å¹»ç ¯ç‰‡ 1 - Blog Dosen ITATS

METODE NUMERIK
Integrasi Numerik
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Integrasi Numerik
 merupakan proses menghitung integral
berdasarkan sejumlah nilai numerik integran
(fungsi yang diintegrasi).
 Jika fungsi yang diintegrasikan mempunyai
satu variabel, proses disebut QUADRATURE
MECHANIC
 Jika fungsi mempunyai dua variable bebas,
proses disebut CUBATURE MECHANIC.
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Integrasi Numerik
 Integral ini secara definitif digunakan untuk
menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi
y = f(x) dan sumbu x
b
L   x dx
a
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Metode Integral Reimann
 Pada metode ini luasan yang dibatasi oleh y =
f(x) dan sumbu x dibagi menjadi n bagian pada
interval x = [a,b]
 Kemudian dihitung tinggi dari setiap bagian
yaitu
f(xi).Li
 Sehingga luas setiap persegi panjang
Li  f xi   xi
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Metode Integral Reimann
 Sehingga Luas dapat dihitung dengan :
n
  f  xi xi
i 0
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Langkah
Metode Integral Reinmann
 Langkah pertama, definisikan fungsi f(x)
 Langkah kedua,
– tentukan batas atas dan batas bawah integrasi, serta
tentukan jumlah pembagi area N
 Langkah ketiga, hitung nilai h dengan cara

b  a
h
N
 Langkah keempat,
– hitunglah nilai integrasinya dengan persamaan
N
L  h   f  xi 
i 0
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Contoh 1
 Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x
untuk range x = [0,1]
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Metode Trapezoida
 Jika kita mendekati fungsi integran dengan
polinomial berorde n, maka integral dari fungsi
tersebut didekati dengan integral dari polinomial
berorde n tersebut.
 Proses integrasi dari polinomial cukup sederhana
dengan menggunakan formula geometri.
 Metode Trapesium, merupakan metode pendekatan
yang paling dasar dalam integral numerik.
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Metode Trapezoida
 Pendekatan metode Trapezoida adalah jumlah
kumulatif dari luas masing-masing segmen
yang berbentuk trapesium
f(x2)
f(xn-2)
f(x1)
f(xn)
f(x0)
a = x0
x1 x
2
f(xn-1)
...
Xn-2X xn = b
n-1
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Langkah Integral dengan
metode Trapezoida
 Langkah pertama,
– mendefinisikan fungsi integran f(x)
 Langkah kedua,
– menentukan batas bawah dan batas atas integral a = x0
dan b = x1 serta jumlah segmen n
 Langkah ketiga,
x n  x0 b  a
– menghitung interval antar segmen x 

n
n
 Langkah keempat,
– menghitung nilai f(x) untuk masing-masing segmen
 Langkah kelima,
– menghitung hasil integrasi total dengan persamaan
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Contoh 3
1
 Hitung
 2 x dx dengan dibagi dalam 10 bagian
3
(n=10) 0
 Cari nilai integral dengan batas x=1,0 dan
x=2,8 dari tabel berikut :
n
0
1
2
3
4
5
6
x
F(x)
1,0
1,449
1,3
2,060
1,6
2,645
1,9
3,216
2,2
3,779
2,5
4,338
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
2,8 www.rkhacademy.com/wp
4,898
Metode
1
3
Simpson
 menggunakan pendekatan polinomial derajat
dua dalam penyelesaian masalah integrasi.
f(x)
b
a
a
L   f x dx   f 2 x dx
f(xi+1)
f(xi-1)
f(xi)
xi-1
b
xi
dimana :
f 2 x   c0  c1 x  c 2 x 2
xi+1
Gambar 6.4
Integrasi dari suatu fungsi
dengan metode 1/3 simpson
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
x  x0 x  x2 

x  x1  x  x 2 
f 2 x  
f x0  
f  x1  
x0  x1 x0  x2 
x1  x0 x1  x2 
x  x0 x  x1 
f x2 
x2  x0 x2  x1 
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
 Dengan mengintegralkan f2(x) didapat :
f x0   4 f x1   f x2 
L  b  a 
6
 Metode 1/3 Simpson didapat
h
L   f x0   4 f x1   f x 2 
3
 Dimana :

b  a
h
2
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Keterbatasan Metode 1/3 Simpson
 Hanya dapat digunakan untuk mencari nilai
integral dengan table equispaced
 Metode ini baru efektif jika n genap, sebab
tidak menimbulkan error yang besar
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Langkah Metode
1
3
Simpson
 Langkah pertama,
– mendefinisikan fungsi integran f(x)
 Langkah kedua,
– menentukan batas bawah dan batas atas integral a
= x0 dan b = x1 serta jumlah pembagi n
 Langkah ketiga, hitung nilai h  b  a 
n
 Langkah ke empat, hitung integrasinya
h
L   f 0  4  f i  2
3
i ganjil
i

f i  f n 

genap

Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Contoh 4
 Hitung
1
3
2
x
 dx
dengan dibagi dalam 10 bagian
0
(n=10) dengan menggunakan metode 1/3
simpson
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Langkah Metode
3
8
Simpson
 Langkah pertama,
– mendefinisikan fungsi integran f(x)
 Langkah kedua,
– menentukan batas bawah dan batas atas integral a
= x0 dan b = x1 serta jumlah pembagi n

b  a
 Langkah ketiga, hitung nilai
h
n
 Langkah ke empat, hitung integrasinya
3h
L
  f 0  3 f1  f 2  f 4  f 5    f n 1   2 f 3  f 6    f n 3   f n 
8
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Contoh 5
 Hitung
1
3
2
x
 dx
dengan dibagi dalam 10 bagian
0
(n=10) dengan menggunakan metode 3/8
simpson
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp