2 fungsi transenden

2
FUNGSI TRANSENDEN
Fungsi transenden atau fungsi non-aljabar adalah fungsi yang tidak dapat
dinyatakan dalam sejumlah berhingga operasi aljabar. Fungsi transenden yang
biasa dijumpai dalam hal ini terdiri dari fungsi eksponensial, fungsi logaritmik,
fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik. Dalam pembahasan selanjutnya, akan
diuraikan satu persatu mulai dari defenisi, invers, sampai integral dari masingmasing fungsi transenden tersebut.
2.1. Fungsi Logaritma Natural
Fungsi pertama yang dibahas adalah fungsi logaritma natural atau biasa juga
disebut dengan logaritma asli. Perhatikan Defenisi 1 berikut:
Definisi 1
Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
x
1
f ( x)  ln x   dt ,
t
1
x0
Daerah asal fungsi logaritma natural adalah himpunan bilangan real positif.
Perhatikan Gambar 1 berikut yang menunjukkan arti geometri dari ln x.
1 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
∎
1
x
1
Luas R   dt  f ( x), x  1
t
1
1
1
Luas R   dt  f (1)  0
t
1
1
Luas R   dt 
t
x
x
1
   dt   f ( x), 0  x  1
t
1
Gambar 1. Bentuk geometri ln x
Jika diketahui f (x) = ln x, maka turunannya adalah
f '( x) 
1
, x0
x
(1)
Dengan notasi lain, dapat ditulis sebagai berikut:
d
1
ln x  , x  0
dx
x
(2)
Secara umum, misalkan u = f (x) > 0. Dengan menggunakan aturan rantai,
maka apabila f dapat didiferensialkan, maka diperoleh
d
1 d
ln u 
u
dx
u dx
Teorema 1.
Jika a, b > 0, dan r bilangan rasional, maka
a. ln 1 = 0
b. ln ab = ln a + ln b
c. ln a/b = ln a – ln b
d. ln ar = r ln a.
Bukti:
1
1
a. ln1   dt  0 (berdasarkan definisi 1).
t
1
2 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
(3)
b. Berdasarkan Persamaan (1), maka
d
1
1 d
ln(ax) 
a   ln x
dx
ax
x dx
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b),
maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga
F(x) = G(x) + C, untuk semua x dalam (a,b).
Akibatnya, terdapat konstanta C sedemikian sehingga
ln (ax) = ln x + C
Untuk menentukan C, ambil x = 1, maka ln a = C, sehingga
ln (ax) = ln x + ln a
Selanjutnya, untuk x = b, maka diperoleh
ln (ab) = ln b + ln a = ln a + ln b. (terbukti)
c. Dari (b), ambil a = 1/b, maka
1
1 
ln  ln b  ln  b   ln1  0
b
b 
Jadi, ln
1
  ln b
b
Dengan menggunakan (b) diperoleh:
ln
a
1
 1
 ln  a   ln a  ln  ln a  ln b
b
b
 b
d. Dengan cara yang sama seperti bagian b, maka diperoleh
d
1
r
1
d
d
ln( x r )  r rx r 1   r  r ln x  (r ln x)
dx
x
x
dx
dx
x
Akibatnya, terdapat konstanta C sedemikian sehingga
ln xr = r ln x + C
Untuk menentukan C, ambil x = 1, maka diperoleh C = 0. Ini berarti bahwa
ln xr = r ln x
hasilnya ekivalen dengan ln ar = r ln a. (terbukti).
Contoh 1.
Tentukan turunan dari
a. ln x
b. ln(x2 – x – 2)
3 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
∎
1 x 
c. ln 

1 x 
Penyelesaian:
a. misalkan u  x  x1/2 , maka
d
1 d 1/2
1 1
1
ln  x1/2   1/2
x   1/2 . x 1/2 

