BAB 2 - Direktori File UPI

Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
MODUL 2
BILANGAN KOMPLEKS
Satuan Acara Perkuliahan Modul 2 (Bilangan Kompleks) sebagai berikut.
Petemuan
ke4
Pokok/Sub
PokokBahasan
TujuanPembelajaran
Bilangan Kompleks
Pengantar Bilangan
Kompleks
Mahasiswa diharapkan mampu:
 memahami bilangan kompleks
Lambang Bilangan dan
Bidang Kompleks

menggambarkan kurva pada bidang kompleks,
Formula Euler

menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk
polar/formula Euler,
Sekawan Kompleks

mengetahui bahwa setiap bilangan kompleks
memiliki sekawan
Aljabar Kompleks

menentukan hasil penjumlahan, pengurangan,
dan perkalian bilangan kompleks
menentukan hasil kali dan hasil bagi bilangan
kompleks dalam bentuk polar
memecahkan persamaan kompleks


5
Bilangan Kompleks
Pangkat dan Akar
Bilangan Kompleks
Mahasiswa diharapkan mampu:
 menentukan hasil pemangkatan bilangan
kompleks
 menentukan akar-akar dari bilangan kompleks
Fungsi eksponen dan
Trgonometri



Aplikasi dalam
Rangkaian Listrik AC
Aip Saripudin

mengetahui bentuk eksponen dari sinus dan
cosinus
menentukan nilai sinus dan cosinus dari bilangan
kompleks
menggunakan bentuk sinus dan cosinus untuk
menghitung integral trigonometri
mengunakan konsep bilangan kompleks untuk
menganalisis rangkaian listrik AC RLC seri
Bab 2 Bilangan Kompleks - 20
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.1 Pengantar
Tinjau kembali persamaan kuadrat dalam aljabar, yakni
az 2 bz c 0 .
Nilaiz yang memenuhipersamaan di atasdapatdicarimenggunakanrumusabc:
b2
2a
b
z
4ac
.
Permasalahan muncul ketika diskriminan, D b 2 4ac 0 (negatif), karena bilangan negatif
tidak memiliki akar. Untuk mengatasi hal tersebut, diperkenalkan bilangan imajiner, yakni
j
dengan pemahaman bahwa j 2
1
1 . Selanjutnya
4
2j,
2
j3
j 2,
j
adalah bilangan-bilangan imajiner. Akan tetapi,
j2
2
1,
2
j 2 j 2
j4
2,
1
merupakan bilangan-bilangan real.
Dengan diperkenalkannya bilangan imajiner ini, persamaan kuadrat yang diskriminannya negatif
dapat memiliki akar yang merupakan kombinasi dari bilangan real dan bilangan imajiner.
Sebagaicontoh, akar-akardaripersamaankuadrat
z2
2z 3 0
adalah
z
2
4 12
2
2
8
1
2
j 2
yang terdiri dari bilangan real, yakni 1, dan bilangan imajiner, yakni j 2 2 . Semua bilangan yang
mencakup bilangan real, imajiner, dan kombinasi keduanya disebut bilangan kompleks.
LATIHAN 2.1
Tentukan nilai x dari persamaan berikut.
1.
2.
3.
x
16
x
x
Untuk n = bilangan bulat positif, tentukan
nilai dari
2
2
4.
j 4n
5.
j 4n
8
1
4 0
Aip Saripudin
Bab 2 Bilangan Kompleks - 21
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.2 BilanganKompleks
2.2.1 LambangBilanganKompleks
Bilangankompleks,
secaraumum,
memilikimemilikiduabagianbilangan,
yaitubagianrealdanbagianimajiner.Bilangankompleksdilambangkanolehz danditulissebagaiberikut.
z
x
jy
dengan x = Re z = bagianrealdari z, dan
y = Imz = bagianimajinerdari z.
Sebagaicontoh, z = 2 + j5 (atauz = 2 + 5j) memiliki
Re z = 2
Imz = 5
Perhatikan bahwa bagian imajiner dari bilangan kompleks adalah bilangan real, bukan imajiner.
Pada contoh di atas, bagian imajiner dari z adalah 5 (bukanj5 atau 5j).
