PDF

Analisis Soliton pada Gelombang Hidrodinamika
Berdasarkan Persamaan Maxwell Navier-Stokes
G. Nugroho, Totok.R. Biyanto
Abstrak
Formulasi soliton berdasarkan persamaan Maxwell Navier-Stokes dianalisis dalam penelitian ini. Penelitian ini
merupakan aplikasi dari penelitian sebelumnya mengenai penciptaan soliton pada persamaan gelombang secara umum
yang kali ini diterapkan pada gelombang hidrodinamika. Solusi persamaan gelombang diubah ke dalam bentuk deret dan
diubah dalam bentuk soliton. Penelitian ini difokuskan pada bentukan persamaan gelombang dari medan-medan
kecepatan u, vorticity  dan vektor . Dari formulasi didapatkan bahwa pada kasus satu dimensi, gelombang soliton
dapat dihasilkan dalam term linier untuk vektor . Demikian juga dengan persamaan gelombang untuk medan kecepatan
u dan vorticity  akan memberikan hasil yang sama dengan vektor  dalam kasus perambatan satu dimensi spatial
diikuti momentum Bernoulli yang harus sama dengan satu. Namun, pernyataan tersebut tidak berlaku untuk orde dimensi
spatial yang melebihi satu, walaupun pada perambatan satu dimensi sekalipun.
Kata kunci : Soliton, persamaan gelombang, persamaan Maxwell Navier-Stokes, momentum Bernoulli.
Pendahuluan
Teori gelombang merupakan subyek yang penting artinya dalam fisika dan keteknikan. Berbagai bidang dalam
fisika seperti optika, dinamika fluida khususnya hidrodinamika, maupun fisika partikel secara aktif merupakan daerah
aplikasi teori gelombang (Groves, M. D., 2004). Khusus dalam hidrodinamika, kebanyakan tinjauan gelombang air
adalah aliran non viscous irrotational [10]. Tinjauan non viscous rotational juga diinvestigasi (Kalisch, H., 2004),
ditunjukkan bahwa air pada kedalaman tertentu, tidak terdapat perambatan gelombang periodik dengan sifat bahwa
tekanan konstan sepanjang streamline. Studi pada beberapa tipe gelombang air sekaligus dilakukan dengan
menggunakan persamaan Euler pada domain kedalaman h dan permukaan. Dalam penelitian tersebut dinyatakan bahwa
sistem Hamiltonian dapat menghasilkan gelombang solitary dengan beberapa teknik transformasi. Penelitian mengenai
gelombang internal dan vortice pada fluida terstratifikasi dan berotasi seragam juga dilakukan (Kloosterziel, R.C., 2000).
Hasil yang didapatkan adalah, bahwa gelombang internal merubah vortisitas yang muncul dari pemompaan/penghisapan
pada permukaan.
Upaya yang lebih fundamental terkait dengan persamaan Navier-Stokes telah didefinisikan sebagai teori gauge
(Sulaiman A. & Handoko L.T., 2005). Model yang telah dihasilkan dapat digeneralisir ke dalam bentuk Euler-Lagrange
yang kemudian diaplikasikan pada polimer. Penelitian tersebut merepresentasikan aturan dan diagram Feynman
melakukan perhitungan lengkap pada interaksi vertice 3 dan 4 fluida. Kemudian formulasi Minkowskian dan Euclidean
dibentuk dan ditemukan bahwa jika aliran fluida tersebut paralel dengan perambatan soliton, maka koefisien nonlinier
persamaan Klein-Gordon didapatkan (Saputro K.E.A. & Handoko L.T., 2005). Kedua penelitian tersebut sama-sama
menghasilkan persamaan Maxwell Navier-Stokes namun lebih mengkonsentrasikan diri dalam formalisme fisika
