5 = 8
S4 = 3 + 5 + 7 = 15
n−1
2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, 2
adalah Sn = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2n−1
Maka,
S1 = 1
S2 = 1 + 2 = 3
S4 = 1 + 2 + 4 = 7
Deret aritmetika adalah jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika.
Deret aritmetika:
Sn = U1 + U2 + U3 + ⋯ + Un
Dengan U1 = a dan Un = a + (n − 1)b
Rumus n suku pertama deret aritmetika:
n
n
Sn = [2a + (n − 1)b]
atau Sn = (a + Un )
2
2
Dengan: Un = suku ke-n
n = bilangan asli
b = beda
Contoh:
1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret
−2+0+2+⋯
Jawab:
U1 = −2; U2 = 0
b = U2 − U1 = 0 − (−2) = 2
2.
n = 10
10
[2(−2) + (10 − 1)2] = 5(−4 + 18) = 70
S10 =
2
Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama
adalah 20
Jawab:
U1 = 20; U5 = 240; n = 5, maka:
5
S5 = (20 + 240) = 650
2
Deret Geometri atau Deret Ukur
Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri.
Deret geometri:
U1 + U2 + U3 + ⋯ + Un = Sn
dengan U1 = a dan Un = ar n−1
Rumus n suku pertama deret geometri:
a(1 − r n )
Sn =
;r > 1
(1 − r)
atau
a(r n − 1)
Sn =
;r < 1
(r − 1)
Contoh:
1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + ⋯
Jawab:
6
U1 = 3; U2 = 6; r = = 2; n = 8
3
3(28 − 1) 3(256 − 1)
S8 =
=
= 765
(2 − 1)
1
2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, U2 = 10 dan U4 = 40. Bila Un =
160, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.
Jawab:
U2 = 10 → ar = 10
U4 = 40 → ar 3 = 40
(ar)r 2 = 40
10r 2 = 40
r2 = 4
∴ r = ±2
Karena suku-suku positif maka r = 2
ar = 10
2a = 10
a=5
maka:
Un = 160
ar n−1 = 160
5 ∙ 2n−1 = 160
2n−1 = 32
2n−1 = 25
n−1=5
∴n=6
Sifat-sifat Deret
Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.
𝑆1 = 𝑈1
𝑆2 = 𝑈1 + 𝑈2 → 𝑆2 = 𝑆1 + 𝑈2 → 𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1
𝑆3 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 → 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑈3 → 𝑈3 = 𝑆3 − 𝑆2
𝑆4 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 → 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑈4 → 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3
.
.
.
𝑆𝑛 = 𝑈 1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛
𝑆𝑛−1
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑈𝑛 → 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama
dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Contoh:
Dalam deret aritmatika ditemukan 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 , hitunglah :
a. 𝑈𝑛
b. 𝑈5
c. Beda
Jawab :
a. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛
𝑆𝑛−1 = 2(𝑛 − 1)2 + (𝑛 − 1)
𝑆𝑛−1 = 2(𝑛2 − 2𝑛 + 1) + 𝑛 − 1
𝑆𝑛−1 = 2𝑛2 − 4𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 1
𝑈𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛2 + 3𝑛 − 1
𝑈𝑛 = 4𝑛 − 1
b. 𝑈5 = 4 ∙ 5 − 1 = 20 − 1 = 19
c. 𝑏 = 𝑈5 − 𝑈4
𝑈4 = 4 ∙ 4 − 1 = 16 − 1 = 15
∴ 𝑏 = 19 − 15 = 4
Sifat Dasar Deret Aritmetika
1. Bila U1 + U2 + U3 + ⋯ + Un merupakan deret aritmatika, maka :
𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = 𝑈5 − 𝑈4 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1
2. BilaU1 , U2 , U3 merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:
2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
Contoh:
Tentukan nilai dari 𝑥 agar barisan 𝑥 + 1, 3𝑥 − 5, 4 merupakan suku-suku dari deret
aritmatika.
Jawab:
Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
2(3x - 5) = x + 1 + 4
6x –10= x + 5
6x –x= 5 + 10
5x = 15
x=3
Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang
lain.
Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)
Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan
antara suatu suku dengan suku yang lainnya.
Memo
𝑈7 = 𝑎 + 6𝑏
7= 1+6
𝑈7 = (𝑎 + 3𝑏) + 3𝑏 = 𝑈4 + 3𝑏
7=4+3
𝑈7 = (𝑎 + 4𝑏) + 2𝑏 = 𝑈5 + 2𝑏
7=5+2
𝑈7 = (𝑎 + 2𝑏) + 4𝑏 = 𝑈3 + 4𝑏
7=3+4
Secara umum dapat dituliskan:
𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 + (𝑝 − 𝑘)𝑏
𝑈𝑝 − 𝑈𝑘
𝑏=
𝑝−𝑘
Contoh:
Bila 𝑈6 = 65 dan 𝑈10 = 97 dari deret aritmatika, tentukanlah :
a. b
b. 𝑈12
Jawab:
𝑈10 −𝑈6
𝑏=
b.
𝑈12 = 𝑈10 + 2𝑏
10−6
=
97−65
a.
4
=8
𝑈12 = 97 + 2 ∙ 8
𝑈12 = 97 + 16
𝑈12 = 113
atau
𝑈6
𝑈6
𝑈6
𝑈6
= 𝑈6 + 2𝑏
= 65 + 6 ∙ 8
= 65 + 48
= 113
Sifat Dasar Deret Geometri
1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret geometri, maka :
𝑈2 𝑈3
𝑈𝑛
=
=⋯=
=𝑟
𝑈1 𝑈2
𝑈𝑛−1
2. Bila 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:
𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3
Contoh:
Tentukan nilai 𝑥 agar barisan 𝑥 + 2, 2, 𝑥 − 1 merupakan barisan geometri.
Jawab:
Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu 𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3 , diperoleh:
22 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
Memo
4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
4 = 4 ∙ 1 atau
↔ 4 = (2 + 2) ∙ (2 − 1), 𝑥 = 2
↔ 4 = (−3 + 2) ∙ (−3 − 1), 𝑥 = −3
4 = (−1)(−4)
Jadi, nilai 𝑥 adalah −3 atau 2
Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri.
Perhatikan Un = arn-1
Memo
Dengan formula itu didapat:
Lihat Indeks
U10 = ar9
10 = 1 + 9
U10 = (ar2) . r7= U3 . r7
10 = 3 + 7
U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5
10 = 5 + 5
Secara umum di tuliskan:
𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 ∙ 𝑟 𝑝−𝑘
𝑈𝑝
𝑟 𝑝−𝑘 =
𝑈𝑘
Contoh:
Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :
a. r
b. U2
Jawab :
𝑈
a. 𝑟 3 = 𝑈6
3
3
𝑟 =
192
24
3
𝑟 =8
𝑟 3 = 23
𝑟=2
b. 𝑈2 =
𝑈2 =
𝑈3
𝑟
24
2
𝑈2 = 12
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑈2 =
𝑈6
𝑟4
192
24
192
𝑈2 =
= 12
16
𝑈2 =
Daftra Pustaka
 Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX. Erlangga