Bagianrealdanbagianimajinerbolehsaja nol. Sebagaicontoh, z = 0+ 2j = 2jatauz = 2 + 0j = 2. Jikax
= 0, makaz = jydandisebutimajinermurni.
2.2.2 Bidang Kompleks. Bentuk Polar Bilangan Kompleks
Bilangankompleksselalumerupakanpasanganduabilanganreal,
yaituxdany.
Olehkarenaitu,bilangankompleksdapatdigambarkandalambidangkompleks,
yaknibidanginiyang
samadenganbidangkartesius,
hanyasajasumbuvertikalnyamerupakanbagianimajinerdansumbuhorisontalnyamerupakanbagianrea
l, sepertidiperlihatkanpadaGambar 2.1. Berdasarkan hal tersebut, bilangan kompleks dapat ditulis
sebagai z=(x,y) yang maknanya sama dengan z = x + jy.
y
(x, y)
|z|
x
Gambar 2.1 Bidang kompleks.
Jarak antara titik (x, y) dan titik asal (0,0) disebut modulus atau nilai mutlak dari z, ditulis
|z|
x2
y2 .
Sudut dari z disebut fase atau argumen dari z dan memenuhi
arctan
y
.
x
Dari Gambar 2.1,x dan y masing-masing memenuhi
x | z | cos
dan
y | z | sin
jy | z | cos
j | z | sin
| z | (cos
sehinggadiperoleh
z
Aip Saripudin
x
j sin )
Bab 2 Bilangan Kompleks - 22
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Ungkapan
z | z | (cos
j sin )
disebut bentuk polar dari bilangan kompleks.
2.2.3 Formula Euler
Untuk bilangan real (dinyatakan dalam radian), bentuk deret Maclaurin dari sin
(lihat Bab 1) sebagai berikut.
sin
cos
1
3
5
7
3!
5!
7!
2
4
6
2!
4!
6!
x2
2!
x3
3!
x4
... ,
4!
dan cos
...
...
Selanjutnya dari representasi deretex, yakni
ex
1 x
ej
1 j
jikaxdigantiolehj , diperoleh
2
j
2!
2
1
4
3!
4!
...
j
4
2!
cos
3
4!
...
3
5
3!
5!
...
j sin
Dengan demikian, bentuk polar bilangan kompleks, z | z | (cos
j sin ) , dapat ditulis sebagai
z | z|ej
atau sering disingkat dalam bentuk
z |z|
.
Jadi, secara keseluruhan, lambang bilangan kompleks dapat ditulis
z
x
j sin ) | z | e j
jy | z | (cos
|z|
.
2.2.4 SekawanKompleks
Sekawan kompleks dari z ditulis z atau z*. Sekawan kompleks diperoleh dengan mengubah tanda
pada bagian imajiner dari z = x + jy, yakni menjadi
z
x
jy .
Dalambentuk polar ditulis,
z | z | (cos
Aip Saripudin
j sin ) | z | e
j
|z|
.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 23
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Tulis z
CONTOH 1
1 i dalam bentuk polar. Tentukan pula Sekawan kompleks dari z.
Penyelesaian
1 i diperoleh x = –1 dan y = –1 maka modulus dari z
Dari z
|z|
x2
y2
( 1) 2 ( 1) 2
2
danfasenya
tan
1
y
x
1
1
1
tan
5
4
2n
dengan n bilangan bulat. Sudut bilangan kompleks harus berada pada kuadran yang sama dengan
keberadaan titik bilangan. Pada kasus ini, titik (x, y) = ( –1, –1 ) berada di kuadran III dan sudut
yang memenuhi adalah
5
atau
4
3
. Dengan demikian, bentuk polar dari z
4
1 i (dapat
ditulis dalam 4 cara) sebagai berikut.
5
4
z
2 cos
z
2 cos 225 o
5
4
z
2e
j sin 225 o
z
2 225 o .
j sin
Selanjutnya, Sekawan kompleks dari z
5
4
z
2 cos
z
2 cos 225 o
1 i adalah z
j5
4
1 i atau dalam bentuk polar,
5
4
z
2e
j sin 225 o
z
2
j sin
j5
4
225 o
LATIHAN 2.2
Nyatakan bilangan kompleks pada Soal 1 –
5 berikut ke dalam bentuk z | z | e j atau
. Tentukan pula Sekawan
z |z|
kompleksnya.
