Fungsi Riil

Fungsi Riil
Bab
II
FUNGSI RIIL
2.1 Fungsi rill dangrafik
Bayangkan suatu fungsi sebagai suatu mesin hitung. Ia mengambil bilangan
(masukan) dan memproduksi hasil (keluaran). Setiap bilangan yang dimasukkan
dicocokkan dengan satu bilangan tunggal sebagai keluaran, tetapi dapat terjadi bahwa
beberapa nilai masukan yang berlainan memberikan nilai keluaran yang sama, lihat
gambar 2.1.
B
A



x
f

Ko-domain
x
input



f (x)
mesin
output
f (x)
Domain
Range
gambar 2.1 Ilustrasifungsi
Definisi 2.1
Misalkan 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑹yang tidak kosong, sebuah fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 adalah suatu aturan
yang mengkaitkan setiap unsur 𝑥 ∈ 𝐴 dengan tepat satu nilai 𝑦 ∈ 𝐵 . Himpunan
15
Fungsi Riil
𝐴 disebut domain (daerah asal), dan himpunan 𝐵 disebut kodomain, sedangkan
himpunan semua nilai 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang diperoleh
di dalam 𝐵 , disebut
range/image(daerah nilai) dari𝑓.

Unsur 𝑦yang berkaitan dengan unsur𝑥 ini diberi lambang 𝑦 = 𝑓(𝑥)yang dinamakan
aturan fungsi/persamaan fungsi. Disini 𝑥 dinamakan peubah bebas (variabel
independen) dan𝑦yang nilainya bergantung pada𝑥dinamakan peubah terikat (variabel
dependen).Jika persamaan fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴, maka domain fungsi 𝑓 adalah
himpunan𝐴 , dinotasikan𝐷𝑓 = 𝐴 dan range fungsiadalah himpunan𝑅𝑓 = 𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈
𝐴 . Unsur 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 dinamakan nilai fungsi di 𝑥 . Jika
diketahui
persamaan
fungsi𝑦 = 𝑓(𝑥) dan daerah asal tidak disebutkan secara spesifik, maka daerah asal
yang dimaksud adalah “ daerah asal alamiah” (natural domain) dari fungsi, sehingga
daerah asal dan daerah nilai fungsiadalah:
𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑓 𝑥 ∈ 𝑹 dan𝑅𝑓 = 𝑓 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 .
Dalam hal ini daerah asal dan daerah nilai fungsi
semuanya himpunan bagian
dari𝑹.Fungsi ini dinamakan fungsi dengan peubah riil dan bernilai riil, atau cukup
dikatakan fungsi riil.
Fungsi riil 𝑦 = 𝑓(𝑥) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panahseperti pada
gambar 2.2.
𝑹
𝑹
f
Df
Rf
x
𝑹
Df
Rf
x
f

𝑹
f (x)

f (x)
gambar 2.2 Diagram Panahfungsi y  f (x)
16
Fungsi Riil
Notasi fungsi, untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti𝑓
(atau 𝑔 atau 𝐹). Maka 𝑓(𝑥), yang dibaca ”𝑓 dari 𝑥” atau ”𝑓 pada 𝑥”, menunjukkan
nilai yang diberikan oleh 𝑓 kepada 𝑥.
Contoh 2.1
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4, maka 𝑓 2 = 22 − 4 = 0 , 𝑓 −1 = −1
𝑎2 − 4, 𝑓 𝑎 + 𝑕 = 𝑎 + 𝑕
2
2
− 4 = −3 , 𝑓 𝑎 =
− 4 = 𝑎2 + 𝑕2 + 2𝑎𝑕 − 4.

Contoh 2.2
Misalkan𝑔 𝑥 = 1/𝑥, cari dan sederhanakan
𝑔 𝑎 + 𝑕 − 𝑔(𝑎)
𝑕
Penyelesaian: Pertama kita mencari nilai fungsi 𝑔 pada 𝑥 = 𝑎 + 𝑕 dan 𝑥 = 𝑎. Jadi
kita peroleh 𝑔 𝑎 + 𝑕 = 1/(𝑎 + 𝑕) dan 𝑔 𝑎 = 1/𝑎. Kemudian kita bagi dengan 𝑕
selisih 𝑔 𝑎 + 𝑕 − 𝑔(𝑎). Maka
1
1
𝑔 𝑎 + 𝑕 − 𝑔(𝑎) 𝑎+𝑕 − 𝑎 𝑎 − (𝑎 + 𝑕)
1
=
=
=− 2
.
𝑕
𝑕
𝑎𝑕(𝑎 + 𝑕)
𝑎 + 𝑎𝑕

