bab v perambatan gelombang optik pada medium nonlinier kerr

BAB V
PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK
PADA MEDIUM NONLINIER KERR
5.1. Pendahuluan
Berkas (beam) optik yang merambat pada medium linier mempunyai
kecenderungan untuk menyebar karena adanya efek difraksi; lihat Gambar 5.1.
Secara umum, semakin sempit berkas optik akan semakin cepat terdifraksi.
Pada medium nonlinier Kerr, keberadaan berkas optik menyebabkan perubahan
indeks bias medium. Perubahan indeks bias tergantung pada intensitas berkas;
semakin besar intensitas menyebabkan perubahan indeks bias yang semakin
besar pula. Pada material Kerr positif, hal ini mengakibatkan terbentuknya ’lensa’
optik dengan peningkatan indeks bias yang sangat besar pada pusat berkas,
sedangkan pada ’ekor’nya tidak mengalami perubahan. Fenomena perubahan
indeks bias ini disebut self-focusing. Ketika efek self-focusing dan difraksi linier
seimbang, berkas optik akan merambat tanpa mengalami perubahan bentuk.
Gelombang optik seperti ini sering disebut gelombang soliter. Jika gelombang
soliter juga bersifat seperti partikel, yaitu jika suatu gelombang soliter
bertumbukan dengan gelombang soliter lainnya, profil (bentuk) dan kecepatan
masing-masing gelombang soliter tidak mengalami perubahan setelah tumbukan
tersebut, maka gelombang tersebut disebut dengan gelombang soliton.
Gelombang soliton pada medium optik tidak hanya diprediksi secara teori tetapi
juga telah dibuktikan secara eksperimen. Bab ini akan membahas sekilas
tentang solusi soliton pada medium nonlinier Kerr. Pembahasan diawali dengan
Gambar 5.1. Difraksi berkas Gauss
38
A. SURYANTO
LAB. PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN
JURUSAN MATEMATIKA – UNIBRAW
persamaan Maxwell. Akan ditunjukkan bahwa persamaan Maxwell dapat
direduksi menjadi persamaan Schrodinger nonlinier, yaitu dengan menggunakan
asumsi bahwa amplitudo/selubung berkas optik sepanjang perambatannya
berubah secara lambat (slowly varying amplitude/envelope approximation atau
disingkat SVEA).
5.2. Persamaan Maxwell
Teori propagasi cahaya pada medium dielektrik yang melibatkan medan listrik
dan medan magnet dikembangkan oleh Maxwell tahun 1860an. Dalam notasi
vektor persamaan tersebut dinyatakan sebagai
∂B
;
∂t
∂D
∇×H = −
;
∂t
∇ • E = ρ;
∇×E = −
(5.1)
∇ • B = 0,
dimana E, D, H, B, J dan ρ masing-masing menyatakan medan elektrik, rapat
fluks elektrik, medan magnet, rapat fluks magnetik, arus bebas dan muatan
bebas dalam material. Dalam buku ini, pembahasan dibatasi untuk material nonmagnetik, tanpa ada arus dan bebas muatan, yaitu
ρ = 0; J = 0;
D = ε 0 E + P;
B = µ 0 H,
(5.2)
dimana P adalah vektor polarisasi dalam medium; ε0 dan µ0 adalah permitivitas
dan permeabilitas ruang hampa. Untuk material Kerr, vektor perpindahan
dielektrik berbentuk
(
)
D = ε 0 1 + χ (1) + χ (3) | E | 2 E .
(5.3)
Dengan menggunakan persamaan (5.3) dan (5.2), persamaan Maxwell (5.1)
dapat direduksi menjadi
∂2
2
∇ E − ε 0 µ 0 2 1 + χ (1) + χ (3) | E | 2 E = ∇(∇ • E ).