1.
z 1 j
2.
z
2
3.
z 1
j 3
4.
z
5.
z 1
4j
Aip Saripudin
j
NyatakanSoal 6 – 10 berikut ke dalam
bentuk z = x + jy.
6.
z
7.
z
8.
z
9.
z e
10. z
2 cos
3 cos
3e
j
j sin
4
6
4
j sin
6
2
j2
2 150 o
Bab 2 Bilangan Kompleks - 24
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.3 AljabarKompleks
2.3.1 Penjumlahan,Pengurangan, danPerkalian
Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks mengikuti aturan aljabar biasa.
Jika z1
CONTOH 1
2 5 j dan z 2
5
j , tentukan z1
z 2 , z1
z 2 , dan z1 z 2 .
Penyelesaian
z1
z2
(2 5 j ) (5
j ) (2 5) (5 j
j) 7 4 j
z1
z2
(2 5 j ) (5
j ) (2 5) (5 j
j)
z1 z 2
(2 5 j ) (5
3 6j
j ) 2 5 2 ( j ) 5 j 5 5 j ( j ) 10 2 j 25 j 5 15 23 j
Jikaz = 2 + j, tentukanz2.
CONTOH 2
Penyelesaian
z2
(2
j) 2
4 2j
Jika z 3 4 j , tentukan
yang dapat diperoleh?
CONTOH 3
j2
4 2j 1 3 2j
zz . Bandingkan hasilnya dengan |z|. Apa simpulan
Penyelesaian
Sekawan kompleks dari z
zz
3 4 j adalah z
(3 4 j) (3 4 j )
3 4 j maka
9 16 j 2
9 16
25
5.
Selanjutnya,
|z|
Simpulannya adalah | z |
32
42
9 16
25
5.
zz .
2.3.2 HasilBagi; PenyederhanaankedalamBentukz = x + jy
Hasilbagibilangankompleksdapatdisederhanakankedalambentukz
=
jydengancaramengalikanpembilangdanpenyebutdenganSekawankomplekspenyebut.
Sederhanakanbentukberikut: z
CONTOH 4
x
+
2 i
.
4 3i
Penyelesaian
Kalikan pembilang dan penyebut dengan Sekawan kompleks penyebut maka
z
Aip Saripudin
2 j
4 3j
4 3j
4 3j
8 10 j 3 j 2
16 9 j 2
8 10 j 3
16 9
5 10 j
25
1
5
2
j
5
Bab 2 Bilangan Kompleks - 25
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.3.3 Perkalian dan Pembagian dalam Bentuk Polar
Jika z1 | z1 | e
j 1
dan z 2 | z 2 | e
j 2
maka
z1 z 2 | z1 | e j 1 | z 2 | e j
2
| z1 || z 2 | e j ( 1
2)
dan
z1
z2
i
Diketahui z1
CONTOH 5
| z1 | e j 1
| z2 | e j 2
| z1 | j ( 1
e
| z2 |
2)
.
j
4e 4 . Tentukan z1 z 2 dan z1 / z 2 .
2e 2 dan z 2
Penyelesaian
Akan lebih mudah jika sudutnya dinyatakan dalam derajat. Dalam hal ini
4
45 o dan
2
90 o
maka
o
o
2e j 90 4e j 45
z1 z2
o
2e j 90
z1
z2
4e
1 j ( 90o
e
2
j 45o
o
8e j (90
45o )
45o )
o
8e j135
1 j 45o
e
2
8e
j3
4
1 j4
e
2
atau bisa juga ditulis sebagai berikut.
(2 90 o )(4 45 o ) 8 135 o
z1 z 2
dan
z1
z2
2 90 o
4 45 o
1
45 o .
2
2.3.4 PersamaanKompleks
Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya jika bagian real dan bagian imajiner dari
kedua bilangan tersebut sama.
Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan ( x
CONTOH 6
jy ) 2
2j .
Penyelesaian
(x
jy ) 2
x2
y2
j 2 xy maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
x2
y2
j 2 xy
2j.