Contoh 2.3
Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi 𝑓 𝑥 = 3 + 1 − 2𝑥 dan 𝑔 𝑥 = (𝑥 +
1)/(𝑥 − 2).
Penyelesaian: Untuk fungsi 𝑓 𝑥 = 3 + 1 − 2𝑥, agar 𝑓 terdefinisi maka nilai 𝑓(𝑥)
haruslah riil, maka syaratnya persamaan dalam akar tak negatif, 1 − 2𝑥 ≥ 0. Maka
hal ini dipenuhi oleh 𝑥 ≤ 1/2. Sehingga daerah asal fungsi adalah
17
Fungsi Riil
𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 ≤
1
1
= −∞, .
2
2
Kemudian untuk setiap 𝑥 dalam daerah asal fungsi berlaku 1 − 2𝑥 ≥ 0, maka nilai
𝑓 𝑥 = 3 + 1 − 2𝑥 ≥ 0 . Sehingga daerah nilai fungsi adalah 𝑅𝑓 = 𝑦 ∈ 𝑹 ∶ 𝑦 ≥
3 = 3, ∞ .
Untuk fungsi 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)/(𝑥 − 2) , agar 𝑔(𝑥) terdefinisi, yaitu 𝑔 𝑥 ∈ 𝑹 ,
syaratnya bentuk pembilangnya tidak boleh 0. Maka 𝑥 − 2 ≠ 0 atau 𝑥 ≠ 2. Sehingga
daerah asalnya adalah 𝐷𝑔 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 ≠ 2 = 𝑹 − 2 . Untuk menentukan daerah
nilai fungsi 𝑔, tuliskan bahwa 𝑦 = (𝑥 + 1)/(𝑥 − 2). Kemudian nyatakan 𝑥 dalam 𝑦,
𝑦 𝑥 − 2 = 𝑥 𝑦 − 1 ⟹ 𝑥(𝑦 − 1) = 2𝑦 + 1
⟹𝑥=
2𝑦 + 1
, 𝑦 ≠ 1.
𝑦−1
Jadi daerah nilai fungsi adalah𝑅𝑓 = 𝑦 ∈ 𝑹 ∶ 𝑦 ≠ 1 = 𝑹 − 1 .
gambar 2.3 Kurvafungsi𝒈 𝒙 = (𝒙 + 𝟏)/(𝒙 − 𝟐)
18
Fungsi Riil
Fungsi 𝑓 juga dapat digambarkan sebagai kurva yang memuat semua pasangan
bilangan (𝑥, 𝑦) dengan 𝑦 = 𝑓(𝑥) . Daerah asal 𝑓 tidak lain adalah proyeksi kurva
pada sumbu 𝑥 (garis riil mendatar) dan daerah hasilnya adalah proyeksi kurva ke
sumbu 𝑦 (garis riil tegak). Sebagai contoh dapat kita lihat grafik fungsi 𝑔pada contoh
2.3 di gambar 2.3.
Contoh 2.4
Tentukan grafik, domain dan range fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 2.
Penyelesaian:
Berdasarkan
persamaan
fungsinya, grafiknya dapat dilihat pada
gambar 2.4. Dari fungsinya, maka daerah
asal fungsi adalah 𝐷𝑓 = −1,2 . Untuk
menentukan
rangenya,
menjadi 𝑦 = 𝑥 − 1
2
persamaannya
− 2 , kemudian
tentukan rentang nilai 𝑦 untuk −1 ≤ 𝑥 ≤
2.
−1 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 1
⇒0≤ 𝑥−1
2
⇒ −2 ≤ 𝑥 − 1
gambar 2.4 Kurvafungsi𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏
≤4
2
−2≤2
⇒ −2 ≤ 𝑦 ≤ 2.
Berdasarkan hasil di atas, maka rangenya adalah 𝑅𝑓 = [−2,2].

Contoh 2.5
Tentukan domain, range, dan gambarkan grafik untuk fungsi 𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 − 𝑥 2 .
Penyelesaian: Agar 𝑓 𝑥 ∈ 𝑹, maka 2 − 𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0. Solusi ketaksamaannya adalah
19
Fungsi Riil
𝑥2 + 𝑥 − 2 ≤ 0 ⇒ 𝑥 + 2 𝑥 − 1 ≤ 0
⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Jadi domainnya adalah 𝐷𝑓 = −2,1 .
Rangenya
diperoleh
dengan
cara
menuliskan bentuk dalam akar menjadi
bentuk kuadrat sejati,
𝑦=
9
1
− 𝑥+
4
2
2
,
𝑦 ≥ 0.
Jika dikuadratkan maka diperoleh
9
1
𝑦 = − 𝑥+
4
2
2
1 2
9
2
gambar 2.5 kurvafungsi𝒇 𝒙 = 𝟐 − 𝒙 − 𝒙𝟐
ma⇒ 𝑥 + 2
,
𝑦≥0
+ 𝑦 2 = 4 𝑦 ≥ 0.
3
Jadi nilai 𝑦 yang memenuhi adalah 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 . Bentuk itu merupakan persamaan
1
setengah lingkaran yang berpusat di titik − 2 , 0 dan berjari-jari
3
2
sebagaimana
terlihat pada gambar 2.5.

Salah satu hal yang juga penting dalam menggambar grafik fungsi adalah bentuk
fungsi genap dan ganjil. Pengertian keduanya diberikan pada definisi 2.2.
Definisi 2.2
Fungsi 𝑓 dikatakan sebagai fungsi genap jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 berlaku 𝑓 −𝑥 =
𝑓 𝑥 . Jika 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , maka 𝑓 disebut fungsi ganjil.