partikel. Suatu upaya teoritis lain yang serupa dengan kedua penelitian sebelumnya bahwa persamaan Navier-Stokes
disusun ulang menjadi bentuk Maxwellian (Nugroho, G., 2005). Perbandingan hasil teori gelombang air yang
dimodelkan dalam bentuk persamaan Maxwell Navier-Stokes dan hasil eksperimental pada gelombang air tertumpah
menunjukkan bahwa secara umum, terdapat kesesuaian antara teori dan eksperimen (Nugroho, G., 2006).
Disamping itu, sudah umum juga untuk diketahui bahwa soliton memegang peranan penting dalam
menggambarkan banyak fenomena fisis. Soliton merupakan hasil penyelesaian persamaan diferensial nonlinier termasuk
persamaan gelombang. Nonlinieritas persamaan diferensial ini dalam tinjauan fisis merupakan kompetisi dari dua
variabel yaitu dispersi dan nonlineritas sistem-sistem fisis. Sistem-sistem tersebut mencakup shallow water yang
digambarkan dengan persamaan Korteweg-deVries, optika nonlinier diwakili persamaan Helmholtz, fisika partikel yang
salah satunya digambarkan dalam persamaan Sine-Gordon, model Skyrmion dan bidang-bidang aplikasi lainnya
(Mourachkine A, 2004). Penemuan yang termasuk baru dalam bidang condense matter menunjukkan bahwa soliton juga
diamati dalam kondensasi Bose-Einstein (Adhikari, S K, 2003). Menarik untuk dicatat bahwa soliton ternyata dapat
digenerasikan pada persamaan gelombang biasa asalkan memenuhi syarat-syarat yang ditentukan (Nugroho, G., 2006).
Syarat-syarat ini memang dapat membuat persamaan gelombang menjadi nonlinier, namun pada beberapa kasus yang
sederhana tidak perlu untuk diubah dan tidak mengurangi arti fisisnya sehingga membuka beberapa kemungkinan
menarik dalam teori fisika gelombang yang dapat menghasilkan soliton dalam bentuknya yang linier.
Jurusan Teknik Fisika - FTI – ITS Surabaya
Kampus ITS Keputih Sukolilo Surabaya 60111
Telp : 62 31 5947188 Fax : 62 31 5923626
Email : [email protected]
1
Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk menyelesaiakan persaamaan Maxwell Navier-Stokes menjadi
bentuk soliton. Penelitian ini merupakan aplikasi dari formalisme yang telah dilakukan dalam penelitian sebelumnya dan
diharapkan dapat memberi kontribusi tentang arti fisis soliton dalam gelombang hidrodinamika disamping soliton pada
persamaan Kortewed-deVries yang sudah umum diketahui.
Tinjauan Teoritis
Persamaan Navier-Stokes merupakan persamaan yang dianggap mendasari hampir semua fenomena fluida.
Tetapi dengan begitu banyak kesuksesannya, persamaan ini diindikasikan tidak dapat bekerja pada beberapa kondisi,
misalnya pada aliran yang mempunyai tingkat turbulensi yang sangat tinggi. Pada kasus gelombang air, persamaan
Navier-Stokes juga dimodifikasi dan dianggap mempunyai solusi periodik. Pada solusi yang digeneralisir, solusi ini
kebanyakan menggunakan teknik transformasi ataupun deret Fourier. Dengan demikian, formalisme yang digunakan
dianggap kurang memberikan dasar pemikiran fisis yang kokoh dan lebih banyak bersifat pemodelan matematis semata.
Penelitian terdahulu mencoba untuk meninjau dan memodifikasi persamaan Navier-Stokes untuk menghasilkan
persamaan gelombang sebagai berikut (Nugroho, G., 2006),
(1a)
.   2

