Geometri Euclid

Euclid Geometry
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi
yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda
abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah,
didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian
baru sebelumnya.
Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang
tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat.
Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui
pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang
disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil
sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat
diterima melalui serangkaian pembuktian.
Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu
pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu
sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam
lambang. Seperti titik dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C dan
seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat
̅̅̅̅), dan
juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB (dibaca: garis AB
lambang-lambang yang lain seperti ⃡AB yang menunjukkan segmen AB.
Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari
jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika
tertua yang selalu digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang Euclid,
kecuali fakta bahwa dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM. Pokok
persoalan utama dari karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori bilangan.
Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan
kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti
tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan
1
Euclid Geometry
ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan
gambar.
Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah
kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi
oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut
dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o, garis tersebut akan bertemu
pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran
pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan
mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan
pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti
detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan
menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai
dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku
ajar.
2
Euclid Geometry
BAB II
PEMBAHASAN
A. GEOMETRI EUCLID
Tidak banyak orang yang
beruntung
memperoleh
kemasyhuran yang abadi seperti
Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang
besar. Meskipun semasa hidupnya
tokoh-tokoh
seperti
Martin
Luther,
Agung,
jauh
ketimbang
Napoleon,
Alexander
Euclid
lebih
yang
terkenal
tetapi
dalam
jangka panjang ketenarannya
mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.
Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai
kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai
guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan
kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota
apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada
yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya
yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.
Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak
ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan
Yunani awal seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios,
Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum
Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar
dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti
yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma
sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius
dari teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya, misalnya Teorema 48 di
Buku I.
3
Euclid Geometry
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumusrumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku
itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan
kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan
dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan
penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil
serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis
lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil
sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia
menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan
mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan.
Perlu
dicatat
bahwa
buku
The
Elements
selain
terutama
merupakan
pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung
bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.
Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000
tahun dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun
manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya
saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang
sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa
Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai
bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan
mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah
dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.
Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih
berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu
merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus
merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.
Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor
penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah
sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula
sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu
4
Euclid Geometry
pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan
percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang
punya dasar kuat di lain pihak.
Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan
bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah
semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh
orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna
yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang
ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa
sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme
Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani
kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina–meskipun berabad-abad lamanya
teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa–tak pernah memiliki struktur
matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang
matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina
menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi
pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang
mengandung kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsipprinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar
karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada
umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah
sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan
dengan sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang
sesungguhnya.
Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak
Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian,
mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan
Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara
logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli
matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.
5
Euclid Geometry
Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid,
bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh
serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun
terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya,
sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa
geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala
yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron -misalnya-- dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak
memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan
penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi,
contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan
kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan
manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid
maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.
The Elements terdiri atas tiga belas buku. Buku 1 menguraikan proposisiproposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal
kekongruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis sejajar,
teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan teorema
Pythagoras. Buku 2 berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan
teoremanya tidak lebih tentang penafsiran aljabar sederhana. Buku 3 menyelidiki
lingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudutsudut yang digambarkan. Buku 4 terkait segibanyak beraturan dan lingkaranlingkaran yang mengelilinginya. Buku 5 mengembangkan teori aritmetika tentang
perbandingan. Buku 6 menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang
datar, dan memuat teorema-teorema bilangan kembar. Buku 7 menguraikan teori
bilangan dasar: misalnya bilangan prima, faktor persekutuan terbesar, dan lainlain. Buku 8 terkait dengan deret geometri. Buku 9 memuat macam-macam
aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema-teorema
ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. Buku 10
berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan (dengan kata lain
irasional) menggunakan apa yang disebut “metode keletihan”, suatu rintisan
6
Euclid Geometry
integral kuno. Buku 11 menghitung volume relatif dari kerucut, piramida, tabung,
dan bola menggunakan metode keletihan. Dan akhirnya, buku 13 meneliti apa
yang biasa disebut lima benda padat platonis.