20
Fungsi Riil
Dari definisi tersebut, grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu 𝑦 dan grafik fungsi
ganjil simetri terhadap (0,0) . Sebuah fungsi bukanlah fungsi genap jika terdapat
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 sehingga 𝑓 −𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 dan juga bukan fungsi ganjil jika terdapat 𝑥 ∈ 𝐷𝑓
sehingga 𝑓 −𝑥 ≠ −𝑓 𝑥 .
gambar 2.6 kurvasebuahfungsigenapdanfungsiganjil
Contoh 2.6
Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 3 merupakan fungsi genap, karena 𝑓 −𝑥 = −𝑥
2
+ 3 = 𝑥2 +
3 = 𝑓(𝑥) . Sedangkan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 3 + 4𝑥 adalah fungsi ganjil sebab 𝑔 −𝑥 =
2 −𝑥
3
+ 4 −𝑥 = 2 −𝑥 3 + 4 −𝑥 = −2𝑥 3 − 4𝑥 = − 2𝑥 2 + 4𝑥 . Grafik fungsi
diberikan pada gambar 2.6.
Fungsi 𝑕 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 adalah fungsi yang bukan fungsi genap dan juga bukan
fungsi ganjil, karena 𝑕 −𝑥 ≠ 𝑕(𝑥) ataupun 𝑕 −𝑥 ≠ −𝑕(𝑥). Sedangkan 𝐹 𝑥 = 0
ini adalah jenis fungsi yang merupakan fungsi ganjil sekaligus fungsi genap.
Perhatikan bahwa 𝐹 −𝑥 = −𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑥 = 0 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑹.

21
Fungsi Riil
2.2 Operasipadafungsi
Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑥 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 , penjumlahan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dinyatakan oleh
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥. Operasi aljabar ini mendefinisikan sebuah fungsi
baru yang disebut sebagai jumlah dari 𝑓 dan 𝑔, dilambangkan dengan 𝑓 + 𝑔. Secara
umum definisi untuk fungsi hasil operasi aljabar diberikan pada definisi 2.3. Definisi
itu berlaku jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdefinisi.
Definisi 2.3
Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah dua buah fungsi. Maka jumlah, selisih, hasil kali dan hasil
𝑓
bagi dari keduanya ditulis 𝑓 + 𝑔 , 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔 , dan 𝑔 , dengan aturan bahwa untuk
setiap 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 berlaku:
𝑓+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
𝑓−𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥
𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥),
𝑓
𝑔
𝑓 𝑥
𝑥 =𝑔
𝑥
, 𝑔 𝑥 ≠ 0.

Jika domain fungsi hasil operasi ini ditentukan setelah aturan operasinya, maka
𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 −𝑔 = 𝐷𝑓𝑔 = 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔
sedangkan
𝐷𝑓 = 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔 − 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑔 𝑥 = 0
.
𝑔
Ilustrasi sederhana ditunjukkan pada gambar 2.7.
𝐷𝑓
𝐷𝑓+𝑔
𝐷𝑔
gambar 2.7 Ilustrasi domain fungsihasiloperasipenjumlahan
22
Fungsi Riil
Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsidengannotasi𝑓 𝑛 , kita maksudkan fungsi
yang memberikan nilai 𝑓 𝑥
𝑛
pada 𝑥.
Contoh 2.7
Diberikanfungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 dan 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 − 1 . Tentukan hasil operasi
aljabar kedua fungsi tersebut, 𝑓 ∗ 𝑔.
Penyelesaian: Jumlahdari𝑓 dan 𝑔 adalah
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 3𝑥 2 − 1 = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1.
Domain
natural
untukkeduafungsiadalah
𝑹
,
jadi
domain
hasiloperasipenjumlahannyaadalah𝐷𝑓+𝑔 = 𝑹.