 2
t
.  0

   
j
t
   
(1b)
(1c)
(1d)
dengan nilai j,  dan  adalah
j        ( )  2   u   2

P


(2a)
2
u
2
(2b)
u
   2u
(2c)
t
Keempat persamaan dalam (1) merupakan dinamika fluida dalam bentuk Maxwell atau dapat dikatakan
Maxwell Navier-Stokes dan menunjukkan bahwa terdapat dua medan yang merambat pada aliran fluida yaitu vektor 
dan vorticity . Kemudian dengan menggunakan transformasi gauge didapatkan hasil,
 2u
 2u
(3)
 2u  2   j 
t
t
Sehingga dengan mengandaikan bahwa profil aliran tidak bergantung waktu maka term terakhir pada (3) akan hilang,
dan persamaan di atas dapat ditulis (Nugroho, G., 2006),
 2u 1  2u
(4)

0
x 2  t 2
Dan mempunyai bentuk penyelsaian secara umum sebagai berikut,
u( xi , t )  Au( xi  ct )  Bu( xi  ct )
(5)
Persamaan (1) dapat dikembangkan lebih luas lagi dengan mengikuti formalisme dalam elektrodinamika sebagai berikut,
 

   
 2  

t


dan
 

         
 j
 t

sehingga didapatkan persamaan gelombang dalam bentuk vorticity  dan vektor ,
1  2
 2 
0
(6a)
 t 2
dan
2
2  2  0
(6b)
t
jika diandaikan bahwa   j =0 dan profil kecepatan hanya sampai pada orde 2. Serupa dengan (4) bahwa persamaan (6)
juga mempunyai solusi,
( xi , t )  C( xi  t )  D( xi  t )
(7a)
 
2
dan
 ( xi , t )  E ( xi  wt)  F ( xi  wt)
(7b)
Persamaan (5) dan (7) merupakan generalisasi dari formalisme transformasi dalam teori gelombang hidrodinamika,
karena keduanya juga secara eksplisit dapat dinyatakan dengan,
e kx  t

Dengan demikian, dapat dinyatakan bahwa perambatan gelombang hidrodinamika merupakan juga perambatan medanmedan vorticity  dan vektor  seperti perambatan medan-medan listri E dan magnet H pada bahasan elektrodinamika.
Soliton pada Persamaan Gelombang
Untuk membentuk soliton pada penyelesaian persamaan gelombang, maka penyelesaian tersebut akan
diekivalenkan dengan profil soliton sebagai berikut,
(8)
( x, t )  C sec h( x  t )
Dengan cara yang sama, persamaan di atas diubah kedalam bentuk deret menjadi,
2


4
 

(9)
 ( x, t )  C 1 

 ...
2
!
4
!




sehingga didapat ekspresi C adalah (Nugroho, G., 2006),
2
2



4
4
 

 

(10)
C  B1 

 ....1 

 ...
2
!
4
!
2
!
4
!







dengan suku kedua pada sisi sebelah kanan persamaan (10) adalah bentuk deret dari (5) dan (7). Dengan demikian
berdasarkan hasil ekivalensi tersebut persamaan (5) secara umum dapat ditulis sebagai,
(11a)
( x, t )  C( x  t ) D( x  t )
atau dapat ditulis,
(11b)
( x, t )  C ( ) D( )
Nilai   x  t dapat digeneralisir dengan meninjau penyelesaian persamaan gelombang bersama faktor dispersi sebagai
berikut,
(12)
( x, t )  Ae i (t  kx )
dari (11a) parameter waktu t dapat dibuat berdiri sendiri dan sebagai konsekuensinya nilai x yang tergeneralisasikan,
yaitu f(x) dengan   f ( x)  t .
Berikutnya, untuk memberikan hasil yang konsisten, maka persamaan (11) disubstitusikan ke dalam persamaan
(4) dan (6) dengan menggunakan aturan rantai seperti di bawah,
2
 2   D
C   2   D
 2C
C D   
 C