B. STRUKTUR GEOMETRI EUCLID
Asumsi atau postulat yang ada untuk geometri bidang Euclid adalah :
1.
Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu
sama lainnya.
2.
Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama.
3.
Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama.
4.
Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya.
5.
Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau
bentuknya.
6.
Setiap sudut memiliki bisektor.
7.
Setiap segmen memiliki titik tengah.
8.
Dua titik hanya berada pada satu satunya garis.
9.
Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan
segmen yang diberikan.
10. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang
diketahui.
11. Semua sudut siku – siku sama besar.
Dari postulat – postulat di atas dapat dideduksi sejumlah teorema dasar.
Diantaranya adalah :
1. Sudut bertolak belakang sama besar.
2. Sifat kongruensi segitiga ( SAS, ASA, SSS )
3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki dan konversinya
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi
yang telah diberikan sebelumnya.
7
Euclid Geometry
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama
pada sisi segitiga yang diketahui.
Sekarang akan dibuktikan teorema sudut eksterior, sebagai cara menuju
perkembangan lebih lanjut.
Teorema 1. Teorema sudut eksterior. Sudut eksterior segitiga akan lebih besar
daripada sudut interior terpencil manapun.
Bukti. Misal ABC adalah segitiga sebarang dan misalkan D merupakan
perpanjangan dari ̅̅̅̅
BC melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior
∠ACD lebih besar dari ∠A. misalkan E merupakan titik tengah AC, dan misalkan
BE merupakan perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE = EC =BE =
EF dan ∠AEB = ∠CEF ( sudut bertolak belakang sama besar ). Jadi ∆ AEB = ∆
CEF ( SAS ), dan ∠BAE = ∠FCE ( akibat segitiga kongruen ). Karena ∠ACD >
∠FCE ( keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya ), maka disimpulkan
bahwa ∠ACD > ∠BAE = ∠A.
Untuk menunjukkan bahwa ∠ACD > ∠B, perluas ̅̅̅̅
𝐴𝐶 melalui C hingga H, yang
membentuk ∠BCH. Kemudian tunjukkan bahwa ∠BCH > ∠B, dengan
menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian: misalkan M merupakan titik
tengah ̅̅̅̅
BC, perluas panjang ̅̅̅̅̅
AMmelalui M, dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti,
perhatikan bahwa ∠BCH dan ∠ACD merupakan sudut bertolak belakang sehingga
sudut tersebut sama besar.
Pernyataan ∠ACD > ∠FCE bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah
melakukan pembuktian beberapa hasil yang cukup penting.
8
Euclid Geometry
Teorema 2. Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk
pasangan sudut interior dalam berseberangan, maka garis tersebut sejajar.
Bukti. Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar
jika garis tersebut tidak bertemu (berpotongan). Misalkan garis transversal
membagi dua garis l, m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut
interior dalam berseberangan, ∠1 dan ∠2, yang sama besar, dan misalkan garis l
dan garis m tidak sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang
membentuk ∆ABC. C terletak pada satu sisi AB atau pada sisi yang lainnya.
Untuk kasus lainnya, sudut eksterior ∆ ABC sama dengan sudut interior terpencil.
(misalkan, jika C pada sisi AB yang sama sebagai ∠2 maka sudut eksterior ∠1
sama dengan sudut interior terpencil ∠2 ). Hal ini kontradiksi dengan teorema
sebelumnya. Oleh karena itu garis l dan garis m sejajar.
Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar.
Sebagai akibat langsung akibat 1 adalah
Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik
eksternal.
Akibat 3. (Eksistensi garis sejajar). Jika titik P tidak berada pada garis l, maka
akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.
9
Euclid Geometry
Bukti. Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q,
dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan
garis l menurut akibat 1.
Teorema 3. Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180o.
Bukti. Misalkan ∆ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa
∠A + ∠B < 180o. Perluas CB melalui B hingga ke D. maka ∠ABD merupakan
sudut eksterior ∆ABC. Dengan menggunakan teorema 1, ∠ABD > ∠A, tetapi
∠ABD = 180o - ∠B.dengan mensubstitusikan untuk ∠ABD pada relasi pertama,
maka : 180o - ∠B > ∠A, atau 180o > ∠A + ∠B. Jadi, ∠A + ∠B < 180o, dan
teorema tersebut terbukti.