(5.4)
∂t
((
))
Persamaan (5.4) merupakan persamaan gelombang elektrik. Dapat diperhatikan
bahwa persamaan tersebut melibatkan vektor kompleks dimensi tiga. Permasalahan tersebut dapat disederhanakan dengan mengasumsikan bahwa medium
39
PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
berbentuk lempengan (sering disebut slab waveguide; lihat Gambar 5.2)
sedemikian hingga ketergantungan medan listrik dan magnetik terhadap salah
satu dimensi dapat diabaikan. Di sini perambatan gelombang elektromagnetik
dapat disederhanakan dengan mempertimbangkan dua tipe solusi, yaitu
gelombang Transverse Elektric Mode (TE) atau gelombang Trasverse Magnetic
Mode (TM). Pada buku ini pembahasan dibatasi pada kasus gelombang TE,
yaitu vektor medan listrik tegak lurus dengan arah perambatan. Dengan memilih
arah perambatan searah sumbu z, vektor medan listrik dan medan magnet
berturut-turut (medan tidak berubah sepanjang sumbu y) adalah
[
]
E = 0, E y ( x, z , t ),0 ;
H = [H x ( x, z , t ),0, H z ( x, z , t )].
Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa ∇ • E = 0. Dengan demikian,
persamaan (5.4) dapat ditulis sebagai persamaan skalar, yaitu
⎛ ∂2Ey ∂2Ey
⎜
+
⎜ ∂x 2
∂z 2
⎝
⎞ 1 ∂2
⎟−
1 + χ (1) + χ ( 3) | E y | 2 E y = 0,
⎟ c 2 ∂t 2
⎠
((
) )
(5.5)
dengan c = 1 / ε 0 µ 0 adalah kecepatan cahaya di ruang hampa.
n = n0
n = n0 + n
2
| E |2
n = n0
Gambar 5.2. Pandu gelombang lempeng (slab waveguide)
Selanjutnya diasumsikan bahwa cahaya yang dipancarkan dalam medium Kerr
mempunyai frekuensi tunggal (gelombang monokromatik), yaitu
E y ( x, z, t ) = E ( x, z ) exp(− iωt ) ,
(5.6)
sedemikian hingga persamaan (5.6) akan menjadi persamaan Helmholtz
nonlinier
⎛ ∂2E ∂2E ⎞ ω2 2
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + 2 n E = 0,
∂z ⎠ c
⎝ ∂x
(5.7)
40
A. SURYANTO
LAB. PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN
JURUSAN MATEMATIKA – UNIBRAW
dimana n adalah indeks bias nonlinier. Indeks bias nonlinier di sini diaproksimasi
sebagai (dengan asumsi bahwa n 2 << 1 ):
(
n 2 = n0 + n2 | E | 2
)
2
≈ n02 + 2n0 n 2 | E | 2
dengan n0 = 1 + χ (1)
adalah indeks bias linier, n2 =
χ (3 )
adalah koefisien
2n0
nonlinier Kerr. Jadi perubahan indeks bias akibat pengaruh nonlinieritas Kerr
adalah ∆n = n2 | E | 2 .
5.3. Persamaan Schrodinger nonlinier
Persamaan Helmholtz nonlinier (5.7) merupakan persamaan diferensial parsial
eliptik yang secara umum sangat sulit diselesaikan. Di sini, persamaan tersebut
akan disederhanakan dengan mengambil solusi dalam arah tertentu. Untuk itu
akan dicari solusi yang berbentuk
E ( x, z ) = A( x, z ) exp(ik 0 z ) + cc ,
(5.8)
dimana A( x, z ) adalah selubung gelombang yang diasumsikan berubah secara
lambat sepanjang arah perambatan (SVEA) dan k 0 adalah bilangan gelombang
ωn 0
yang memenuhi hubungan k 0 =
. Solusi (5.8) merupakan solusi yang
c
bergerak ke arah z positif. Dengan menggunakan Ansatz (5.8), persamaan
Helmholtz dapat dituliskan sebagai (setelah dibagi dengan 2k 02 exp(ik 0 z ) ):
i ∂A
1 ∂2 A
1 ∂ 2 A n2
+ 2
+ 2
+
| A | 2 A = 0,
2
2
k 0 ∂z 2k 0 ∂x
n0
2k 0 ∂z
(5.9)
dengan koefisien nonlinieritas Kerr n 2 akan bernilai positif untuk material selffocusing dan bernilai negatif untuk material self-defocusing. Dengan
mengaplikasikan SVEA, suku yang memuat turunan kedua terhadap z dapat
dihilangkan. Untuk lebih tepatnya, didefinisikan parameter kecil δ dengan
0 < δ << 1. Selanjutnya diasumsikan bahwa selubung gelombang berubah secara
lambat sepanjang arah perambatan. Untuk melihat apa yang terjadi pada jarak
perambatan yang cukup jauh (tetapi masih berhingga), didefinisikan variabel
lambat dan sangat lambat: X = δk 0 x dan Z = δ 2 k 02 z dan menskala selubung
gelombang sebagai
A( x, z ) = δ n0 / n2 B( X , Z ) . Dengan substitusi tersebut,
PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
41
persamaan (5.9) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan Schrodinger
nonlinier (NLS) yang ternormalisasi
∂B 1 ∂ 2 B
i
+
+ sign(n2 ) | B | 2 B = O δ 2 ,
2
∂Z 2 ∂X
( )
(5.10)
⎧ + 1; n 2 ≥ 0
dimana sign(n2 ) = ⎨
. Pada persamaan NLS (5.10), diindikasikan bahwa
⎩− 1; n2 < 0
suku-suku O δ 2 diabaikan. Persamaan NLS adalah salah satu persamaan
dalam fisika matematika yang dapat dintegralkan, yang berarti persamaan
tersebut memuat bentuk hukum konservasi yang tak terhingga banyaknya dan
persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan inverse scattering method.