D

C

D

2


  x 2   2
   x 
x 2  
 2
 2D
 2C
C D 
C


D
2
2
2
2

  
t

 
dimana variabel  merupakan pengganti medan-medan u,  dan . Oleh karena itu dapat diverifikasi bahwa substitusi
persamaan di atas memenuhi persamaan gelombang dengan beberapa konstrain sebagai berikut,
2
(i)
f 2  1
(13)
 f 0
(14)
Dengan demikian dari ekspresi (13) dan (14) dapat dianalisis dengan masing-masing ekspresi untuk arah satu
sampai tiga dimensi. Untuk kasus arah perambatan satu dimensi terlihat bahwa f(x) = x atau -x., untuk kasus dua dimensi
dapat ditulis,
(ii)
2
2
2
 f   f 
      1  0
 x   y 
dan
2 f

2 f
0
x 2 y 2
Kedua persamaan di atas dapat digabung menjadi satu sebagai berikut,
2
2
 f   f 
 2        1  0
2
x
y
 x   y 
2 f
2 f
3
(15)
yang mempunyai solusi,
2



1 
A
 1  C 3 sin A  1 y  C 4 cos A  1 y 
f ( x, y )  ln

ln


 (16)
2  C sin A x  C cos A x 2  2 
A 1

2
 1



Sedangkan untuk kasus tiga dimensi, dengan menggunakan cara yang sama pada uraian sebelumnya maka formulasinya
dapat diekspresikan seperti di bawah,



2 f

2 f

2 f

2
2
2
 f   f   f 
          1  0
 x   y   z 
x 2 y 2 z 2
yang mempunyai penyelesaian



1 
A
B
 1 
f ( x, y, z )  ln

ln


2
2  C sin A x  C cos A x  2  C sin B y  C cos B y
2
4
 1

 3



(17)



2


(18)


1 
A  B 1

ln

2  C sin  A  B  1z  C cos  A  B  1z 2 
6
 5

Dalam persamaan (18) terlihat bahwa perlu 6 kondisi batas untuk membuat nilai f(x,y,z) menjadi eksplisit.
Pada analisa dua maupun tiga dimensi terlihat bahwa pemenuhan syarat-syarat untuk pembentukan soliton pada
persoalan persamaan gelombang membawa kepada persoalan nonlinieritas yang cukup kompleks. Secara matematis,
persoalan ini membawa kembali kepada persoalan nonlinieritas dari awal. Namun tidak demikian secara fisis. Hasil
soliton pada persamaan gelombang yang linier dapat menggiring ke dalam konsekuensi yang tidak biasa. Untuk analisis
satu dimensi, ditinjau persamaan gelombang dari vektor ,
2 2
(16)

0
x 2 t 2
dari penelitian sebelumnya, formulasi dari vektor  tidak mengandung skalar  yang merupakan momentum dari
Bernoulli sehingga terlihat bahwa untuk persoalan satu dimensi, vektor tersebut dapat diubah ke dalam bentuk soliton
tanpa mengoreksi sifat-sifat fisis yang ada. Sedangkan persolan dua dan tiga dimensi akan terpenuhi dengan mengikuti
(15) dan (17). Hal ini secara fisis akan menimbulkan kesulitan tersendiri karena vektor  tidak mempunyai faktor pengali
dalam dimensi spatialnya, sehingga generasi soliton untuk vektor  dalam perambatan dua dan tiga dimensi akan
menuntut untuk dinaikkannya orde dimensi spatial secara sembarang.
Demikian juga dengan persamaan gelombang untuk medan kecepatan u dan vorticity  akan memberikan hasil
yang sama dengan vektor  dalam kasus perambatan satu dimensi spatial diikuti momentum Bernoulli yang harus sama
dengan satu. Namun, pernyataan tersebut tidak berlaku untuk orde dimensi spatial yang melebihi satu, walaupun pada
perambatan satu dimensi sekalipun. Secara fisis hal ini dapat dilakukan jika fungsi momentum Bernoulli diekspan dalam
deret sebagai berikut,


u2
 1  x  x 2  x 3  ........
 2
Menurut konstrain yang diharuskan oleh (13) dan (14), dapat dengan mudah diverifikasi bahwa soliton tidak dapat
digenerasikan oleh vektor kecepatan u dan vorticity  jika hanya merambat pada satu dimensi karena syarat dari (15)
dan (17) tidak terpenuhi.
 ( x) 
P

