Geometri Eliptik (Riemann)(2)

MAKALAH
GEOMETRI NON EUCLID : GEOMETRI ELIPTIK
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas
Mata Kuliah Geometri
(Dosen : Dr. Sc Mariani, M.Si)
Oleh
ADANG KUSDIANA
NIM : 4101508014
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA (PPs)
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2009
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT. Atas berkah dan
Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Geometri
Non Euclid : Geometri Eliptik”
Penulisan makalah ini hanya penambahan wawasan terhadap geometri non
euclid. Sudah pasti makalah ini kurang sempurnaa, masih banyak kekurangankekurangan. Untuk itu masukan dan kritik membangun sangat penulis harapkan.
Kuninngan, Juni 2009
1. LAHIRNYA GEOMETRI ELIPTIK (NON EUCLID)
Geometri
Non Euclid
lahir
setelah
terpecahkannya permasalahan postulat
kesejajaran Euclid oleh Bolya dan Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri
Lobachevsky dan geometri Riemann. Geometri Lobachevsky disebut geometri Hiperbolik,
mengingat bahwa melalui 1 titik di luar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis
tersebut. Geometri Riemann disebut geometri Eliptik, mengingat tidak ada garis yang dapat
dibuat sejajar garis tersebut. Sedangkan geometri Euclid disebut geometri Parabolik,
mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar
garis tersebut. Geometri Riemann
kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid dengan mengasumsikan prinsip-prinsip
berikut ini:
Postulat kesejajaran Reimann: Tidak ada garis yang sejajar.
Sedangkan Postulat Kesejajaran Euclid mengatakan bahwa Dua garis yang tegak lurus
dengan garis yang sama akan sejajar.
C
m
l
m
l
n
A
B
B
A
C’
(a)
(b)
Diketahui: dua garis yang berbeda l, m yang tegak lurus dengan n (gambar (a).
Akan dibuktikan l sejajar dengan m
Bukti
Andaikan l tidak sejajar dengan m maka l akan berpotongan dengan m di titik C (gambar
(b)). Misalkan l, m berpotongan dengan n di A, B.
Langkah
Alasan
1. Perluas CA melalui panjangnya sendiri
1. Segmen dapat digandakan
Melalui A ke C’
2. Gambar C’B
2. Dua titik menentukan suatu garis
3. ΔABC kongruen dengan ΔABC’
3. Sis sudut sisi
4.  ABC =  ABC’
4. Bagian yang sehadap
Jadi  ABC’ merupakan sudut siku-siku
Karena  ABC merupakan sudut siku-siku
BC dan BC’ tegak lurus AB
5. BC dan BC’ serupa
5. Hanya ada satu garis yang tegak
lurus dengan garis yang diketahui
pada titik pada garis yang diketahui
pula.
Jadi, AC dan BC, atau l dan m memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.
6. Jadi l dan m serupa
6. Dua titik menentukan garis
Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda.
Jadi pengandaian kita salah dan teorema berlaku.
Analisis pembuktian Riemann
 Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa “l dan m serupa” karena garis tersebut
memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama. Langkah ini akan gagal jika C dan C’
tidak berbeda
 Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis “memisahkan bidang menjadi dua sisi yang
berhadapan (Separation Principle)
 Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi dalam Langkah 1 pembuktian di atas
(untuk memperluas CA melalui panjangnya C’) menjamin bahwa C dan C’ berada
pada sisi sehadap dari n dan merupakan titik yang berbeda.
 Tanpa sifat pemisah, keberadaan C dan C’ tidak memiliki justifikasi formal dan bukti
tersebut akan gagal.
Menurut Riemann
 Jika prinsip pemisahan tersebut diterima, C dan C’ haruslah merupakan titik yang
berbeda,
 Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “ dua titik menentukan suatu
garis”, artinya memperbolehkan dua garis untuk berpotongan dalam dua titik.
Kesimpulan
Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann.
Pertama, teori geometri eliptik tunggal,
Sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang
memisahkan bidang tersebut, dua titik yang dimetral dianggap sebagai 1 titik.
Kedua, teori geometri eliptik rangkap dua,
Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik dan setiap garis memisahkan bidang menjadi
2 setengah bidang.
2. REPRESENTASI BOLA PEJAL EUCLID
Untuk memudahkan pemahaman, maka geometri eliptik ini direpresentasikan dalam
bentuk bola pejal euclid. Geometri Eliptik rangkap dua (double elliptic) dalam bentuk
bola/bumi dan geometri eliptik tunggal (single elliptic) dalam bentuk setengah bola.
Perhatikan representasi berikut ini :
a. Double Elliptic
U
A1
B1
O
B
A
S
Dua garis berpotongan pada titik, setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah
bidang.
b. Single Elliptic
A1
O
A
A
S
Dua garis berpotongan pada 1 titik, garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah
bidang. Dua titik yang diametral dianggap sebagai satu titik.
Geometri Eliptik Ganda
Representasi Euclid
Titik
Titik pada bola pejal
Garis
Lingkaran besar
Bidang
Bola pejal
Segmen
Busur lingkaran
Jarak antara dua titik
panjang busur terbendek dari lingkaran
besar yang menghubungkan 2 titik
sudut (yang dibentuk oleh 2 garis)
sudut bole pejal (yang dibentuk oleh dua
lingkaran besar.
Ukuran sudut
Ukuran sudut bola pejal.
Perhatikan bahwa postulat kesejajaran Riemann akan terpenuhi dalam representasi
ini:
 Setiap dua garis (lingaran besar) bertemu, dan kenyataannya tepat pada dua titik.
 Selanjutnya postulat pemisahan akan terpenuhi, karena tiap lingkaran besar akan
memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan.