Solusi fundamental dari persamaan tersebut adalah gelombang soliton. Berikut
akan dibahas bagaimana mencari solusi soliton dengan memanfaatkan analogi
mekanika klasik (lihat Bab III).
( )
Catatan:
Di atas telah dikenalkan parameter kecil δ. Dalam prakteknya parameter tersebut
digunakan untuk mengukur nilai δ = 1 / k 0 w0 dimana w0 adalah lebar berkas
(beam) input. Karena biasanya lebar berkas input jauh lebih besar dari panjang
gelombang λ0 = 2π / k 0 , jelaslah bahwa δ = λ0 / (2πw0 ) << 1 , yaitu konsisten
dengan definisi δ. Hal inilah yang memotivasi pengabaian suku O(δ2) dalam
persamaan (5.10).
5.4. Gelombang Soliton tunggal sebagai solusi
persamaan NLS
5.4.1. Gelombang soliton stasioner
Seperti disebutkan di muka gelombang soliton tidak mengalami perubahan
bentuk selama perambatannya. Oleh karena itu, untuk mencari solusi soliton
diasumsikan bahwa selubung gelombang berbentuk
B( X , Z ) = f ( X ) exp(iβZ ) .
(5.11)
Jika Ansatz (5.11) disubstitusikan ke dalam persamaan (5.10), maka diperoleh
persamaan
1⎛d2 f
⎜
2 ⎜⎝ dX 2
⎞
⎟⎟ − β f + sign(n 2 ) f 3 = 0.
⎠
42
A. SURYANTO
LAB. PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN
JURUSAN MATEMATIKA – UNIBRAW
Jika persamaan tersebut dikalikan dengan f dan hasilnya diintegralkan terhadap
X, maka diperoleh persamaan
2
⎛ df ⎞
2
4
⎟ − 2β f + sign(n2 ) f = kontanta .
⎜
⎝ dX ⎠
(5.12)
Dengan analogi mekanika klasik, persamaan (5.12) merupakan bentuk
persamaan Newton yang menggambarkan gerakan partikel dengan f
menyatakan variabel posisi partikel dan X menyatakan variabel waktu akibat
energi potensial
U = sign(n2 ) f 4 − 2β f 2 .
Persamaan Newton (5.12) dapat diselesaikan dengan mudah, yaitu dengan
merubah persamaan (5.12) ke dalam bentuk
df
= ± f 2β − sign(n2 ) f 2 − konstanta .
dX
(5.13)
Berikut akan ditunjukkan dua macam solusi soliton stasioner, bergantung pada
sign(n 2 ).
•
Solusi soliton terang (Bright Soliton), ( sign(n 2 ) = +1 )
Dengan analisa bidang fasa (lihat Bab III), solusi soliton terang diperoleh jika
konstanta = 0. Selanjutnya, untuk mencari soliton terang, diasumsikan bahwa f
df
dan
bernilai nol pada X → ±∞. Selain itu, juga diasumsikan bahwa soliton
dx
df
berpusat di X = 0 sehingga f = 1 dan
= 0 pada X = 0. Dengan asumsi
dX
tersebut diperoleh bahwa β = ½. Selanjutnya, dengan mengambil tanda
negatif untuk ruas kanan pada persamaan (5.13), persamaan tersebut dapat
ditulis menjadi
df
∫ − f 1 − f 2 = ∫ dX = X − X 0 .