Dengancara yang samabentukfungsihasiloperasilainnyauntuk 𝑓 ∗ 𝑔 dan domainnya
diberikanpadatabel 2.1.
Tabel 2.1 Fungsihasiloperasialjabarduafungsi
Operasi
Penjumlahan
Aturanfungsi
𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1
Domain
𝑹
Pengurangan
𝑥3 − 𝑥2 + 1
𝑹
Perkalian
3𝑥 5 + 6𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 2
𝑹
Pembagian
𝑥 3 + 2𝑥 2
3𝑥 2 − 1
𝑹− −
1
3
,
1
3
Operasifungsi yang lain, adalahoperasifungsibersusun. Misalkan𝑓 dan 𝑔 adalah dua
fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dan 𝑔 ∶ 𝐷 → 𝐶
23
Fungsi Riil
Jika𝑅𝑓 ⋂𝐷𝑔 ≠ ∅, maka terdapat fungsi 𝑕 ∶ 𝐴 → 𝐶yang merupakan fungsi komposisi
dari 𝑓 dan 𝑔,𝑔𝑜𝑓yang aturannya ditentukan oleh:
𝑕 𝑥 = 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 .
Ilustrasi fungsi komposisi diperlihatkan pada gambar 2.8 menunjukkan nilai fungsi 𝑓
pada ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 kemudian diteruskan oleh fungsi 𝑔.
gambar 2.8 komposisiduafungsi
Domain fungsikomposisi 𝑔𝑜𝑓 adalah himpunan 𝐷𝑔𝑜𝑓 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 𝑓 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 .
Adapun rangenya adalah 𝑅𝑔𝑜𝑓 = 𝑦 ∈ 𝑅𝑔 ∶ 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅𝑓 . Dalam hal ini
domainnya tidak lain adalah himpunan bagian dari domain 𝑓.
Fungsi komposisi 𝑓𝑜𝑔 dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar
peran.Misalnya 𝑅𝑔 ⋂𝐷𝑓 ≠ ∅, maka fungsi komposisi dari 𝑓 dan 𝑔 ( 𝑔 dilanjutkan𝑓 )
ditulis 𝑓𝑜𝑔dan aturannya ditentukan oleh𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .Daerah asal dan derah
hasil fungsi komposisi𝑓𝑜𝑔 adalah
𝐷𝑓𝑜𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ∶ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 dan𝑅𝑓𝑜𝑔 = 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑓 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅𝑔 .
Catatan: 𝑔𝑜𝑓 ≠ 𝑓𝑜𝑔.
Contoh 2.8
24
Fungsi Riil
Tentukan fungsi komposisi 𝑓𝑜𝑔 dan𝑔𝑜𝑓 kemudian tentukan pula daerah definisi
fungsi komposisinya.
1
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5; 𝑔 𝑥 = 𝑥−4
b. 𝑓 𝑥 = 2𝑥, 2 < 𝑥 ≤ 8 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 , −1 < 𝑥 < 2
Penyelesaian: Untuk bagian a. Kedua fungsi mempunyai domain alami, 𝐷𝑓 = 𝑹, dan
𝐷𝑔 = 𝑹 − 4 . Rangenya 𝑅𝑓 = 𝑹, dan 𝑅𝑔 = 𝑹 − 0 .
Karena 𝑅𝑔 ⋂𝐷𝑓 ≠ ∅, maka fungsi komposisi 𝑓𝑜𝑔 adalah
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓
1
1
=
+ 5.
𝑥−4
𝑥−4
Domainnya adalah 𝐷𝑓𝑜𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ∶ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 ≠ 4 .
Karena 𝑅𝑓 ⋂𝐷𝑔 ≠ ∅, maka fungsi komposisi 𝑔𝑜𝑓 adalah
𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 5 =
1
1
=
.
𝑥+5 −4 𝑥+1
Domainnya 𝐷𝑔𝑜𝑓 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 𝑓 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 + 5 ≠ 4 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 ≠ 1 .
Untuk bagian b. Domainnya telah diberikan, jadi 𝐷𝑓 = (2,8] dan 𝐷𝑔 = (−1,2) .
Range masing-masing adalah 𝑅𝑓 = (2,4] dan 𝑅𝑔 = [0,8).
Karena 𝑅𝑔 ⋂𝐷𝑓 = (2,8), maka fungsi komposisi 𝑓𝑜𝑔 adalah
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 2 =
2 2𝑥 2 = 2𝑥.
Domainnya 𝐷𝑓𝑜𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ∶ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ∶ 1 < 𝑥 2 ≤ 4 = 1,2 .
25
Fungsi Riil
Karena 𝑅𝑓 ⋂𝐷𝑔 = ∅, maka fungsi komposisi 𝑔𝑜𝑓 tidak ada (walaupun secara umum

kita dapat membuat komposisi fungsinya, yaitu 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 4𝑥).
Komposisi fungsi ini dapat diperumum menjadi komposisi tiga fungsi atau lebih.
Anda dapat menarik kesimpulan sendiri dari contoh yang diberikan di bawah ini dan
membuat generalisasi untuk komposisi dari 𝑛 buah fungsi.
Contoh 2.9
Buatlahbentukfungsi𝐹 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 2 sebagai komposisi dari dua fungsi atau
tiga fungsi.
Penyelesaian: Misalkankitapilihbentukfungsi 𝐺 𝑥 = 𝑥 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 2 ,
maka komposisi 𝑓𝑜𝑔 akan memberikan bentuk fungsi 𝐺𝑜𝑔 𝑥 = 𝐹(𝑥).
Jikafungsi 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 2 dipandang sebagai komposisi dua fungsi, yaitu
𝑕𝑜𝑓 𝑥 dengan 𝑕 𝑥 = 𝑥 2 − 3dan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, sehingga 𝑕𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥). Maka
kita dapat memandang fungsi 𝐹 𝑥 sebagaikomposisitigafungsi, yaitu
𝐹 𝑥 = 𝐺𝑜𝑕𝑜𝑓 𝑥 = 𝐺 𝑕𝑜𝑓 𝑥
=𝐺 𝑕 𝑓 𝑥

.
Contoh 2.10
a. Tentukan aturan fungsi 𝑓 jika 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 8𝑥 2 + 2𝑥 + 1 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1.
b. Tentukan aturan fungsi 𝑓 jika 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 8𝑥 2 + 2𝑥 + 1 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1.
Penyelesaian: Untuk bagian a. Karena 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1, maka 𝑔 𝑓 𝑥
= 2𝑓 𝑥 + 1
dan diketahui bahwa 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 8𝑥 2 + 2𝑥 + 1, maka
2𝑓 𝑥 + 1 = 8𝑥 2 + 2𝑥 + 1 ⟹ 𝑓 𝑥 = 4𝑥 2 + 𝑥.
Untukbagian b. Karena 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1 , maka 𝑓 𝑔 𝑥
= 𝑓 2𝑥 + 1 yang dapat
dihubungkan dengan bentuk 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 8𝑥 2 + 2𝑥 + 1 . Misalkan kita membentuk
26
Fungsi Riil
bentuk kuadrat dari (2𝑥 + 1), maka diperoleh fungsi 𝑓 yang mungkin adalah bentuk
fungsi kuadrat yang memuatsuku 2𝑥 + 1
sedemikian sehingga 𝑓 2𝑥 + 1 = 𝑎 2𝑥 + 1
𝑎 2𝑥 + 1
2
2
2
= 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 dan suku 2𝑥 + 1 ,
+ 𝑏 2𝑥 + 1 + 𝑐. Maka
+ 𝑏 2𝑥 + 1 + 𝑐 = 8𝑥 2 + 2𝑥 + 1
⟹ 𝑎 = 4, 𝑏 = −3 dan 𝑐 = 2.

