Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST

BAB I
Rangkaian Transient
Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
1.1 Pendahuluan
Pada pembahasan rangkaian listrik, arus maupun tegangan yang
dibahas adalah untuk kondisi steady state/mantap. Akan tetapi
sebenarnya sebelum rangkaian mencapai keadaan steady state,
arus maupun tegangan pada rangkaian mengalami transisi
(transient), dan apabila transisi ini berakhir maka dikatakanlah arus
maupun tegangan pada rangkaian tersebut telah mencapai keadaan
steady state.
Adapun yang dibahas pada materi kuliah ini hanya mencakup
rangkaian-rangkaian yang linear yang memiliki persamaan
diferensial orde satu dan dua dengan konstanta sembarang.
1.2 Kondisi Awal
Dalam analisa rangkaian transient perlu dibedakan tiga daerah
waktu yaitu:
Sesaat sebelum dilakukan perubahan pada rangkaian (pada
kuliah ini yang dimaksud perubahan adalah posisi dari saklar
pada rangkaian) yang dilambangkan pada saat t(0-).
Saat terjadinya perubahan yang dilambangkan pada saat t(0).
Sesaat setelah terjadinya perubahan yang dilambangkan
pada saat t(0+).
Keadaan awal sangat diperlukan agar konstanta sembarang
yang muncul dalam penyelesaian umum dari persamaan
diferensial dapat dihitung.
Sebagaimana diketahui bahwa penyelesaian umum suatu
persamaan diferensial orde suatu akan berisikan satu konstanta
sembarang dan untuk persamaan diferensial orde dua akan
berisikan dua buah konstanta sembarang sedangkan untuk orde
n persamaan diferensial akan memiliki n buah konstanta
sembarang.
1.3 Kondisi Awal Komponen Rangkaian
Komponen R
iR(0-) ≠ iR(O) ≠ iR(0+)
Komponen L
iL(0-) = iL(0) = iL(0+)
Komponen C
[v0 = q0/c] dimana q0 adalah muatan awal
Adapun sifat dari ketiga komponen tersebut
secara ringkas dapat diperlihatkan sebagai berikut:
1.4 Kondisi Awal Dari Turunan Pertama
Rangkaian R-L Seri
Misalkan suatu rangkaian seri seperti dibawah ini :
Gambar 1.1 Rangkaian seri RL
maka menurut hukum Kirchoff, persamaan tegangan pada
rangkaian di atas adalah :
di
L + R.i = Vo
dt
atau
di 1
= (Vo − i.R )
dt L
Persamaan ini memperlihatkan variasi turunan arus dengan
waktu dan sebagaimana diketahui bahwa sesaat setelah saklar
ditutup, pada rangkaian tidak mengalir arus (karena sifat
induktor yang tidak bisa berubah dengan seketika) maka
sesaat setelah penutupan saklar, arus pada rangkaian adalah
nol, sehingga persamaan berbentuk :
di
Vo
(0 + ) =
dt
L
Laju perubahan arus terhadap waktu dinyatakan
dengan :
di
1
(t 1 ) = (Vo − i1 .R )
dt
L
Gambar 1.2 Kurva pendekatan kondisi awal arus pada rangkaian RL
seri
Adapun langkah-langkah untuk kondisi awal
dari suatu turunan pada rangkaian:
Gantikan semua induktor dengan dengan
rangkaian terbuka atau dengan sumber arus
yang memiliki arus sebesar arus yang mengalir
pada saat t(0+).
Gantikan semua kapasitor dengan hubungan
singkat atau dengan sumber tegangan sebesar
bila terdapat muatan awal (q0).
Resistor/tahanan dibiarkan tetap tanpa ada
perubahan.
Jawab :
Karena sifat L yang tidak bisa berubah dengan seketika,
maka rangkaian ekivalen dari rangkaian di atas saat saklar
ditutup adalah :
maka terlihat bahwa i(0+) = 0.
Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah penutupan
saklar adalah
:
di
L + R.i = v
dt
L
di
(0 + ) + R.i(0 + ) = V
dt
atau:
atau
(a)
di
L (0 + ) + R.0 = V
dt
di
V 10
(0 + ) = = = 10 Amp/det
dt
L 1
2
d
i
,
(0 + )
2
dt
untuk mendapatkan
maka persamaan (a) dideferensialkan satu kali :
d 2i
di
(
(0 + )
L
0 + ) + R.
2
dt 23
dt
1
atau
→
d 2i
dt
2
(0 + ) + 100(10 Amp / det ) = 0
↓
10 Amp/det.
2
atau :
d i
(0 + ) = − 1000 Amp / det
2
dt
Contoh
Rangkaian di bawah ini sudah dalam
keadaan steady state.
.
Pada saat t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2, carilah i(0+) ;
di
d 2i
(0 + ) dan dt 2 (0 + )
dt
Jawab :
Adapun bentuk rangkaian ekivalen dalam
keadaan steady state :
Maka sewaktu saklar di posisi 1 besar arus pada
rangkaian adalah :
V 20
i(∞ ) = =
= 2 Amp
R 10
Adapun bentuk rangkaian setelah saklar di posisi 2
adalah :
Karena sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka :
i(0 + ) = i(∞ ) = 2 Amp.
Saklar di posisi 2, maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
L
di
(0 + ) + (R1 + R 2 ). i{
(0 + ) = 0
dt
↓
2 Amp
(a)
atau :
(R 1 + R 2 )
di
(0 + ) +
