Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST

BAB 2
RESPONS FUNGSI STEP PADA
RANGKAIAN RL DAN RC
Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
2.1 Persamaan Diferensial Orde Satu
Adapun bentuk yang sederhana dari suatu persamaan diferensial
orde satu adalah:
di
a 0 + a 1 .i = 0
dt
sehingga dapat dikatakan bahwa besarnya orde dari suatu
persamaan diferensial dinyatakan oleh turunan yang tertinggi pada
suatu persamaan diferensial dan secara umum dapat dituliskan
dengan :
dni
d n −1i
di
a 0 n + a 1 n −1 + ... + a n −1 + a n i = C
dt
dt
dt
Persamaan diferensial Linear dan Non Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan linear apabila
variabel dependent dan semua turunannya adalah ber-orde satu,
dan yang lainnya dikatakan non linear.
Persamaan diferensial biasa (ordinary)
Suatu persamaan diferensial dikatakan persamaan
diferensial biasa kalau hanya mengandung turunan total (total
derivatives) dan sebaliknya kalau persamaan diferensial tersebut
juga mengandung turunan parsial maka persamaan diferensial
tersebut dikatakan persamaan diferensial parsial.
2.2 Persamaan Diferensial Homogen
Misalkan seperti rangkaian dibawah ini :
Gambar 2.1. Rangkaian RL dengan sumber tegangan V
Setelah pada t = 0, maka dari rangkaian dapat dituliskan
persamaan tegangan Kirchoff sebagai berikut :
di
L + (R 1 + R 2 ).i = 0
dt
Persamaan ini memperlihatkan persamaan diferensial linear orde
satu yang homogen dengan koefisien konstan. Persamaan ini dapat
dinyatakan dengan bentuk
(
R1 + R 2 )
di
=−
.dt
i
L
Jika diturunkan persamaan tersebut, akan di dapat :
i = kε
−
R eq
L
t
dimana : Req = R1 + R2
Konstanta k dapat dihitung dengan menggunakan kondisi
awal dari rangkaian yaitu kondisi pada saat t = 0-.
Gambar 2.2 Rangkaian ekivalen dari Gambar 2.1. pada saat t = 0
Maka persamaan menjadi :
Sehingga :
V
i(0 ) =
= k.ε
R1
−
R eq
L
(0 )
R eq
V − L t
i=
ε
R1
2.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Non
Homogen Dengan Faktor Integrasi
Dimisalkan persamaan diferensial yang tidak homogen :
di
+ Pi = Q
dt
Dimana P adalah konstanta dan Q merupakan fungsi independent
ataupun konstanta.
di Pt
ε + Pi.ε Pt = Q.ε Pt
dt
i = ε − Pt ∫ Q.ε Pt .dt + ε − Pt K
Atau :
ε − Pt ∫ Q.ε Pt .dt
ε − Pt K
Sehingga :
: disebut sebagai integral partikular
: disebut sebagai fungsi komplementer
i = iss + itr
2.4 Respon Dari Rangkaian Seri RL Dengan
Sumber Tegangan Searah/Unit Step
Perhatikan rangkaian dibawah ini :
Gambar 2.3 Rangkaian RL dengan sumber tegangan searah
Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah saklar ditutup
adalah :
di
R.i + L = V
dt
Penurunan rumus untuk mencari besar arus I pada rangkaian :
di
R.i + L = V
dt
di
R
= − dt
L
 V
i
−


 R
R
 V
Ln i −  = − t + K '
L
 R
V
i− =ε
R
i = K.ε
−
 R

 − t +K ' 
 L

R
t
L
V
+
R
=ε
−
R
t
L
⋅ ε K'
2.4.1 Menentukan Konstanta K
Karena rangkaian pada Gambar 2.3, disaat t = 0 arus yang mengalir
pada rangkaian adalah nol dan pada saat saklar ditutup (t = 0),
komponen L bersifat terbuka, maka pada saat saklar ditutup arus
pada rangkaian adalah nol, sehingga pada t=0 :
i = 0 = Kε
Sehingga :
R
− .0
L
V
+
R
Atau
: K = -V
R
R 

−
V  V Lt
i=
+ − ε

R  R

{

↓
14243
i ss
↓
i tr
R
− t
V
i = i ss + i tr = ( 1 − ε L )
R
R
V − t
i = i tr = − ε L
R
Gambar 2.4 Kurva dari Persamaan (2.21)
2.4.2 Konstanta Waktu (Time Constant)
Rangkaian dibawah ini sudah dalam keadaan steady state dan
pada saat t = 0 saklar digeser keposisi 2 :
Gambar 2.5 Rangkaian RL dengan sumber tegangan V
Sebelum saklar dipindahkan ke posisi 2 pada rangkaian
telah mengalir arus sebesar :
I (0 − )
V
= = I0
R
Dan setelah saklar di posisi 2 maka persamaan arus pada
rangkaian adalah :
misalkan :
V
i= ε
R
L
τ=
R
−
R
t
L
Atau :
i = I0ε
maka :
−
i
=ε τ
I0
−
R
t
L
t
Dan seandainya untuk rangkaian pada Gambar 2.1 untuk satu
konstanta waktu setelah saklar ditutup adalah sebesar:
− t 
V
i = 1 − ε L 
R

