C. DIFERENSIASI BAKU TRIGONOMETRI contoh 1. contoh 2.

C. DIFERENSIASI BAKU TRIGONOMETRI
1. y = sin x
maka
dy/dx = cos x
2. y = cos x
dy/dx = -sin x
3. y = tg x
dy/dx = sec2x
4. y = cotg x
dy/dx = -cosec2 x
5. y = sec x
dy/dx = sec x. tg x
6. y = cosec x
dy/dx = -cosec x ctg x
7. y = sinh x
dy/dx = cosh x
8. y = cosh x
dy/dx = sinh x
Bila U = f(x) dapat diturunkan, maka
d sin U
du
= cosU
→ rumus no.2 s/d 8 identik
dx
dx
contoh 1.
Hitunglah
dy
dari y = cos3 5x
dx
Penyelesaian :
dy
d cos 5 x
= 3(cos 2 5 x)
→ rumus no.2
dx
dx
= 3(cos25x)(-sin5x)
d5 x
dx
= -15 sin 5x cos2 5x
contoh 2.
Hitunglah
dy
dari y = ctg 2x cosec 2x
dx
Penyelesaian : → ingat y = U.V maka
dy
dv
du
=U
+V
dx
dx
dx
dy
d cos ec 2 x
d ctg 2 x
= ctg 2 x
+ cos ec 2 x
dx
dx
dx
= ctg 2x ( - cosec 2x.ctg 2x ) 2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2
= ctg2 2x ( - cosec 2x ) . 2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2
= -2 cosec 2x ( ctg2 2x + cosec2 2x )
1
Karena ctg2 α = cos ec 2α − 1, maka :
= -2 cosec 2x [( cosec2 2x – 1 ) + cosec2 2x]
= -2 cosec 2x ( 2 cosec2 2x – 1 )
= 2 cosec 2x – 4 cosec3 2x
INGAT !
sin2 α + cos2 α = 1
1 + ctg2 α = cos ec 2α
1 + tg2 α = sec 2 α
D. DIFERENSIASI FUNGSI IMPLISIT
y = x2 – 4x + 2 → fungsi eksplisit dari x
x2 – 4x – y = 2 → fungsi implisit dari x
contoh :
jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukan
dy
di titik x = 3, y = 2
dx
Penyelsaian :
x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0
2x + 2y
dy
dy
−2−6 =0
dx
dx
( 2y – 6 )
dy
= 2 − 2x
dx
dy 2 − 2 x 1 − x
=
=
dx 2 y − 6 y − 3
∴ di ( 3, 2 ) →
dy 1 − 3 − 2
=
=
=2
dx 2 − 3 − 1
2
E. DIFERENSIASI LOGARITMIK LEBIH DARI DUA FAKTOR
Jika y =
U.V
W
dimana U = f(x) ; V = g(x) ; W = h(x)
Maka untuk mencari turunan pertamanya adalah dengan logaritma dengan
bilangan dasar e
e
log y = e log
U .V
W
dimana
ln a.b = ln a + ln b
ln a/b = ln a – ln b
dirubah menjadi ln y = ln U + ln V – ln W
sehingga
1 dy 1 du 1 dv 1 dw
. = . +
− .
y dx U dx V dx W dx
dy
 1 du 1 dv 1 dw 
= y . + . − . 
dx
 U dx V dx W dx 
jadi jika
y=
U.V
W
maka
dy U .V  1 du 1 dv 1 dw 
=
 . + . − . 
dx W  U dx V dx W dx 
INGAT SIFAT-SIFAT LOG
ln x = e log x
Jadi sifat log juga berlaku untuk ln, al :
ln 1
=0
ln e
=1
ln a.x = ln a + ln x
ln a/x = ln a – ln x → x ≠ 0
ln xn
= n ln x
a
= e ln a
Syarat :
x dan a bilangan positif
N bilangan rasional
3
F. DIFERENSIASI FUNGSI EKSPONEN
d x
d
e = e x ; e k . x = k .e kx
dx
dx
d u
du
e = eu ;
→ U = f ( x)
dx
dx
d u
du
a = a u ln a
dx
dx
a
d
1 du
logU =
dx
U ln a dx
d −x
e = −e − x
dx
Catatan : Gunakanlah selalu cara diferensial logaritmik bila ada lebih dari dua
fungsi dalam suatu perkalian atau pembagian maupun dua-duanya.
Contoh:
Carilah harga
dy
x 2 .sin x
dari persamaan y =
dx
cos 2 x
Penyelesaian :
ln y = ln (x2) + ln ( sin x ) – ln ( cos 2x )
1 dy
1
1
1
= 2 .2 x +
.
(−2 sin 2 x)
. cos x −
x
sin x
cos 2 x
y dx
ingat :
cos x
sin x
= ctgx ;
= tgx
sin x
cos x
jadi
1 dy 2 x cos x 2 sin 2 x
. =
+
+
y dx x 2 sin x cos 2 x
1 dy 2
. = + ctgx + 2tg 2 x
y dx x
Karena y =
x 2 .sin x
cos 2 x
maka
dy x 2 sin x
(2 / x + ctgx + 2tg 2 x)
=
dx cos 2 x
4