Jadifungsi𝑓 𝑥 = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 2.
2.3 Fungsi-fungsikhusus
Padapembahasaninikitaakanmempelajarijenis-jenisfungsikhususdanbentukbentukgrafiknya. Beberapajenisfungsikhususinijugatelahbanyakdiberikanpadasubbab
2.1 ataupun 2.2.
2.3.1 Fungsipolinom
Bentukfungsi
yang
pertamakitabahasadalahfungsisukubanyakataufungsipolinom.Fungsiiniadalahpenjuml
ahanbeberapafungsiberpangkat, yang didefinisikansebagaiberikut.Fungsi-fungsi yang
diberikanpenjelasansingkat
di
sinihanyafungsikonstan,
linier,
kuadrat,
dankubik.Beberapajenis
lain
akandiberikandalambeberapamaterilanjutataumatakuliahmatematikatingkatlanjut.
Definisi 2.4
Fungsi𝑓 yang berbentuk 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 dengan 𝑎0 , 𝑎1 , ⋯ , 𝑎𝑛
adalah bilangan riil untuk setiap 𝑛 bilangan bulat tak negatif dan 𝑎𝑛 ≠ 0 ,
dinamakanfungsipolinomberderajat𝑛.

27
Fungsi Riil
Jika
𝑛=0
,
maka
𝑓 𝑥 = 𝑎0
merupakan
bentuk
fungsikonstan.
Grafikfungsinyaadalahgarislurus yang sejajardengansumbu 𝑥 dan berada sejauh 𝑎0
dari sumbu 𝑥 . Sebuah contoh untuk fungsi konstan adalah 𝑓 𝑥 = 4 sebagaimana
terlihat pada gambar 2.9.
Fungsi linieradalahfungsipolinomberderajat 1, yang mempunyaibentuk𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 +
𝑏 dengan 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta dan𝑎 ≠ 0. Kurvanya berupa garis lurus dengan
kemiringan/tanjakan sebesar 𝑎 dan memotong sumbu 𝑦 di titik (0, 𝑏) dan memotong
sumbu 𝑥 di titik
𝑏
−𝑎 ,0
.Jika 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 maka fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥
dinamakanfungsisatuan/identitas.Untuklebihjelasnyadapatdilihatgrafikfungsi 𝑓 𝑥 =
𝑥 dan 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 pada gambar 2.9.
𝒇 𝒙 =𝒙
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓
𝒇 𝒙 =𝟒
gambar 2.9 contohfungsikonstandanfungsi linier
Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam
bentuk 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah konstanta dan 𝑎 ≠ 0 . Grafik
fungsi dapat terjadi dalam beberapa kasus, yaitu memotong sumbu 𝑥 di dua titik,
menyinggung sumbu 𝑥 (memotong hanya di satu titik), atau tidak memotong sumbu
𝑥.
Kurva fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai sumbu simetri di garis
𝑏
𝑏
𝐷
𝑥 = − 2𝑎 , dengan titik puncak di − 2𝑎 , − 4𝑎 , 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Bentuk 𝐷 disebut juga
28
Fungsi Riil
diskriminat, yaitu sebuah nilai yang dapat menentukan nilai-nilai 𝑥 yang
menyebabkan 𝑓 𝑥 = 0 . Jika diskriminant positif, maka grafik fungsi kuadrat
memotong sumbu 𝑥 di dua titik, sebaliknya jika diskriminat negatif, parabola tidak
memotong sumbu 𝑥. Jika 𝐷 = 0 fungsi hanya menyinggung sumbu 𝑥.
Contoh 2.11
Gambarkan kurva fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 dan 𝑔 𝑥 = −3𝑥 2 − 5𝑥 + 2.
Penyelesaian: Untuk fungsi 𝑓 dan 𝑔 , berikut adalah tabel yang memuat semua
komponen penting dalam menggambar kurvanya.
tabel 2.1 Karakteristik fungsi kuadrat
Karakteristik kurva
𝑏
Sumbu simetri, 𝑥 = − 2𝑎
𝑓
𝑔
𝑥=−
𝐷
Nilai puncak parabola, 𝑦 = − 4𝑎
Titik potong sumbu 𝑥, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Titik potong sumbu 𝑦, 𝑥 = 0
5
4
𝑥=
5
6
𝑦 = −49/8
𝑦 = 49/12
1/2 dan 3
−2 dan 1/3
−3
2
Kurva kedua fungsi diberikan pada gambar 2.10.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3
𝑔 𝑥 = −3𝑥 2 − 5𝑥 + 2
29
Fungsi Riil
Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat Tiga) adalah fungsi polinom berderajat 3 yang dapat
dituliskan dalam bentuk 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah
konstanta dan 𝑎 ≠ 0 . Menggambar grafik fungsi kubik lebih rumit daripada
menggambar grafik fungsi kuadrat. Hal ini disebabkan karena untuk mendapatkan
puncak-puncak lengkungan atau perubahan kecekungan kurvanya diperlukan
pengetahuan turunan fungsi yang akan dipelajari pada materi berikutnya.
Kurva fungsi kubik selalu memotong sumbu 𝑥 paling sedikit di satu titik. Untuk
kasus 𝑎 > 0, makin ke kanan nilai 𝑥 pada koordinat kartesian, maka nilai 𝑦 juga akan
cenderung makin ke atas. Sebaliknya, jika 𝑎 < 0, makin ke kanan nilai 𝑥 maka nilai
𝑦 cenderung makin besar ke arah negatif.
Berikut ini adalah gambar 2.11 untuk beberapa fungsi kubik yang berbentuk 𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 3 . Sedangkan untuk beberapa bentuk fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
diberikan pada gambar 2.12.
𝑓 𝑥 = 8𝑥 3
𝑔 𝑥 = 2𝑥 3
𝑕 𝑥 =𝑥
𝑓 𝑥 = −8𝑥 3
𝑔 𝑥 = −2𝑥 3
𝑕 𝑥 = −𝑥 3
3
30
Fungsi Riil
𝑓 𝑥 = −2𝑥 3 + 10𝑥 2 + 25𝑥 − 250
1
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
3
gambar 2.12 kurvafungsikubik𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒅
2.3.2 FungsiRasionaldanIrrasional
Fungsirasionaladalahsuatufungsi yang terbentuksebagaihasilbagiduafungsi, 𝑓 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
dengan 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 dan 𝑞 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 dan
𝑞 𝑥 ≠ 0.
Contoh 2.12
5
Beberapacontohfungsirasional: 𝑓 𝑥 = 𝑥 ; 𝑔 𝑥 =
2𝑥−3
𝑥+2
; 𝑕 𝑥 =
𝑥 2 +4𝑥−3
5𝑥+1
.
Jikadiketahui 𝑓 𝑥 = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥) adalah fungsi rasional, maka nilai-nilai 𝑥 yang
membuat 𝑓 𝑥 = 0 akan berkaitan dengan fakta bahwa kurva fungsinya akan
31
Fungsi Riil
memotong sumbu 𝑥 . Namun, patut diingat bahwa tidak semua fungsi rasional
mempunyai titik potong dengan sumbu 𝑥. Hal itu terjadi jika 𝑝 𝑥 ≠ 0.
Contoh 2.13
Tentukantitikpotongdengansumbu𝑥 (jika ada) untuk fungsi
a. 𝑓 𝑥 =
𝑥 2 + 4𝑥 + 3
𝑥 2 + 4𝑥 + 8
b. 𝑔 𝑥 =
3𝑥 − 5
3𝑥 − 5
penyelesaian:Untukfungsi 𝑓 nilai 𝑓 𝑥 = 0 diperoleh dari 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0 , maka
𝑥 + 1 𝑥 + 3 = 0 . Jadi diperoleh 𝑥 = −1 dan 𝑥 = −3 . Jadi titik potong kurva
dengan sumbu 𝑥 di (−1,0)dan (−3,0). Untuk fungsi 𝑔 , perhatikan bahwa bentuk
𝑝 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 8 mempunyai diskriminantnegatif (𝐷 = −16), jadi kurvanya tidak