3. SIFAT DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK
Dapat dipahami bahwa urutan tidak berlaku pada geometri rangkap dua, artinya
[ABC] dapat sama dengan [BCA].
Dalam geometri eliptik tetap berlaku, bahwa melalui satu titik pada suatu garis hanya
dapat dibuat satu garis yang tegak lurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak berlaku,
jika titiknya di luar garis tersebut.
Sifat kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik k, yang disebut kutub dari l
sedemikian sehingga :
a. Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegak lurus pada
l.
b. K berjarak sama dari setiap titik pada l.
Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu kutub
sampai dengan garisnya adalah konstan, demikian juga panjang suatu garis.
Dalil-dalil dasar yang berlaku untuk geometri eliptik :
Dalil 1
Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik
Dalil 2
Semua garis tegaklurus pada suatu garis berpotongan pada titik yang disebut kutub
dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada
garis itu.
Dalil 3
Dalam sebarang segitiga ABC dengan sudut C = 90o, sudut A kurang dari, sama
dengan atau lebih besar dari 90o tergantung dari segmen BC kurang dari, sama den
gan atau lebih besar dari jarak polar q.
Dalil 4
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o.
Dalil 5
Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360o.
Dalil 6
Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.
Dalil 7
Dalam segiempat Lambert ABCD dengan sudut A=sudut B=sudut C=90o, maka sudut
keempat D tumpul.
Dalil 8
Tidak ada bujur sangkar dalam geometri eliptik.
Dalil 9
Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen
4. MODEL DALAM GEOMETRI ELIPTIK
Hyperspherical model
Model hyperspherical adalah penyamarataan model yang berbentuk bola dalam
dimensi-dimensi yang lebih tinggi. Pokok ruang eliptik n dimensional adalah vektor satuan di
Rn+1, yang ,rupanya pokok dari bola satuan di ruang n+1 dimensional. Bentuk di dalam model
ini adalah jarak terpendek dari permukaan bumi, persimpangan-persimpangan bola dengan
permukaan yang datar dimensi n melintas aslinya.
Projective model
Di dalam model yang bersifat proyeksi, pokok ruang projektif real n dimensional
digunakan sebagai poin-poin dari model. Pokok ruang projektif n dimensional dapat
dikaitkan dengan bentuk melalui asli di dalam (n+1)-dimensional ruang/spasi, dan didapat
secara
tidak unik yang diwakili oleh vektor-vektor yang tidak nol di Rn+1, dengan
pemahaman, itu u dan λu, untuk setiap skalar yang tidak nol λ,menunjukkan titik yang sama.
Jarak dapat digambarkan dengan metrik
Ini adalah homogen pada setiap variabel, dengan d(λ u , μ v) = d(u, v) jika λ dan
μbersifat skalar-skalar tidak nol, dengan demikian itu menggambarkan suatu jarak di pokok
dari ruang projektif
Suatu properti yang terkemuka dari model yang bersifat proyeksi adalah bahwa untuk
dimensi-dimensi, seperti pesawat, ilmu ukur itu adalah bisa tidak dunia Timur, menghapus
pembedaan antara arah jam dan berlawanan arah jarum jam perputaran dengan
mengidentifikasi mereka
Stereographic model
Suatu perwakilan model ruang/spasi yang sama seperti model hyperspherical dapat
diperoleh atas pertolongan projeksi stereografik. izinkan En menunjukkan Rn ∪ {∞},yang
,ruang(spasi n riil dimensional yang diperluas oleh suatu titik di takhingga. Kita boleh
menggambarkan suatu yang metrik, chordal metrik, di En oleh
di mana u dan v adalah setiap dua vektor di Rn dan ||*||adalah Norma Euclides yang umum.
Kita juga menggambarkan
Hasil suatu ruang metrik di En, yang menunjukkan jarak sepanjang suatu tali dari
poin-poin yang sesuai di model hyperspherical, itu petakan secara bijektif kepada oleh
projeksi stereografik. Untuk memperoleh suatu model dari geometri eliptik, kita
menggambarkan yang lain metrik
Hasil itu adalah suatu model dari geometri eliptik.
5. PERBANDINGAN DENGAN GEOMETRI YANG LAIN
Euclid
Lobachevski
Riemann
(hiperbolik)
(eliptik)
Dua garis yang
Paling banyak
Paling banyak
Satu (eliptik
berbeda saling
satu
satu
tunggal)
berpotongan
Dua (eliptik
pada
ganda)
Garis L yang
Satu dan hanya
diketahui dan P
satu
Setidaknya dua
Tidak ada garis
Titik
Titik
Yang melali P
yang sejajar
tidal pada L,a
dengan L
akan ada
Suatu garis
akan
akan
Tidak akan
Terpisah
menjadi dua
oleh suatu titik
Garis sejajar
Dimana-mana
Dimana-mana
berjarak sama
berjarak tidak
tidak
sama
Jika suatu garis
haruslah
Kemungkinan
berpotongan
atau tidak
dengan satu dari
mungkin
-
garis tersebut
dua garis yang
sejajar,maka
garis tersebut
Hipotesis
Hipotesis sudut
Hipotesis sudut
Hipotesis sudut
Saccheri yang
siku-siku
lancip
tumpul
Akan sejajar
Akan sejajar
Akan
valid adalah
Dua garis yang
berbeda akan
tegak lurus
dengan garis
yang sama maka
Akan memotong
berpotongan
Akan lebih dari
1800
Sebanding
Sebanding
Jumlah sudutnya
dengan
dengan
kekurangan
kelebihan
kongruen
kongruen
Jumlah sudut
Akan sama
Akan kurang
suatu segitiga
dengan
dari
Luas segitiga
Akan bebas
Dua segitiga
yang mempunya
sudut sehadap
sama besar akan
Sama besar