Dengan rumus integral standard, penyelesaian persamaan tersebut adalah
f = sech( X − X 0 ).
Karena diasumsikan bahwa f = 0 pada X = 0, maka jelaslah bahwa X0 = 0.
Jadi selubung gelombang elektrik yang merupakan solusi persamaan NLS
adalah
PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
43
⎛1 ⎞
B( X , Z ) = sech ( X ) exp⎜ iZ ⎟.
(5.14)
⎝2 ⎠
Solusi (5.14) merupakan solusi soliton stasioner dengan amplitudo satu. Plot
untuk solusi tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.3. Solusi soliton ini sering
disebut dengan soliton terang karena pusatnya mempunyai intensitas tinggi
dan disekitar pusat tersebut intensitasnya rendah sekali (hampir nol).
Perhatikan bahwa gelombang soliton stasioner bergerak dengan kecepatan
(sudut) nol.
Gambar 5.3. Soliton terang stasioner.
•
Solusi soliton gelap (Dark Soliton), ( sign(n 2 ) = −1 )
Untuk mencari solusi soliton pada medium self-defocusing, pada persamaan
df
(5.12) diambil konstanta=β 2 dan diasumsikan bahwa f = 1 dan
= 0 untuk
dx
X → +∞. Dengan asumsi tersebut dapat dibuktikan bahwa β = -1 dan
persamaan (5.13) dapat ditulis menjadi
∫f
df
= dX = X − X 0 .
2
−1 ∫
Persamaan tersebut mempunyai solusi eksplisit, yaitu
f = tanh ( X − X 0 ) .
Tanpa mengurangi perumuman, solusi soliton tersebut diasumsikan berpusat
di X = 0. Jadi X0 = 0 dan solusi persamaan NLS untuk medium self-defocusing
adalah
B( X , Z ) = tanh ( X ) exp(− iZ ).
(5.15)
A. SURYANTO
LAB. PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN
JURUSAN MATEMATIKA – UNIBRAW
44
Solusi (5.15) merupakan solusi soliton stasioner dengan amplitudo satu. Plot
untuk solusi tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.4. Perhatikan bahwa
intensitas pusat soliton sangat rendah (hampir nol), sehingga solusi ini
disebut dengan soliton gelap. Dari Gambar 5.4, gelombang soliton gelap
stasioner ini juga bergerak dengan kecepatan (sudut) nol.
Gambar 5.3. Soliton gelap stasioner.
5.4.2. Transformasi solusi
Solusi soliton yang telah dibahas pada bagian sebelumnya mempunyai
amplitudo tunggal dan merambat dengan kecepatan (sudut) nol. Berikut akan
ditunjukkan bahwa dengan transformasi sederhana, solusi yang lebih umum
dapat ditentukan.
Transformasi pertama yang akan dikenalkan adalah transformasi penskalaan.
Dapat dibuktikan (lihat latihan pada akhir bab ini) bahwa jika B1 ( X , Z ) adalah
solusi persamaan NLS maka keluarga solusi dengan parameter η dapat
diperoleh dengan transformasi
B2 ( X , Z ) = ηB1 (ηX ,η 2 Z ) .
(5.16)
Jika transformasi tersebut diaplikasikan pada solusi soliton terang (5.14) dan
solusi soliton gelap (5.15), maka akan didapat keluarga solusi berparameter η:
•
Soliton terang:
⎛1
⎞
B( X , Z ) = η sech(ηX ) exp⎜ iη 2 Z ⎟
⎝2
⎠
(5.17)
45
PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
•
Soliton gelap:
B( X , Z ) = η tanh (ηX ) exp(− iη 2 Z )
(5.18)
Jelas bahwa parameter η menyatakan amplitudo soliton dan sekaligus lebar dan
periodenya dalam Z. Gambar 5.4 menunjukkan profil soliton dengan tiga
amplitudo berbeda, baik untuk soliton terang maupun untuk soliton gelap.
(a)
(b)
η=2
η=2
η=1
η = 0.5
η=1
η = 0.5
Gambar 5.4. Soliton dengan amplitude berbeda-beda: (a) soliton terang
(b) soliton gelap.