memotong sumbu 𝑥.
Bentukfungsirasional
yang
sederhanaadalah𝑓 𝑥 = 1/𝑥. Fungsi ini
tidak pernah memotong sumbu 𝑥 karena
bentuk
𝑓(0)
tidak
ada.Jugatidakmemotongsumbu
𝑥
,
walaupun untuk 𝑥 yang sangat besar
nilai fungsi cenderung makin mendekati
0
(pembahasan
tentang
ini
akan
dipelajari pada materi Limit). Kurva
fungsi tidak pernah memotong sumbu 𝑥
𝟏
gambar 2.13 kurvafungsi𝒇 𝒙 = 𝒙
dan sumbu 𝑦 sebagaimana terlihat pada
gambar 2.13.
Padagambaritujugadapatdilihatbahwa domain dan range adalahsemuanilairiilkecuali
nol.Kemudianuntuk 𝑥 yang makin besar atau makin menjauh dari nol, nilai 𝑓(𝑥)
makin dekat ke nol. Garis 𝑦 = 0 disebut asimptot datar. Sebaliknya makin dekat nilai
32
Fungsi Riil
𝑥 ke nol dari arah kanan kurva bergerak makin ke atas dan mendekati sumbu 𝑦,
demikian pula dengan nilai 𝑥 yang menuju nol dari arah kiri, kurva akan bergerak ke
bawah makin mendekati sumbu 𝑦. Garis 𝑥 = 0 ini disebut asimptot tegak.
Contoh 2.13
Temukanperpotongandengansumbu 𝑥 , sumbu 𝑦 , asimptot-asimptotnya, kemudian
𝑥−2
gambarkan grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥−4.
Penyelesaian: Untuktitikperpotongandengansumbu𝑦, maka cukup dihitung 𝑓(0), jadi
peroleh
0,1
2
. Untuktitikpotongdengansumbu𝑥, dicari nilai 𝑥 yang membuat fungsi
pembilang nol, tapi tidak menyebabkan fungsi penyebut nol.
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2dan substitusi nilainya ke penyebut, 2 − 4 = −2 ≠ 0. Maka titik
potongnya adalah (2,0).
Asimptottegakdiperolehdarifungsipenyebutmenjadinol,
jadi 𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 .
Karena 𝑥 = 2 tidak membuat pembilang nol, maka garis 𝑥 = 2 adalah asimptot
tegak.Asimptot datar diperoleh, jika domain bergerak meluas tanpa batas atau ke
ketakhinggaan.
Untuk
mendapatkan
itu,
kita
bagipembilangnyadenganpenyebutsehinggadiperolehekspresirasionalcampuran,
𝑥−2
2
=1+
.
𝑥−4
𝑥−4
2
Untuk𝑥 yang makin besar, baik ke arah positif ataupun negatif, diperoleh ekspresi 𝑥−4
makin menuju 0, sehinggaasimptotdatarnyaadalah𝑦 = 1.