R
atau:
R
− t 

i = I1 − ε L 


V/R
i = I(1 −
R
ε− t
L
)
63,2 %
τ
1τ
2τ
3τ
4τ
Gambar 2.6 Kurva arus dalam satu konstanta waktu dari Persamaan (2.20)
2.4.3 Tegangan Transient Pada R dan L
Pada R:
− t 
V
v R = R.i = R. 1 − ε L 
R

Pada L:
R
− t 
di
d V 
v L = L = L  1 − ε L 
dt
dt  R 

R
V = v R + v L = V (1 − ε
R
− t 

vR=V 1 − ε L 


atau:
−
R
t
L
vL=V ε
atau:
) + Vε
−
R
t
L
=V
τ
Gambar 2.7 Kurva VR dan VL sebagai fungsi τ
−
R
t
L
2.4.4 Daya Sesaat
Pada R:

p R = v R .i = V1 − ε

Pada L:
p L = v L i = Vε
R
− t
L
−
R
t
L
 V
 × 1 − ε
 R


V
× 1 − ε
R
R
− t
L
−




R
t
L




atau:
V2
pR =
R
atau:
V2
pL =
R
R
R
− t
−2 t 

1 − 2ε L + ε L 




R
−2 t 
 − RL t
L 
ε
−
ε




Sedangkan total daya :
V2
pT = pR + pL =
R
R
− t 

1 − ε L 




V2  L  1 2
W=
 = I L
2R  R  2
τ
Gambar 2.8 Kurva PR, PL dan Pr
Contoh:
Perhatikan rangkaian dibawah ini:
Carilah:
a. Bentuk persamaan arus setelah saklar ditutup.
b. Bentuk persamaan tegangan pada R dan L setelah saklar ditutup.
c. Berapa besar arus pada rangkaian setelah saklar ditutup selama 0,5 det.
d. Berapa besar arus pada rangkaian setelah saklar ditutup selama satu
konsatanta waktu rangkaian.
Jawab:
Setelah saklar ditutup, maka persamaan tegangan pada
rangkaian adalah :
di
di
R.i + L = V
atau: 50.i + 5 = 100
dt
dt
di
di
= −10
(i − 2)
dt
i = K.ε-10t+2
atau:
(a)
karena sifat dari L yang tidak dapat disubtitusikan ke Persamaan (a),
diperolehlah bentuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian
setelah saklar ditutup.
a.
(
)
i = 2 1 − ε −10 t Amp
b. Bentuk persamaan tegangan di R setelah saklar ditutup adalah:
[(
)]
[(
v R = R.i = R. 2 1 − ε −10 t = 50 2 1 − ε −10 t
v R = 100(1 - ε −10 t ) volt
)]
Bentuk persamaan tegangan di L setelah saklar ditutup adalah :
di
d
v L = L = 5 2(1 − ε −10 t )  = 5(20ε −10 t )
dt
dt
v L = 100.ε −10 t volt
c. Besar arus pada rangkaian setelah saklar ditutup selama 0,5 detik adalah:
i(0,5 det) = 2(1-ε-10.0,5)
atau:
i (0,5 det) = 1,98 Amp
d. Besar arus selama 1 konstanta waktu setelah saklar ditutup :
τ=
1
= 0,1. det .
10
i(τ=0,1.det) = 2(1-ε-10.0,1)
atau:
i(τ=0,1.det) = 1,26.Amp.
2.5 Respons Dari Rangkaian Seri RC Dengan Sumber
Tegangan Searah/Unit Step
Pada saat t = 0 saklar pada rangkaian dibawah ini ditutup.
Gambar 2.9 Rangkaian RC seri dengan sumber searah
R.i +
1
i dt = V
∫
C
Penyelesaian umum (general solution) dari Persamaan di atas :
t
−
i = Kε RC
2.5.1 Menentukan Konstanta K
K = i0 =
V
R
→
t
V −τ
i= ε
R
Gambar 2.10 Kurva arus dari Persamaan (2.36)
2.5.2 Tegangan Transient Pada R dan C
Pada R :
Pada C :
t

−
V
VR = R.i = R. ε τ 
R



atau :
t

− 
VC = V 1 − ε τ 




Gambar 2.11 Kurva VR dan VC
VR = V.ε
−
t
τ
2.5.3 Daya Sesaat
t
Pada R :
Pada C :
t
2 −2
 − τt   V − τ 
V
pR =VR .i = V.ε   ε  =
ε τ
R


 R
t
t

−  V − 
pC = VC.i = V 1 − ε τ   ε τ  =
R



2
dan :
V
pT = pR + pC =
R
V2
R
t
−2 
 − τt
τ
ε − ε 


t
ε τ
−
Gambar 2.12 Kurva PR, PC dan Pr
2.6 Transient Dari Muatan q Pada Rangkaian RC
Seri
→
→
1
R.i + ∫ idt = V
C
1
−
t
q = Kε RC
+ CV
dq
i=
dt
t 

−


q = CV1 − ε RC 




q = qss + qtr
dimana :
q ss = CV
1
q tr = −CVε RC
−
Gambar 2.13 Kurva muatan transient RC seri