Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam
Tujuan:
1. Memahami Ruang Euclid sebagai contoh dari Ruang Hasil Kali
Dalam.
2. Memahami definisi umum Ruang Hasil Kali Dalam dan sifatsifatnya.
3. Memahami definisi norm, jarak, keortogonalan.
4. Memahami himpunan orthogonal dan orthonormal.
Ruang Euclid
Dipelopori oleh Euclid of Alexandria (Greek: Εὐκλείδης) (c. 325–c.
265 BC), menulis buku The Element berisi 6 postulat, diantaranya:
Geometri Euclid menjadi satu-satunya bentuk geometri sampai
pada awal abad ke -19 dimana diterima adanya geometri NonEuclid, yang didasarkan perbedaan pengertian 2 garis
sejajar/parallel.
n
Ruang Euclid R :
- merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 operasi:
penjumlahan dan perkalian dengan scalar, sehingga 8 aksioma
berlaku.
- merupakan ruang hasil kali dalam karena mempunyai operasi hasil
kali dalam (bernama perkalian titik untuk ruang Euclid):

untuk setiap u dan
 
u ⋅ v= u1v1 + u2 v2 +  + un vn

v vektor di R n .
Sifat-sifat perkalian titik:
 

n
Jika u , v dan w adalah vektor di R , k adalah skalar
   
1. u ∙ v = v ∙ u
  
   
2. u ∙ ( v + w ) = u ∙ v + u ∙ w
 
 
3. k( u ∙ v )= (k u ) ∙ v
 

 

4. v ∙ v > 0 jika v ≠ 0, dan v ∙ v = 0 jika v = 0

  1/ 2
Norm: panjang dari vektor v = (vv) = v12 + v22 +  + vn2
 
Jarak antara 2 vektor: d (u, v) = u − v = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 +  + (un − vn )2
Ruang Hasil Kali Dalam (umum):
Definisi: suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V


adalah suatu fungsi yang mengaitkan dua vektor u dan v di V
 
dengan suatu bilangan Real, diberi symbol u, v , sehingga berlaku
 

aksioma di bawah ini. Untuk u , v dan w di V,
 
 
u
,
v
=
v
,u
1.
  
 
 
2. u + v, w = u, w + v, w
 
 
3. ku, v = k v, u
 
 
4. v, v ≥ 0 dimana v, v = 0 jika dan hanya jika

v =0.
Contoh hasil kali dalam :
1. Perkalian titik di ruang Euclid.
 
, v 3u1v1 + 2u2 v2
2. u=
 
3. u, v= w1u1v1 + w2u2 v2 +  + wnun vn di mana w1 , w2 , , wn adalah
bilangan real positif, disebut bobot (weight).
Contoh bukan hasil kali dalam:
 
u
, v 3u1v2 + 2u2 v1
4. =


Norm (panjang) vektor di ruang hasil kali dalam: v = v, v
 
   
Jarak antara 2 vektor: d (u, v) = u − v = u − v, u − v
1/ 2
1/ 2
Latihan:
 
Hasil Kali Dalam (hkd) Euclid berbobot: u, v = 2u1v1 + u2 v2 + 3u3v3
- Tunjukan hkd tersebut memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam.
- Tuliskan definisi dari norm dan jaraknya.
 
v, w
Sudut antara dua vektor: cos θ = v w

Dua vektor u dan

v orthogonal jika:
 
u , v =0.
 2 2 
\\Teorema Pythagoras yang diperumum: u + v = u + v
2
Definisi: Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam
disebut himpunan orthogonal jika setiap pasangan berbeda dari
himpunan tersebut orthogonal.
Suatu himpunan orthogonal di mana setiap vektornya bernorm 1
(satu) disebut orthonormal.



u1 (0,1, 0),=
u2 (1, 0,1),=
u3 (1, 0, −1) pada ruang
Misal :=
Euclid yang memiliki perkalian titik.
  
1. Tunjukan himpunan S = u1 , u2 , u3 orthogonal.
{
}
2. Apakah S orthonormal? Ubah S menjadi himpunan orthonormal.
3. Apakah S dapat menjadi basis?
Dalam ruang hasil kali dalam, suatu basis yang terdiri dari vektor
orthonormal disebut basis orthonormal.
Teorema:
 

Jika S = v1 , v2 , , vn adalah suatu basis orthonormal untuk ruang

hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor di V, maka

     
  
=
u u , v1 v1 + u , v2 v2 +  + u , vn vn
 


Artinya: u merupakan kombinasi linier dari v1 , v2 , , vn dengan
   
 
masing-masing koefisiennya adalah u , v1 , u , v2 , , u , vn .
{
}
Latihan:



2
2
Jika p = 1 + 2 x , q = 3 + x + x dan v = 3 − x + 2 x 2 adalah tiga vektor di
P2 (ruang vektor polinom berderajat dua), dan hasil kali dalam
 
p, q = a0b0 + a1b1 + a2b2 .
Apakah himpunan tiga vektor itu orthonormal?