Grafiknyadapatdilihatpadagambar 2.14.
33
Fungsi Riil
Fungsiirrasionaladalahfungsialjabar
yang
mengandungfaktorpenarikanakar.Misalnya 𝑓 𝑥 = 𝑥 , 𝑔 𝑥 =
3
𝑥 2 − 1 adalah dua
bentuk fungsi irrasional karena mengandung bentuk penarikan akar.
Contoh 2.14
Gambarkankurvaduafungsi 𝑓 dan 𝑔 yangpersamaannyaadalah𝑓 𝑥 = 𝑥 dan 𝑔 𝑥 =
−𝑥.
Penyelesaian: Perhatikanbahwa domain untukfungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 adalahsemuanilai 𝑥
yang
lebih
besar
atau
sama
dengan
0.
Kurvanyasetengah
terbukakekananuntukfungsikuadrattapidengansumbusimetriadalahsumbu
parabola
𝑥
lihat
gambar 2.13.Sebaliknyadenganfungsi𝑔, domainnya adalah semua nilai 𝑥 yang lebih
kecil atau sama dengan 0. Kurvanya setengah parabola terbuka ke kiri, lihat gambar
2.13.

34
gambar 2.15 fungsiirrasional𝒇 𝒙 = 𝒙 dan 𝒈 𝒙 =
−𝒙
Fungsi Riil
Untukfungsidenganakarpangkattigadapatdilihatpadagambar
merupakankurvadaritigafungsi, 𝑔(𝑥) =
𝑕 𝑥 =
3
𝑓 𝑥 =
𝑔 𝑥 =
3
3
𝑥, 𝑓 𝑥 =
3
2.16
𝑥 − 1, dan 𝑕 𝑥 =
yang
3
𝑥 + 1.
𝑥+1
3
𝑥
𝑥−1
gambar 2.16 fungsiakartiga
Perhatikan gambar 2.16, bahwa kurva fungsi 𝑕diperoleh dengan menggeser fungsi 𝑓
sejauh 1 satuan ke sebelah kiri. Demikian pula dengan fungsi 𝑔 yang merupakan
pergeseran
dari
fungsi
𝑓
sejauh
1
satuan
kekanan.Pergeseransepertiinidisebuttranslasi.Translasi adalah transformasi bidang
sedemikian sehingga bayangan dari setiap titik (𝑥, 𝑦)adalah titik (𝑥 + 𝑕, 𝑦 + 𝑘)di
mana nilai-nilai 𝑕 dan 𝑘 adalah nilai yang diberikan. Translasi menyebabkan
perpindahan setiap titik dalam jarak yang sama dan dalam arah yang sama.
35
Fungsi Riil
Tabel 2.2 Fungsidangrafikbeberapafungsi
No
BentukFungsi
Domain
Range
1
𝑥2 − 1
𝑥+1
𝑹 − −1
𝑹 − −2
2
1
𝑥2
𝑹− 0
𝑹+
3
1
𝑥2 + 1
𝑹
0,1
Grafik
36
Fungsi Riil
𝑹+ + 0
𝑥−2
4
−2, ∞
Tabel 2.2 memberikanbeberapa fungsi rasionaldanirrasional yang lain beserta daerah
asal,
daerah
nilai,dangrafiknya.
beberapatitikbantuan
yang
Untukmendapatkangrafikfungsi
yang
tepat,
terletakpadakurvaperluditentukanterlebihdahulu,
sepertititikpotongdengansumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦 (jikaada) danbeberapatitik lain yang
mudahdiperoleh.
Beberapakurva
yang
diberikanpadatabelhanyasebagaipembandingjikadalampengerjaanpadamaterilebihlanj
utada yang sejenis.
2.3.3 FungsiNilaiMutlak
Telahkitapelajaripadabab 1, bentuknilaimutlak.
Padapembahasan
kali
inikitaakanmenggunakannyadalambentukfungsi.
Bentukfungsinilaimutlakadalahbentukfungsi
yang
mengandungbentuknilaimutlakdidalamnya,
37
Fungsi Riil
𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥
dengan
𝑝 𝑥 adalahfungsiterhadap𝑥 . Contohnya𝑓 𝑥 =
|𝑥|, fungsi ini terdefinisi diseluruh bilangan riil
dengan rangenya adalah bilangan riil yang
bukan negatif. Hal ini dikarenakan karena sifat
nilai mutlak, yaitu 𝑓 𝑥 = 𝑥 , jika 𝑥 ≥ 0 dan
𝑓 𝑥 = −𝑥, jika 𝑥 < 0. Bentuk grafiknya dapat
dilihat pada gambar 2.18.
Contoh 2.15
Tentukan domain dan range fungsidenganaturan 𝑓 𝑥 = |𝑥 2 − 1| kemudaian
gambarkangrafiknya.
Penyelesaian:
Perhatikanbahwabentukfungsidalamtandamutlakadalahsebuahfungsipolinom, berarti
domain fungsi𝑓 juga adalah 𝑹. Rangenyadapatdiperolehkarenasifatnilaimutlak yang
selalutidaknegatif, maka 𝑅𝑓 = 0, ∞ . Untuk membuat grafik fungsinya kita ubah
terlebih dahulu bentuk fungsinya tanpa tanda nilai mutlak.
2
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 12 𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 ≥ 1 .
1−𝑥
−1 < 𝑥 < 1
gambar 2.19 fungsi𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟏
38
Fungsi Riil
Untuk𝑥 2 − 1 merupakan parabola terbuka ke atas hanya lengkungan ujung parabola
untuk
selang
−∞, −1
dan
1, ∞
dan
berpotongan
dengan
parabola
terbukakebawah1 − 𝑥 2 pada titik 𝑥 = −1dan 𝑥 = 1, lihat gambar 2.19.