dx
2x
x dx
x 2
∎
Bagian b dan c ditinggalkan sebagai latihan.
Misalkan f (x) = ln |x|, maka
d
1
ln x  , x  0 . Untuk menunjukkan hal ini,
dx
x
ditinjau dua kasus.
(1). Apabila x > 0, |x| = x, maka
(2). Apabila x < 0, |x| = -x, maka
d
d
1
ln x  ln  x  
dx
dx
x
d
d
1 d
1
1
ln x  ln( x) 
(  x) 
(1) 
dx
dx
 x dx
x
x
Aibat dari bentuk turunan itu, ada rumus pengintegralannya, akibatnya
diperoleh:
1
 x dx  ln | x | C,
x0
(4)
Secara umum, untuk suatu fungsi u, maka diperloeh
1
 u du  ln | u | C,
u0
Contoh 2.
Hitunglah
a.
5
 2 x  7 dx
3
b.
x
 10  x dx
1
Penyelesaian:
a. Misalkan u  2 x  7 . Jadi, du = 2 dx. Sehingga
4 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
(5)
5
5
5
5
1
5 1
 2 x  7 dx  2  2 x  7 2dx  2  u du
5
 2 x  7 dx  2 ln | u | C  2 ln | 2 x  7 | C
b. Bagian b ditinggalkan sebagai latihan.
∎
Daerah domain ln x adalah himpunan bilangan real positif. Jadi grafik y = ln x
terletak di sebelah kanan sumbu y (yaitu dengan x > 0). Perhatikan Gambar 2
berikut:
Gambar 2. Grafik fungsi f (x) = y = ln x.
2.2. Invers Fungsi dan Turunannya
Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk mengecek apakah suatu fungsi
memiliki invers atau tidak adalah dengan melihat apakah fungsi f tersebut
merupakan monoton murni pada daerah asalanya atau tidak. Suatu fungsi f
memiliki invers apabila f monoton murni pada daerah asalnya. Suatu fungsi f
dikatakan monoton murni pada interval I jika ia naik pada I atau turun pada I.
Contoh 4.
Buktikan bahwa f (x) = x5 + 2x + 1 memiliki invers.
Penyelesaian:
Untuk f (x) = x5 + 2x + 1, maka f ’(x) = 5x4 + 2 > 0 untuk semua x.
Artinya, f naik pada seluruh himpunan bilangan real.
Jadi, fungsi f (x) = x5 + 2x + 1 memiliki invers.
5 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
∎
Perhatikan bahwa, Contoh 4 hanya menunjukkan apakh suatu fungsi memiliki
invers atau tidak. Untuk menentukan fungsi inversnya itu sendiri, maka akan
digunakan Persamaan 6 berikut:
x = f -1(y) jika dan hanya jika y = f (x)
(6)
Contoh 5.
Buktikan bahwa f (x) = 2x + 6 memiliki invers. Kemudian tentukan invers
fungsinya.
Penyelesaian:
f (x) = 2x + 6 maka f ’(x) = 2 > 0 untuk semua x. Artinya, f monoton murni.
Sehingga f (x) = 2x + 6 memiliki invers.
Selanjutnya,
y = 2x + 6 ⇔ 2x = y – 6  x 
y6
y6
x6
 f 1 ( y) 
 f 1 ( x) 
2
2
2
Jadi, fungsi invers dari f (x) = 2x + 6 adalah f 1 ( x) 
x6
.
2
∎
Misalkan f dapat diturunkan dan monoton murni pada selang I. apabila f ’(x)
≠ 0 pada sesuatu x dalam I, maka f -1 dapat diturunkan di titik y = f (x) pada daerah
hasil f dan berlaku
 f  '( y) 
1
1
f '( x)
(7)
Contoh 6.
Misalkan y = f (x) = x5 + 2x + 1. Maka  f 1  '( y) 
1
1
.
 4
f '( x) 5 x  2
Perhatikan bahwa, nilai turunan dari invers fungsi f dapat ditentukan tanpa harus
terlebih dahulu diketahui nilai dari invers fungsi tersebut.
6 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
∎
2.3. Fungsi Eksponen Natural
Fungsi eksponen natural merupakan invers dari fungsi logaritma natural.
Perhatikan Defenisi 2 berikut:
Definisi 2
Invers ln disebut fungsi eksponen natural dan ditulis sebagai exp, yaitu
y = ex ⇔ x = ln y
∎
Berdasarkan Defenisi 2, diperoleh
(1). x = exp (ln x), untuk x > 0
(8)
(2). y = ln (exp y), untuk y ∈ R.
(9)
Exp dan ln adalah fungsi yang saling invers, sehingga grafik y = exp x adalah
grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. Perhatikan Gambar 3
berikut:
Gambar 3. Grafik fungsi logaritma natural dan eksponen natural.
Definisi 3
Bilangan e adalah bilangan real positif yang memenuhi ln e = 1.
∎
Berdasarkan Defenisi 3, karena ln e = 1 maka diperoleh e = exp 1. Bilangan e
biasa disebut dengan bilangan euler yang nilainya e ≈ 2,7182818.
7 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
Selanjutnya, perhatikan kembali Teorema 1(d), Persamaan (8), dan Defenisi 3
untuk menunjukkan exp r = er.
exp r = exp (r.1)
= exp (r ln e)
= exp (ln er)
= er
Jadi, secara identik diperoleh exp r = er, untuk r suatu rasional. Jika batasan
tersebut diperluas untuk semua bilangan (billangan rasional maupun irasional),
katakanlah x, maka diperoleh
ex = exp x
(10)
Berdasarkan Persamaan (10), maka Persamaan (8) dan Persamaan (9) ditulis
kembali menjadi
(1). x = eln x, untuk x > 0
(8)
(2). y = ln (ey), untuk y ∈ R
(9)
Teorema 2.
Misalkan a, b ∈ R. Maka
a. e0 = 1.
b. ea . eb = ea + b
c. ea / eb = ea – b
d. (ea)b = eab
Bukti:
a. Karena ln 1 = 0, maka e0 = 1.
b. ea eb  exp(ln ea eb )
ea eb  exp(ln ea  ln eb )
ea eb  exp(a  b)
ea eb  ea b
c. Bagian c dan d ditinggalkan sebagai latihan
8 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
∎
Ingat kembali bahwa exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers
sehingga fungsi exp x = ex dapat diturunkan.
y = ex ⇔ x = ln y, untuk y > 0 dan x ∈ R
dari sini, diperoleh
dx 1