.2 = 0
dt
L
atau :
di
(0 + ) = − (10 + 20 ) .2
dt
1
atau
di
(0 + ) = −60Amp / det .
dt
Bila persamaan (a) di diferensialkan satu kali maka diperoleh :
L
d 2i
dt 2
+ (R 1 + R 2 )
di
(0 + ) = 0
dt24
1
4
3
↓
atau :
- 60 Amp
(R 1 + R 2 ) × (60Amp / det ) (10 + 20)(60Amp / det .)
d 2i
(
)
0
=
−
=−
= − 1800 Amp / det 2
+
2
L
1
dt
1.5 Kondisi awal dari turunan pertama
rangkaian R-L-C seri.
Gambar 1.3 Rangkaian RLC seri
Karena kondisi awal dari elemen pasif diasumsikan nol,
maka sesaat setelah saklar ditutup yaitu pada saat t = 0 + ,
rangkaian ekivalennya adalah :
Gambar 1.4 rangkaian ekivalen Gambar 1.3 pada saat t = 0+
Dari Gambar 1.3 bilamana saklar ditutup,
maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah:
L
di
1
+ R.i + ∫ idt = V0
dt
C
Untuk t = 0 + , maka persamaan (1.6) berbentuk :
L
di
1
(0 + ) + R.i1
(2
0 + ) + ∫ i(0 + )dt = V0
3 C 123
dt
↓
↓
0
0
Maka terlihat bahwa :
di
L (0 + ) = V0
dt
atau :
V0
di
(0 + ) =
dt
L
d 2i
(0 + ) , maka diferensialkan
Selanjutnya untuk mencari
2
dt
sebelumnya satu kali untuk t =
0 + ,sehingga diperoleh :
0
↑
}
i(0 + )
d 2i
di
(0 ) + R. (0 + ) +
=0
L
2 +
dt24
C
dt
14
3
↓
Vo/L
atau :
R.V0
d 2i
(0 + ) =
2
L
dt
atau :
R.V0
d 2i
L 2 (0 + ) +
=0
L
dt
Contoh :
Dengan mengasumsikan semua kondisi awal dari elemen pasif
Rangkaian di bawah ini, dan pada saat t = 0 saklar ditutup,
maka carilah : i(0+) ; di (0 ) dan d 2 i
+
(0 + )
2
dt
dt
Jawab :
Adapun rangkaian ekivalen setelah saklar ditutup adalah :
maka terlihat dari rangkaian bahwa :
i(0 + ) = 0
Saat saklar ditutup rangkaiannya adalah :
maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
di
1
L + R.i + ∫ idt = V
dt
C
(a)
Untuk t =0 + , maka persamaan (a) menjadi :
di
1
L (0 + ) + R.i(0 + ) + ∫ i(0 + )dt = V
{ C {
dt
↓
↓
0
0
Sehingga :
di
V 20
(0 + ) = = = 20 Amp / det .
dt
L
1
d 2i
(0 + ) diferensialkan
2
dt
Selanjutnya untuk mendapatkan
persamaan (a) satu kali:
d 2i
di i
L 2 + R. + = 0
dt C
dt
untuk t = 0 + , maka :
L
d 2i
dt
(0 ) + R.
2 +
di
(0 + )
dt 23
1
0
↑8
67
i(0 )
+ + =0
C
↓
20 Amp/det.
Sehingga :
R (20.Amp / det .)
100(20.Amp / det .)
(
0+ ) = −
=−
= − 2000Amp / det .
2
d 2i
dt
L
1
Contoh :
Rangkaian di bawah ini telah mencapai keadaan steady state
sebelumnya, maka pada saat t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
d 2i
Carilah : i(0+) ; di (0dan
(0 + )
+)
2
dt
dt
Jawab :
Sewaktu saklar di posisi 1, rangkaian telah dalam keadaan
steady state, sehingga rangkaian ekivalennya adalah :
maka arus pada rangkaian adalah :
i(0 + ) = 0
Pada saat saklar di posisi 2 rangkaian ekivalennya adalah :
maka persamaan tegangan pada rangkaian :
di 1
R.i + L + ∫ idt = VC
dt C
Dan untuk t = 0 + , persamaan ini berbentuk :
di
1
R.i(0 + ) + L (0 + ) + ∫ i(0 + )dt = VC
{
dt
C {
↓
↓
0
0
maka diperoleh :
atau :
di
L (0 + ) = 10
dt
di
10 10
(0 + ) = = = 10Amp / det .
dt
L
1
Selanjutnya untuk menghitung
d 2i
(0 + )
2
dt
diferensialkan
Persamaan (a) satu kali :
di
d 2i i
R. + L 2 + = 0
dt
C
dt
Pada t = 0 +, maka persamaan ini menjadi :
di
(0 + )
R.
dt
123
0
↑8
67
i(0 + )
d 2i
(0 ) +
+L
=0
2 +
C
dt
↓
Sehingga :
10 Amp/det.
d 2i
2
(
)
0
=
−
10
.
amp
/
det
+
dt 2
1.6 Kondisi awal Rangkaian RLC dua Loop
Perhatikan rangkaian di bawah ini :
Gambar 1.5 Rangkaian RLC Dua Loop
Karena semua kondisi awal dari setiap elemen pasif diabaikan,
maka saat saklar ditutup rangkaian ekivalen berbentuk :
Gambar 1.6 Rangkaian Ekivalen sesaat saklar ditutup
Terlihat bahwa :
i1 (0 + ) =
V0
R1
dan :
i2(0+) = 0
Dari rangkaian Gambar 1.5 bila sakalar ditutup, maka
persamaan tegangan setiap loop adalah :
Loop 1 :
1
1
Vo = i1 R 1 + ∫ i1dt − ∫ i 2 dt
C
C
atau :
1
Vo = i 1 R 1 + ∫ (i i − i 2 )dt
C
Loop 2 :
di 2 atau : 0 = 1 (i 2 − i 2 )dt + i 2R 2 + L di 2
1
1
0 = ∫ i 2 dt − ∫ i1dt + i 2 R 2 + L
C∫
dt
C
C
dt
Untuk t = 0 + , maka persamaan menjadi :
di 2
1
(
i
−
i
)
dt
+
R
i
+
L
(0 + ) = 0
1
2 (0 + )
2 2(0 + )
∫
1
2
3
C 44
dt
1
42444
3
↓
0
Sehingga :
di 2
(0 + ) = 0
dt
↓
0
Untuk mendapatkan
di1
(0 + ) maka deferensialkan :
dt
1
Vo = i 1 R 1 + ∫ (i i − i 2 )dt
C
t = 0+, maka :
sehingga :
V0
R1
0
↑8
↑8
67
67
di1
i1 (0 + ) i 2 (0 + )
(0 + ) ⋅ R 1 +
0=
−
dt
C
C
V0
di1
(0 + ) = − 2
dt
CR 1
d 2 i1
Untuk mendapatkan
(0 + ) maka deferensialkan :
2
dt
di1
i1 i 2
0=
R1 + −
dt
C C
t = 0+, maka :
−  V0 / CR12 


0
↑4
↑ 4
6
47
8
647
8
di1
di 2
(
)
(0 + )
0
+
d 2 i1
(0 + ) + dt
0 = R1
− dt
dt
C
C
2
sehingga :
V0
d i1
(0 + ) = 2 3
2
dt
C R1
Untuk mendapatkan
d 2i 2
dt
2
(0 + ) maka deferensialkan :
di1
i1 i 2
0=
R1 + −
dt
C C
t = 0+, maka :
Vo / R1
0
↑8
↑8
67
67
i 2(0 + ) i1(0 + )
di 2
d 2i 2
(0 + ) + L 2 (0 + )
0=
−
+ R2
C
C
dt
dt
1
424
3
↓
0
sehingga :
V0
d 2i 2
(0 + ) =
2
LCR 1
dt
1.7 Kondisi Awal Rangkaian RLC Yang Terdiri
Dari Tiga Loop
Perhatikan rangkaian RLC yang terdiri dari tiga loop dibawah ini.
Gambar 1.6.Rangkaian RLC yang terdiri dari tiga loop
Sebelum dilihat kondisi pada t = 0+ , maka harus dilihat terlebih
dahulu kondisi pada t = 0- (sesaat sebelum saklar ditutup).
Adapun rangkaian ekivalen sebelum saklar ditutup adalah :
Gambar 1.7.Rangkaian ekivalen dari Gambar 6.pada t = 0-
I L ( 0 − ) = I R 2 (0 − )
V
=
R1 + R 2
Dalam keadaan steady state induktor L bersifat hubungan singkat
sedangkan kapasitor C1- danC2, sehingga arus yang mengalir pada
induktor L adalah :
I L (0 − ) = I R 2 (0 − )
V
=
R1 + R 2
Sedangkan tegangan pada terminal kapasitor-kapasitor adalah :
v C1 + v C 2
R 2V
=
R1 + R 2
atau:
v C1
R 2 .V
=
− v C2
R1 + R 2
Karena muatan pada kapasitor yang terhubung seri adalah sama,
maka diperoleh :
q C1 = q C 2
atau :
C1 .v C1 = C 2 .v C 2
1
1
dan apabila dimisalkan D1 =
, maka dapat
dan D 2 =
C1
C2
Dituliskan :
v C1 D1
=
v C2 D 2
Karena : v C1 + v C 2
Sehingga :
Dan :
atau :
R 2V
=
R1 + R 2
v C2
D 2 .v C1
=
D1
D 2 .v C1
R2
Maka : v C1 +
=
.V
D1
R1 + R 2
v C1
R 2 .V
=
R1 + R 2
 D1