Solusi (5.17) dan (5.18) tidak bergerak sepanjang sumbu Ζ karena kecepatan
(sudut-) nya sama dengan nol. Untuk memperoleh solusi dengan sembarang
kecepatan (sudut) V, akan digunakan transformasi sebagai berikut. Jika B1 ( X , Z )
adalah solusi persamaan NLS maka
1
⎛
⎞
B2 ( X , Z ) = B1 ( X − VZ , Z ) exp⎜ iVX − i V 2 Z ⎟
2
⎝
⎠
(5.19)
juga merupakan solusi dari persamaan NLS (lihat latihan pada bagian akhir dari
bab ini). Transformasi (5.19) dikenal sebagai transformasi Galilean.
Transformasi tersebut menjelaskan bahwa solusi gelombang dari persamaan
A. SURYANTO
LAB. PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN
JURUSAN MATEMATIKA – UNIBRAW
46
NLS adalah invarian terhadap rotasi pada bidang ( X , Z ) . Dengan
mengaplikasikan transformasi Galilean terhadap solusi (5.17) dan (5.18)
diperoleh:
•
Soliton terang:
1
⎛1
⎞
⎛
⎞
B( X , Z ) = η sech (η ( X − VZ )) exp⎜ iη 2 Z ⎟ exp⎜ iVX − iV 2 Z ⎟
2
⎝2
⎠
⎝
⎠
1
⎛
⎞
= η sech (η ( X − VZ )) exp⎜ iVX + i η 2 − V 2 Z ⎟
2
⎝
⎠
(
•
)
(5.20)
Soliton gelap
(
)
1
⎛
⎞
B( X , Z ) = η tanh (η ( X − VZ )) exp − iη 2 Z exp⎜ iVX − iV 2 Z ⎟
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
= η tanh (η ( X − VZ )) exp⎜ iVX − i 2η 2 + V 2 Z ⎟
2
⎝
⎠
(
)
(5.21)
Persamaan (5.20) dan (5.21) masing-masing menyatakan keluarga solusi soliton
terang dan soliton gelap dengan dua parameter η dan V. Pada Gambar 5.5
ditunjukkan soliton terang dengan η = 1 dengan V berbeda yaitu (a) V = π/2 dan
(b) V = π. Tampak pada gambar tersebut bahwa semakin besar kecepatan V
berarti semakin besar penyimpangannya terhadap sumbu Z. Hal yang sama juga
dapat diamati pada kasus soliton gelap (lihat Gambar 5.6).
(a)
(b)
Gambar 5.5. Perambatan soliton terang dengan amplitudo η = 1
dan kecepatan (a) V = π/2 dan (b) V = π.
47
PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
(a)
(b)
Gambar 5.6. Perambatan soliton gelap dengan amplitudo η = 1
dan kecepatan (a) V = π/2 dan (b) V = π.
5.5. Latihan
1. Buktikan bahwa jika B1 ( X , Z ) adalah solusi persamaan NLS maka
(
B2 ( X , Z ) = ηB1 ηX ,η 2 Z
)
juga merupakan solusi persamaan NLS (transformasi penskalaan).
2. Buktikan bahwa jika B1 ( X , Z ) adalah solusi persamaan NLS maka
1
⎛
⎞
B2 ( X , Z ) = B1 ( X − VZ , Z ) exp⎜ iVX − i V 2 Z ⎟
2
⎝
⎠
juga merupakan solusi persamaan NLS (transformasi Galilean).
3. Persamaan NLS sebagai persamaan yang dapat diintegralkan
mempunyai konsekuensi bahwa persamaan tersebut mempunyai
sejumlah tak berhingga kuantitas (integral) yang kekal (conserved).
Tiga kuantintas yang kekal tersebut adalah
a. Energi (atau daya atau intensitas):
∞
Q = ∫ | B | 2 dX
−∞
(5.22)
48
A. SURYANTO
LAB. PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN
JURUSAN MATEMATIKA – UNIBRAW
b. Momentum
∞
⎛ ∂B
∂B ⎞
M = ∫ ⎜⎜
B−
B ⎟ dX
∂X
∂X ⎟⎠
− ∞⎝
(5.23)
c. Hamiltonian
⎛ ∂B 2
⎞
H = ∫⎜
− | B | 4 ⎟dX
⎜ ∂X
⎟
− ∞⎝
⎠
∞
(5.24)
Tunjukkan bahwa ketiga kuantitas tersebut tetap konstan dengan
∂Q
∂M
∂H
= 0;
= 0;
= 0.
berubahnya Z, yaitu
∂Z
∂Z
∂Z