dy y
Selanjutnya:
y' 
dy
1
1


 y  ex
dx
1
dx
y
dy
Dengan demikian, turunan fungsi eksponen natural ex adalah ex juga. Secara
umum, jika u = f (x) dapat diturunkan, maka
d u
d
e  eu
u
dx
dx
(10)
Contoh 7.
Tentukan turunan terhadap x dari y = e
x
Penyelesaian:
Misalkan u  x , maka
y'  e
x
x
d
1
 e
x  e x  x 1 2  
dx
2
 2 x
Berdasarkan Persamaan (10), maka
∎
 e dx  e
x
x
 C . Secara umum jika x
diganti dengan u, maka diperoleh:
 e du  e
u
u
C
Contoh 8.
Tentukan  e4 x dx
Penyelesaian:
9 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
(11)
Misalkan u = -4x, maka
e
4 x
dx  
du
 4 atau du = -4dx. Sehingga:
dx
1 4 x
1
1
1
e  4dx     eu du   eu  C   e 4 x  C

4
4
4
4
∎
2.4. Fungsi Eksponen Umum dan Fungsi Logaritma Umum
Pada sub bab sebelumnya, telah ditunjukkan bagaimana penyelesaian untuk
suatu eksponensial dengan pangkat rasional dan irasional. Dengan menggunakan
relasi berikut:
ar = exp (ln ar) = exp (r ln a) = er ln a
(12)
akan coba didefenisikan suatu bentuk eksponen dengan bilangan dasar yang
bukan e, katakanlah ax untuk suatu a > 0 dan x merupakan sebarang bilangan real.
Perhatikan Definisi 4 berikut,
Definisi 4
Untuk a > 0 dan x bilangan real sebarang, maka ax = ex ln a.
∎
Berdasarkan Definisi 2, maka diperoleh
ln(a x )  ln(e x ln a )  x ln a
(13)
Persamaan 13 memperbaiki batasan yang berlaku pada Teorema 1(d) yang tidak
hanya berlaku pada bilangan rasional saja melainkan dapat diperluas untuk
sebarang bilangan real x. Perluasan batasan ini dibutuhkan untuk membuktikan
sifat-sifat bilangan berpangkat ax.
Teorema 3.
Apabila a > 0, b > 0, x dan y bilangan real, maka berlaku:
a. axay = ax + y
b.
ax
 a x y
ay
c. (ax)y = axy
d. (ab)x = axbx
10 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
x
ax
a
e.    x
b
b
Bukti:
Akan dibuktikan bagian (b) dan (c) saja. Sementara yang lain akan ditinggalkan
sebagai latihan.
b.
a x e x ln a
 y ln a  e x ln a  y ln a  e( x  y ) ln a  a x  y
y
a
a
c.
a 
x
y
x
 e y ln a  e xy ln a  a xy
∎
Teorema 4.
d x
 a   a x ln a
dx
Bukti:
d x
d
d
a    e x ln a   e x ln a  x ln a   a x ln a

dx
dx
dx
∎
Secara umum, untuk x = u, maka
d u
d
a    au ln a  u

dx
dx
Akibatnya diperoleh
au
 C,
ln a
u
 a du 
a  0, a  1
Contoh 9.
Tentukan
 
d
3
dx
x
Penyelesaian
Dengan memisalkan u =
  
d
3
dx
x
 3 x ln 3
x , maka diperoleh
   
d
dx
11 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
x  3 x ln 3

1
1  2 
1
3 x ln 3
x
x

3
ln
3



2
2 x
2 x



∎
Definisi 5.
Andaikan a bilangan positif dan a ≠ 1, maka y = a log x ⇔ jika x = a y.
∎
Pada umumnya suatu logaritma biasa menggunakan angka 10 sebagai
bilangan pokoknya. Namun, dalam matematika lebih lanjut, angka 10 tersebut
diganti dengan bilangan e sebagai bilangan pokoknya. Perhatikan bahwa:
e
log x = ln x
(14)
Misalkan y = a log x, maka x = a y, sehingga
ln x = y ln a
(15)
Sehingga, dari Persamaan (15) dapat disimpulkan bahwa
a
log x 
ln x
, dengan a > 0 dan a ≠ 1.
ln a
(16)
Selanjutnya, bentuk turunan dari Persamaan (16) adalah:
d a
1
log x  

dx
x ln a
(17)
Contoh 10.
Jika y = log (x4 + 13), tentukanlah turunannya terhadap x.
Penyelesaian:


d
1
4 x3
3
log  x 4  13  4
4
x

  x4  13 ln10 .
dx
 x  13 ln10


12 | Kalkulus II
Blog: aswhat.wordpress.com
Email: [email protected]
∎