struktur aljabar - Binus Repository

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
STRUKTUR ALJABAR
1
Komposisi Biner
Definisi:
S suatu himpunan tak kosong. Suatu komposisi biner (operasi tertutup
“*”) dalam S adalah suatu pemetaan :SxSS. Suatu operasi “*” dalam
S dikatakan tidak tertutup, jika ada x,yS, sedemikian sehingga x*y  S.
Contoh: Himpunan bilangan jam limaan dengan operasi + adalah
tertutup (komposisi biner). Perlihatkanlah dengan daftar. Daftar seperti
ini disebut Daftar Cayley.
Struktur Aljabar
Definisi:
Suatu himpunan tak kosong dengan satu komposisi biner atau lebih,
disebut Struktur Aljabar.
Contoh:

Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa; yakni [N,+]

Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi + dan x biasa, yakni:
[Z,+,x]
GRUPOID
Definisi:
Suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner, disebut grupoid.
Contoh:

Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa.

Himpunan bilangan riil dengan operasi x biasa.
Definisi:
[G,*] adalah grupoid dan e  G. Elemen e disebut unsur kesatuan kiri,
jika e*x=x, x  G.
Definisi:
[G,*] adalah grupoid dan f  G. Elemen f disebut unsur kesatuan kanan,
jika x*f=x, x  G.
Catatan:
Pertemuan 10
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
2
Dapat terjadi suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari
sebuah, unsur kesatuan kanan lebih dari sebuah, atau bahkan tidak
memiliki unsur kesatuan kiri ataupun kanan.
Definisi:
Suatu grupoid [G,*] disebut komutatif jika x*y=y*x, x,y  G.
Contoh-contoh:

[N,+] adalah grupoid komutatif tanpa unsur kesatuan.

[N, x] adalah grupoid komutatif dengan unsur kesatuan= 1.

Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian
matriks adalah grupoid yang tidak komutatif. Apakah unsur
kesatuannya?
Teorema:
Jika suatu grupoid G memiliki unsur kesatuan kiri e dan unsur kesatuan
kanan f, maka e = f dan G hanya memiliki satu unsur kesatuan saja,
yang bertindak sebagai unsur kesatuan kiri dan kanan. Buktikan.
Akibat:
1. Jika suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari satu, maka
ia tak memiliki unsur kesatuan kanan satupun.
2. Jika suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kanan lebih dari satu,
maka ia tak memiliki unsur kesatuan kiri satupun.
(Buktikan)
Contoh-contoh:

1


0

x
y
x
0
 , x,y  R adalah grupoid dengan operasi
Himpunan matriks 

 0 0
perkalian matriks. Unsur kesatuan kirinya banyak, dan berbentuk
k
.
0
 , x,y  R adalah grupoid dengan operasi
Himpunan matriks 

 y 0
perkalian matriks. Unsur kesatuan kanannya banyak, dan berbentuk
1


k
0
.
0
Pertemuan 10

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
3
Himpunan matriks ordo mxn bilangan asli dengan operasi
penjumlahan matriks adalah grupoid tanpa unsur kesatuan.

Berikut ini adalah grupoid dengan unsur kesatuan kiri = c, tanpa
unsur kesatuan kanan.
*
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
a
c
a
b
c

Grupoid dengan unsur kesatuan kanan = b, tanpa unsur kesatuan
kiri adalah:
*
a
b
c
a
b
a
c
b
c
b
a
c
a
c
b
DAFTAR CAYLEY
Komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif), atau
secara geometrik (daftar Cayley).

Jika pada daftar Cayley suatu grupoid terdapat suatu baris yang
sama dengan baris paling atas, maka unsur pada kolom paling kiri
merupakan suatu unsur kesatuan kiri grupoid yang bersangkutan.

Jika pada daftar Cayley suatu grupoid terdapat suatu kolom yang
sama dengan dengan kolom paling kiri, maka unsur pada baris
paling atas merupakan unsur kesatuan kanan grupoid yang
bersangkutan.

Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley adalah komutatif
jika dan hanya jika daftar Cayleynya merupakan matriks yang
simetris terhadap diagonal utama.
Contoh-contoh:

Perhatikan bahwa grupoid berikut memiliki unsur kesatuan kiri=c,
tanpa unsur kesatuan kanan.
*
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
a
c
a
b
c
Pertemuan 10
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
4

Perhatikan bahwa grupoid berikut mempunyai unsur kesatuan
kanan=b, tanpa unsur kesatuan kiri.
*
a
b
c
a
b
a
c
b
c
b
a
c
a
c
b

Perhatikan bahwa grupoid berikut memiliki unsur kesatuan kiri yang
banyak, yakni a, b, dan c; tanpa unsur kesatuan kanan.
*
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c

Berikut ini adalah grupoid yang komutatif.
*
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b

Contoh berikut ini grupoid yang tidak komutatif.
*
a
b
c
a
b
a
c
b
c
b
a
c
a
c
b
Contoh-contoh:

Berikut ini operasi * yang tertutup.
*
a
b
c
a
b
a
c
b
c
b
a
c
a
c
b



Contoh berikut ini operasi * yang tidak tertutup.
*
a
b
c
a
b
d
c
b
c
b
a
c
a
c
b
Himpunan bilangan asli dengan operasi + adalah tertutup.
Himpunan bilangan asli dengan operasi - tidak tertutup.
Apakah ciri suatu grupoid dalam daftar Cayley tertutup?
Apakah ciri suatu grupoid dalam daftar Cayley tidak tertutup?
Pertemuan 10
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
5
HUKUM PENCORETAN
Hukum Pencoretan
Definisi:

Sebuah grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika
ab=ac mengakibatkan b=c.

Suatu grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika
ba=ca mengakibatkan b=c.
Catatan:
Untuk grupoid komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti
memenuhi hukum pencoretan kanan (mengapa?)
Contoh-contoh:

Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum
pencoretan kiri dan kanan sekaligus.

Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian
matriks tidak memenuhi hukum pencoretan kiri, dan tidak
memenuhi hukum pencoretan kanan. Mengapa?
Hukum Pencoretan dan Daftar Cayley

Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum
pencoretan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam daftar tersebut
memuat unsur yang semuanya berbeda.

Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum
pencoretan kanan jika dan hanya jika setiap kolom dalam daftar
tersebut memuat unsur-unsur yang semuanya berbeda.
Contoh-contoh:

Perhatikan grupoid berikut. Memenuhi hukum pencoretan kiri, tetapi
tidak memenuhi hukum pencoretan kanan.
*
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
Pertemuan 10


Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
6
Grupoid berikut memenuhi hukum pencoretan kanan, tetapi tidak
memenuhi hukum pencoretan kiri.
*
a
b
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
Grupoid berikut memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan
sekaligus.
*
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
Pertemuan 10