Hasil operasi fungsi nilai mutlak dengan fungsi-fungsi yang lain juga memberikan
grafik fungsi yang unik sebagaimana terlihat pada beberapa contoh berikut.
Contoh 2.16
Fungsi 𝑓 𝑥 = 1 − 2|𝑥 + 1|, yang dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan,
yaitu
𝑓 𝑥 =
−2𝑥 − 1 𝑥 ≥ −1
2𝑥 + 3 𝑥 < −1
Fungsi 𝑓 berubah sifat di 𝑥 = −1. Grafiknya dapat dilihat pada gambar 2.20
gambar 2.20 fungsi𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝟐|𝒙 + 𝟏| dan 𝒈 𝒙 = 𝒙 𝒙 + 𝟐
39
Fungsi Riil
Fungsi 𝑔 dengan bentuk persamaan 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 2 , dapat dituliskan sebagai
fungsi dengan bentuk
𝑔 𝑥 =
𝑥 2 + 2𝑥
−𝑥 2 − 2𝑥
𝑥≥0 
𝑥<0
gambar 2.21 Fungsi𝒉 𝒙 = 𝒙 𝒙 + |𝒙 − 𝟑|
Grafik pada gambar 2.21 adalah grafik untuk fungsi 𝑕 𝑥 = 𝑥 𝑥 + |𝑥 − 3| dapat
dituliskan sebagai fungsi dengan tigabentuk aturan pada sub domain masing-masing.
2.3.4 FungsiBilanganBulatTerbesar
Fungsi khusus yang lain adalah bentuk fungsi bilangan bulat terbesar, yaitu bentuk
fungsi yang nilai fungsinya adalah selalu merupakan bilangan bulat untuk semua nilai
𝑥 dalam domainnya. Bentuk umumnya adalah 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 , yang menyatakan
bahwa nilai 𝑢 𝑥
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
𝑢(𝑥). Fungsi ini disebut juga fungsi tangga.
Misalkan 𝑢 𝑥 = 𝑥, untuk suatu 𝑥 ∈ 𝑹maka tak hingga banyaknya bilangan bulat
yang lebih kecil atau sama dengan𝑥yang pada garis bilangan (lihat gambar 2.22)
terletak sebelah kiri dari 𝑥.
𝒙
𝑥
⋯
𝒏−𝟐
𝒏−𝟏
𝒏
𝒏+𝟏
Bilanganbulat yang ≤ 𝑥
gambar 2.22 ilustrasinilai 𝒙
40
Fungsi Riil
diantara semua bilangan bulat tersebut ada yang terbesar dan bilangan terbesar inilah
yang dimaksud. Misalnya 𝑥 = 3,6maka terdapat bilangan bulat⋯ , −1,0,1,2,3yang
semuanya lebih kecil dari 3,6. Tapi diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat
yang terbesar adalah 3, sehingga 3,6 = 3 . Demikian pula jika 𝑥 = −2 , maka
terdapat⋯ , −4, −3, −2yang semuanya lebih kecil atau sama dengan−2dan diantara
barisan bilangan tersebut yang terbesar adalah −2. Hal yang sama berlaku pula untuk
−1,4 = −2.
Untuk menggambarkan grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 , cukup dengan mengambil
sembarang 𝑛 ∈ 𝒁, maka 𝑥 = 𝑛 jika 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1. Sehingga diperoleh segmensegmen garis yang sejajar dengan selang-selang satuan di 𝑹sejauh 𝑛 dari sumbu 𝑥.
Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar 2.23 yang menyerupai tangga.
Jadi
tanpa
tanda [ ] kita
dapat
membuat bentuk fungsinya menjadi
⋮
−1, −1 ≤ 𝑥 < 0
0≤𝑥<1.
𝑓 𝑥 = 0,
1,
1≤𝑥<2
⋮
gambar 2.23fungsitangga𝒇 𝒙 = |𝒙|
Contoh 2.17
Tentukan aturan fungsi tanpa
, dan gambar grafik dari fungsi :
a. 𝑓 𝑥 = −2𝑥 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
b. 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 , −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
Penyelesaian:
41
Fungsi Riil
ad. a. Menurut definisi bilangan bulat terbesar, maka ∀𝑛 ∈ 𝒁
−2𝑥 = 𝑛 jika 𝑛 ≤ −2𝑥 < 𝑛 + 1
maka −2𝑥 = 𝑛 jika −
𝑛+1
2
𝑛
< 𝑥 ≤ − 2 . Karena domainnya −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, maka nilai-
nilai 𝑛 = −2, −1,0,1 2, sehingga fungsinya adalah
−2,
1
<𝑥≤1
2
−1, 0 < 𝑥 ≤
𝑓 𝑥 =
0, −
1,
1
2
1
<𝑥≤0
2
−1 < 𝑥 ≤ −
2, 𝑥 = −1
1
2
gambar 2.24 fungsi𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙
16