Pengganti Postulat Sejajar Euclid
Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini :
Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis
tersebut.
Pernyatan ini disebut dengan postulat Playfair. Postulat ini bisa dihubungkan
dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama.
Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar, dan
pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut
memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis geometri. Dikatakan
pernyataan ini ekivalen secara logis. Hal ini berarti bahwa jika pernyataan
pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali
postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema;
dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama
dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan pertama
10
Euclid Geometry
dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua pernyataan
mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan
dideduksi sebagai suatu teorema.
Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair
Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair.
Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan
dideduksi postulat Playfair.
Diketahui garis l dan titik P tidak pada l (gambar 2.5), maka akan ditunjukkan
bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis
melalui P yang sejajar dengan l, dan diketahui juga bagaimana cara
menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan garis tegak lurus pada l
⃡ . Maka garis m
dengan kaki Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada 𝑃𝑄
sejajar garis l.
Kemudian misalkan garis n sebarang garis melalui P yang berbeda dengan
garis m. maka akan ditunjukkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan
∠1, ∠2 menunjukkan sudut dimana garis n bertemu dengan ⃡𝑃𝑄 . Maka ∠1 bukan
merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garis n dan garis m berimpit,
berlawanan dengan asumsi. Jadi ∠1 atau ∠2 adalah sudut lancip, misalnya ∠1
yang merupakan sudut lancip.
Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh garis transversal sehingga
membentuk sudut lancip ∠1 dan sudut siku – siku, yang merupakan sudut interior
pada sisi yang sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut
kurang dari 180o, postulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan
bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu – satunya garis
11
Euclid Geometry
yang melalui P yang sejajar dengan garis l dan dideduksikan bahwa postulat
Playfair dari postulat sejajar Euclid.
Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat
sejajar Euclid.
Gambar 2.6
Misalkan garis m dibagi oleh garis transversal dititik Q, P yang membentuk ∠1
dan ∠2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang memiliki
jumlah sudut kurang dari 180o ( gambar 2.6 ), adalah :
(1)
∠1 + ∠2 < 180o
Misalkan ∠3 menunjukkan tambahan ∠1 yang terletak pada sisi berlawanan
⃡𝑃𝑄 dari ∠1 dan ∠2 ( gambar 2.6 ), maka :
(2)
∠1 + ∠3 = 180o
Dari hubungan (1), (2) maka :
(3)
∠2 < ∠3
Pada titik P, bentuk ∠QPR yang sama dengan dan yang interior dalam
berseberangan dengan ∠3. Maka ∠2 < ∠PQR, sehingga ⃡𝑅𝑃 berbeda dari garis m.
menurut teorema 2, ⃡𝑅𝑃 sejajar dengan l. Karenanya menurut postulat Playfair, m
tidak sejajar dengan l. Oleh karena itu, garis m dan l bertemu.
Seandainya garis-garis tersebut bertemu di sisi berlawanan dari ⃡𝑃𝑅 dari ∠1 dan
∠2, katakanlah di titik E maka ∠2 merupakan sudut eksterior ΔPQE, karenanya
∠2 > ∠3 , berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis m
dan l bertemu pada sisi garis transversal ⃡𝑃𝑄 yang memuat ∠1 dan ∠2. Jadi
12
Euclid Geometry
postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan akibatnya dua postulat
tersebut menjadi ekivalen.
C. PERAN POSTULAT SEJAJAR EUCLID
Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid berikut ini merupakan
beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan :
1. Jika dua garis sejajar dibagi oleh garis transversal, sebarang pasangan sudut
interior dalam berseberangan yang terbentuk akan sama besar.
2. Jumlah sudut sebarang segitiga adalah 180°.
3. Sisi bertolak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar.
4. Garis sejajar selalu berjarak sama.
5. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.
6. Teori luas menggunakan unit persegi.
7. Teori segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran
sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui.
Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat
penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori
luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal
itu.
Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa
sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid
manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya
sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut.
Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki
kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian
dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba
mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat
tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti.
13
Euclid Geometry
D. TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN EUCLID GEOMETRY
Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid
Prolus (410-485) memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid yang
kita ringkas sebagai berikut :
Kita asumsikan postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar. Misalkan P
merupakan titik tidak berada pada garis l (gambar 2.7). kita bentuk garis m
⃡
melalui P sejajar dengan garis l dengan cara yang biasa digunakan. Misalkan PQ
tegak lurus dengan l di Q, dan misalkan m tegak lurus dengan ⃡PQ di P. Sekarang,
anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n
membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah pada sisi
⃡ . Bagian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah
kanan PQ
yang dibatasi oleh garis l, m dan ⃡PQ. Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik
̅̅̅̅ tegak lurus dengan l di Y
di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan XY
̅̅̅.
dan misalkan garis ̅̅̅̅
XY tersebut bertemu dengan garis n di Z. Maka ̅̅̅̅
XY > ̅XZ
̅̅̅ meningkat secara tidak menentu, karena
Misalkan X mundur di garis m, maka ̅XZ
̅̅̅̅ setidaknya sama besarnya dengan segmen dari X yang tegak lurus dengan n.
XZ
̅̅ juga meningkat secara tidak menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar
Jadi ̅̅
XY
harus terbatas. Oleh karena itu, akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah.
Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan
garis l. Karenanya, postulat Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat
sejajar Euclid.
14
Euclid Geometry
Argumen Prolus tersebut mencakup 3 asumsi :
a.
jika dua garis saling berpotongan, jarak pada suatu garis dari satu titik ke
garis lainnya akan meningkat secara tak menentu, karena titik tersebut
mundur (menyusut) tak berujung.
b.
segmen terpendek yang menghubungkan titik eksternal pada suatu garis
merupakan segmen yang tegak lurus.
c.
jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas.
(a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan postulat sejajar Euclid. Jadi inti
persoalan pembuktian adalah asumsi (c). Proclus mengasumsikan (c) sebagai
postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai postulat asumsi Proclus tersembunyi.
Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus ekivalen dengan postulat sejajar
Proclus. Postulat sejajar Euclid mengimplikasikan bahwa jarak antara garis sejajar
selalu konstan, dan terbatas. Konversinya, melalui argumen Proclus dapat
dinyatakan bahwa postulat Proclus mengimplikasikan postulat sejajar Euclid.
Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar dengan postulat yang ekivalen, dan
bukan menetapkan validitas postulat sejajar tersebut.
Percobaan Saccheri untuk Mempertahankan Postulat Euclid
Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang
geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun
saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan
pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya
ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan
menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat
sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung.
Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama
panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang
postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut
yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan
segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10).
15
Euclid Geometry
Saccheri membuktikan bahwa ∠C = ∠D dan kemudian mempertimbangkan tiga
kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :
1. hipotesis tentang sudut siku-siku (∠C = ∠D = 90°)
2. hipotesis tentang sudut tumpul (∠C = ∠D > 90°)
3. hipotesis tentang sudut lancip (∠C = ∠D < 90°)
Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku
akan terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut
sebarang segi empat adalah 360°). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut:
Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip
keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut
siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.
Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki
alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi.
Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya
ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai
berikut:

Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.

Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari
sifat di bawah ini di penuhi:
a.
l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut
divergen dari titik perpotongan.
b.
l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang
sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari
garis tegak lurus yang sama tersebut.
16
Euclid Geometry
c.
l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang
sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah,
dan divergen pada arah lainnya.
Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir
harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang
bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri
Euclid.
17
Euclid Geometry
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang dapat ditarik dari penyusunan makalah ini adalah sebagai
berikut:
1.
Geometri Euclid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema
("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas,
artinya hasil-hasil penting/teorema-teorema tersebut merupakan akibat dari
postulat sejajar.
2.
Peran postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil
yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak
akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori
Pythagoras yang terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan
apabila dideduksi dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat
lainnya yang lebih pasti.
18