 D1 + D 2



v C2
R 2 .V
=
R1 + R 2
 D1 


 D1 + D 2 
Dengan demikian rangkaian ekivalen pada saat t = 0+ adalah :
R1
V
+
-
C1
+
-
C2
+
-
i1(0+)
i2(0+)
R3
i3(0+)
V
R1 + R2
R2
Gambar 1.8 Rangkaian ekivalen dari Gambar.6.pada t = 0+
Persamaan tegangan pada rangkaian ini adalah:
V = R1.i1(0+) + vC1 + vC2
R 1 .i1 (0 + ) = V − v C1 − v C 2 = V − (v C1 + v C 2 )
R2 .V
R1 .i1 (0 + ) = V −
R1 + R2
Rangkaian resistor seri sebagai pembag
Catatan :
R 2V
R 1i1 (0 + ) = V −
1
424
3
R1 + R 2
VR 1
14
42
44
3
VR 1 =
R 1V
R1 + R 2
maka :
V
i1 (0 + ) =
R1 + R 2
Oleh karena arus pada L tidak bisa berubah dengan seketika, maka :
V
i2 (0 + ) = i L (0 − ) =
R1 + R2
Demikian pula karena tegengan pada kapasitor tidak dapat berubah
dengan seketika, maka tegangan pada kapasitor C2 adalah :
v C 2 = R 2 .i 3 (0 + ) + R 3 [i 3 (0 + ) − i 2 (0 + )]
i 3 (0 + )(
. R 2 + R 3 ) = v C 2 + i 2 (0 + )R 3
i 3 (0 + )(
. R2 + R3 ) =
Sehingga :
i 3 (0 + ) =
R 2 .V
D2
V
.
+ R 3.
R 1 + R 2 D1 + D 2
R1 + R 2
 R 2 .D 2

V

+ R 3 
(R 1 + R 2 )(R 2 + R 3 )  D1 + D 2