Dari persamaan ini diperoleh
2
(1) x
(2)
j 2 xy
y2
0
2j
y x atau y
x
xy 1
Masukkan hasil (1) ke (2), diperoleh
x2
Aip Saripudin
1
atau
x2
1
Bab 2 Bilangan Kompleks - 26
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
sehinggapersamaan x 2
Akan
tetapi,
xdanyadalahbilanganreal
(bukanimajiner)
tidakmemenuhisyarat.Dengan demikian, diperoleh
x2
1
y
x 1 dan y
x 1 dan x
1
1
dan
x
Jadi, solusi persamaan ( x
1
jy ) 2
2 j adalah x
y 1 atau x
y
1
LATIHAN 2.3
Untuk Soal 1 – 5, diberikan z1
z2
3 4 j dan
6.
8 6j.
Tentukan operasi bilangan
kompleks berikut. Nyatakan hasilnya dalam
bentuk polar z = |z|ej .
1.
z1
z2
2.
z1
z2
3.
z1 z 2
4.
z1
z2
5.
z1 z1
1
1
j
7.
5 2j
2 2j
8.
3
2
j
j
Tentukan x dan y yang memenuhi
persamaan kompleks pada Soal 9 – 10
berikut.
9.
j 2x 3
10. ( x
y
jy ) 2
j
j2x
Sederhanakan bentuk pada Soal 6–8 ke
dalam bentuk z = x + jy.
2.4 PangkatdanAkarBilanganKompleks
Dengan menggunakan aturan untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk
polar, diperoleh
zn
| z|ej
n
| z | n e jn
| z | n cos n
j sin n
dan
z1/ n
| z|ej
1/ n
| z |1 / n e j
/n
| z |1 / n cos
n
j sin
n
dengan n = bilangan bulat.
Aip Saripudin
Bab 2 Bilangan Kompleks - 27
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
j )4 .
Tentukan (1
CONTOH 1
Penyelesaian
Ambil z
bilangan bulat
z 1
12 ( 1) 2
1 j maka | z |
j
j
j )4
CONTOH 2
1
1
1
4
2n dengan n =
(titik zdi kuadran IV bidang kompleks). Ambil
2e
(1
tan
2 dan
4
4
maka
. Dengan demikian,
z4
2e
j4 4
j
4e
4 cos
j sin
4( 1 0)
4.
j )1 / 3 .
Tentukan (1
Penyelesaian
Ambil z
12 12
1 j maka | z |
j
sehingga z
1
j
2e
4
arctan
2 dan
1
1
2k
4
(k = 0, 1, 2, …)
2k
(1 j )1 / 3
. Dengan demikian,
z1/ 3
2e
j
1/ 3
2k
4
6
2e
j
12
2k
3
.
Untuk k = 0,
(1 j )1 / 3
6
2e
(1 j )1/ 3
6
2e
(1 j )1/ 3
6
2e
j
12
.
Untuk k = 1,
j 3
4
.
Untuk k = 2,
j 17
12
.
Untuk k = 3, 4, 5, … merupakan pengulangan kembali dari k = 0, 1, 2. Dengan demikian, akar
pangkat 3 dari (1 + j) ada 3, yaitu
(1 j )1 / 3
6
2e
j
12
,
6
2e
j 3
4
,
6
2e
j 17
12
.
Catatan: z1/ n memiliki n akar kompleks.
Aip Saripudin
Bab 2 Bilangan Kompleks - 28
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
CONTOH 3
Tentukan nilai-nilai dari
4
64 .
Penyelesaian
Nilai dari
4
tan
dan
64 ada 4 (karena n = 4). Ambil z
0
64
1
64
64
j 0 maka | z |
(k = 0, 1, 2, …). Ambil 4 nilai , yaitu
2k
( 64) 2
64
, 3 , 5 , 7 .
Dengan demikian, diperoleh
4
z1 / 4
64
1/ 4
64e j
2 2e
j
4
j
2 2e 4 , 2 2e
j3
4
, 2 2e
j5
4
, 2 2e
j7
4
.
LATIHAN 2.4
Tentukan akar-akar berikut.
1.
3
1
2.
4
16
3.
3
4.
5
5.