Kesimpulan
Persamaan Maxwell Navier-Stokes telah dianalisis dengan mengambil arah-arah spatial sebagai parameter
utama dalam tinjauan dispersi. Gelombang soliton dapat digenerasikan dengan menggunakan metode deret dengan 2
syarat yang harus dipenuhi. Analisis menunjukkan bahwa pada kasus satu dimensi, gelombang soliton dapat dihasilkan
dalam term linier untuk vektor . Demikian juga dengan persamaan gelombang untuk medan kecepatan u dan vorticity 
akan memberikan hasil yang sama dengan vektor  dalam kasus perambatan satu dimensi spatial diikuti momentum
Bernoulli yang harus sama dengan satu. Namun, pernyataan tersebut tidak berlaku untuk orde dimensi spatial yang
melebihi satu, walaupun pada perambatan satu dimensi sekalipun.
Daftar Pustaka
Adhikari, S K, 2003, Bright Vortex Solitons in Bose Condensates, arXiv:cond-mat/0308415v4.
Alamousi, S, dkk ,1997, Real Time Dynamics of Soliton Diffusion, arXiv:cond-mat/9708225v1
Fairlie, D B, 2005, Implicit Solutions to Some Lorentz Invariant Nonlinear Equations Revisited, Journal of Nonlinear
Mathematical Physics, Vol 12, Number 3, 449 – 456.
Dabiri, D. dan Gharib, M. 1997, Experimental Investigation of the Vorticity Generation within a Spilling Water Wave,
J. Fluid Mech., Vol. 330, 113 – 139.
4
Ehrnstrom, M. 2005, Uniqueness os Steady Symmetric Deep-Water Waves with Vorticity, Journal of
Nonliniear
Mathematical Physics, Vol. 12, 27 – 30.
Grosset, M dan Veselov, P, 2005, Bernoulli Numbers and Solitons, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 12
Number 4, 469 – 474.
Groves, M. D. 2004, Study of Water Waves, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 11, 435 –
460.
Harsoyono, H dkk., 2003, Nonlinear Optical Waveguide Coupling with Planar Solitonic Field Profile, Elsevier Optics
Communications, 63 – 71.
Kalisch H., 2004, Periodic Traveling Water Waves with Isobaric Streamlines, Journal of Nonlinear Mathematical
Physics, Vol. 11, Number 4, 461 – 471.
Kobayashi, K. & Okamoto, H., 2004, Uniqueness Issues on Permanent Progressive Water-Waves, Journal of Nonlinear
Mathematical Physics, Vol. 11, 472 – 479.
Mourachkine, A, 2004, Nonlinear Excitations:Solitons, arXiv:cond-mat/0411452v1.
M.O. Tjia, [1994], Gelombang, Dabara Publishers, Solo, Indonesia.
Nugroho, G., 2005, Heuristical Point of View on the Wave Theory of Hydrodynamics, Prosiding International
Conference on Applied Mathematics (ICAM05), Jurusan Matematika, ITB, Bandung.
Nugroho, G., 2006, Penyelesaian Soliton pada Persamaan Gelombang, Jurnal Fisika ITS (submitted).
Nugroho, G., 2006, Perbandingan Hasil Teori dan Eksperimen dalam Gelombang Hidrodinamika, Jurnal Teknik Mesin
ITS (submitted).
Saputro K.E.A. & Handoko L.T., 2005, Application of Fluid Dynamics Based on Gauge Theory Approach, Thesis,
Universitas Indonesia.
Sulaiman A. & Handoko L.T., 2005, Lagrangian Dynamics of the Navier-Stokes Equation, Prosiding International
Conference on Applied Mathematics (ICAM05), Jurusan Matematika, ITB, Bandung.
5