3
j
2 2j
8
2.5 FungsiEksponendanTrigonometri
Telahdiperolehbahwa
ej
cos
j sin
dan
e
j
cos
j sin
Jikakeduapersamaan di atasdiselisihkandandijumlahkan, masing-masinghasilnyasebagaiberikut.
ej
e
j
(cos
j sin ) (cos
j sin )
2 j sin
ej
e
j
(cos
j sin ) (cos
j sin )
2 cos
Dari keduapersamaanterakhirdiperoleh
sin
ej
e
2j
j
e jz
e
2j
jz
dan
cos
dan
cos z
ej
e
2
j
e jz
e
2
jz
Jika digantioleh z, diperoleh
sin z
CONTOH 1
Aip Saripudin
Tentukan sin j .
Bab 2 Bilangan Kompleks - 29
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Penyelesaian
sin j
ej j
e
2j
j j
e
1
e1
j
j
2j
1
je
2
1
e
1,1752 j
2
Gunakanbentukeksponendaricosinusuntukmenghitung cos 3 xdx .
CONTOH 2
Penyelesaian
e j3x
Dalam bentuk eksponen: cos 3x
2
cos 3x
e j3x
e
2
j3x
e
2
j3x
2
e j6x
maka
e j6x
4
2
sehingga
cos2 3xdx
1
4
e j6x
1
4
1 j6
e
j6
1
4
1
j6
e
j6x
1
e
j6
1
j6
2
1 1 j6x
e
4 j6
2 dx
j6
1
e
j6
2
1
j6
1
j6
1
e
j6
j
j6x
1 j6
e
j6
2x
2
2
Catatan:
e j6
e
cos 6
j6
cos 6
j sin 6
j sin 6
1 0 1
1 0 1
LATIHAN 2.5
Nyatakan berikut ini ke dalam bentuk
z x jy .
1.
e j(
2.
cos j
3.
Buktikan bahwa sin 2 z cos 2 z
Nyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk
eksponen untuk menghitung integral berikut.
/ 4 ) ln 3
1.
4.
cos 2 x sin 2 xdx
5.
sin 2 4 xdx
2.6 Aplikasi dalam Rangkaian Listrik AC
Aip Saripudin
Bab 2 Bilangan Kompleks - 30
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Tinjau rangkaian listrik ac RLC seri pada Gambar 2.2berikut.
R
L
C
Gambar 2.2Rangkaian AC RLC Seri
Jika arus yang mengalir dalam rangkaian adalah i, tegangan pada tiap komponen sebagai berikut.
vR
Ri ,
vL
L
di
,
dt
1
idt .
C
vC
Tegangan totalnya memenuhi
v vR
vL
vC .
Sejauh ini, arus bolak-balik dinyatakan oleh i I 0 sin t . Jika persamaan arus seperti ini
digunakan untuk menghitung tegangan total, akan cukup rumit dan memerlukan waktu lama.
Dalam analisis kompleks, arus bolak-balik dapat dinyatakan oleh
I 0e j t .
i
Dengan persamaan arus ini, tegangan pada komponen L dan C masing-masing
di
dt
vL
L
vC
1
idt
C
j LI 0 e j
t
j Li
1
I 0 e j t dt
C
1
I 0e j
j C
t
j
1
i.
C
Dengan demikian, diperoleh
v
vR
vL
vC
R
j
1
C
L
i.
Perbandingan antara v dan i disebut impedansi kompleks, diberi simbol Z, yakni
Z
v
i
R
j
L
1
C
Besar impedansi sama dengan modulus kompleksnya, yakni
|Z|
Aip Saripudin
R
2
L
1
L
2
.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 31
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
LATIHAN 2.6
Jika dua komponen yang impedansinya
masing-masing Z1 dan Z2 dirangkai seri,
impedansi totalnya adalah Z S Z1 Z 2 dan
jika dirangkai paralel,
1
ZP
1
Z1
Z1
2 3 j dan Z 2
2.
Z2
20 3 30 o dan Z 2
Aip Saripudin
1 5j
20 120 o
Tegangan dan arus ac pada sebuah
komponen
masing-masing
adalah
v
220 2 45o dan i 5
90 o .
Berapakah impedansi komponen?
1
.
Z2
Tentukan ZS dan ZPpada Soal 1 – 2 jika
diketahui
1.
3.
Soal 4 – 5 mengacu pada rangkaian ac RLC
seri seperti Gambar 2.2.
4.
Cari dalam kaitannya dengan R, L, dan
C jika sudut fasenya 45o.
5.
Pada keadaan resonansi, Z adalah real.
Tentukan pada keadaan ini.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 32