Metode Numerik, Sistim Angka, dan Kesalahan

BAB I. Metode Numerik, Sistim Angka, dan Kesalahan
BAB I
-1
Metode Numerik, Sistim Angka,
dan Kesalahan
1.1. Pendahuluan
Metode Numerik merupakan suatu teknik/Metode penyelesaian permasalahan yang
diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmatik). Pendekatan
penyelesaian dengan metode ini dilakukan apabila penggunaan penyelesaian secara umum
(analitis) sulit dilakukan. Hal-hal khusus yang dimiliki oleh metoda ini adalah: adanya proses
penghitungan yang berulang-ulang (iteratif) yang membawa konsekwensi adanya alat bantu
untuk proses otomatisasi dari iterasi tersebut yaitu (program) komputer. Komputer adalah mesin
penghitung elektronik yang cepat dan dapat menerima informasi input digital, kemudian
memprosesnya sesuai dengan program yang tersimpan di memorinya, dan menghasilkan output
berupa informasi. Sebelum suatu permasalahan bisa diselesaikan dengan bantuan komputer
diperlukan langkah langkah antara lain: proses pemodelan matematis dari situasi nyata,
penyediaan input dan data yang cukup bagi model, dan pembuatan algoritma program.
Di dalam bidang teknik sipil banyak contoh yang merupakan persoalan-persoalan yang
memerlukan metode ini dalam penyelesaiannya, seperti: lendutan yang terjadi pada pelat lantai.
(Struktur), gaya tekan air pada dinding kolam.(hidroteknik), kepadatan lalu lintas di suatu titik
jalan.(Transportasi), gaya tekan tanah pada didinding turap(Geoteknik). Dan masih banyak
persoalan lainnya yang tidak disebutkan di sini.
1.2. Sistem Angka dan Kesalahan
Dalam Kehidupan sehari-hari, angka yang dipergunakan berdasarkan pada sistem desimal.
Misalnya contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:
157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)
Perhatikan, Sekarang kita bisa mengetahui mengapa bilangan desimal ini sering juga disebut
basis 10 bukan? Benar. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dsb.
Secara umum bentuk suatu bilangan berbasis 10 dinyatakan dalam bentuk persamaan di bawah
ini.
N =(anan-1 ... a0)10=an10n + an10n-1 + . . . +a0100
dimana:
an
: koefisien ke-n dari polinomial berbasis 10 (bilangan antara 0 sampai 9)
Data di dalam komputer berupa denyut listrik, dengan 1 (on) 0 (off). Karena hanya mengunakan
dua digit 0 dan 1 maka dinamakan binary number system. Singkatan dari binary digit adalah bit
dipakai sebagai unit dasar ketika kita mengukur besarnya data, semua tombol pada keyboard
dikirim ke komputer dalam bentuk kode biner. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem
biner adalah.
N =(anan-1 ... a0)2=an2n + an2n-1 + . . . +a020
dimana:
an
: koefisien ke-n dari polinomial berbasis 2 (bilangan 0 atau 1)
BAB I. Metode Numerik, Sistim Angka, dan Kesalahan
Dengan demikian angka 157 dalam sistem binari.
1
0
0
1
1
1
0
notasi
Nyala/padam
27 26 25 24 23 22 21
Biner
-2
1
20
nyala
padam
= 1*27 +0*26 +0*25+1*24+1*23+1*22 +0*21+1*20
=128+0+16+8+4+0+1
157 = (10011101)2
157
Konversi bilangan bulat berbasis β kepada berbasis 10 dilakukan dengan menggunakan
algoritma dengan koefisien:
an , an-1 , an-2. . . . ,a2 , an, ao
P(x)= anXn + an-1Xn-1 + . . . . + a2X2 +a1X +a0
Dan suatu bilangan β, maka perhitungan bilangan:
bn , bn-1 , bn-2. . . . ,b2 , bn, bo
bn = an
bn-1 = an-1+ bn.β
bn-2= an-2 +bn-1.β
bn-3= an-3+ bn-2.β
.
.
.
bo =a0+b1.β
dengan demikian bo =p(β) hasil akhir
contoh: (1101)2
b3=1
b2=1+1*2=3
b1=0+3*2=6
b0= 1+6*2=13
contoh: (10001)2
b4=1
b3=0+1*2=2
b2=0+2*2=4
b1=0+4*2=8
b0= 1+8*2=17
jadi bilangan (1101)2 =13
jadi bilangan (10001)2 =17
1.2.1. Konversi Bilangan Bulat Desimal Ke Sistem Bilangan Biner
Ada beberapa metode untuk mengkonversikan dari sistem bilangan desimal ke sistem
bilangan biner. Metode yang pertama dan paling banyak digunakan adalah dengan cara membagi
nilai 2 dan sisa setiap pembagian merupakan digit biner dari bilangan biner hasil konversi.
Metode ini disebut metode sisa (remainder method).
BAB I. Metode Numerik, Sistim Angka, dan Kesalahan
contoh:45 = ……2
contoh:125 = ……2
-3
maka :
45 : 2 = 22 + sisa 1
22 : 2 = 11 + sisa 0
11 : 2 = 5 + sisa 1
5 : 2 = 2 + sisa 1
2 : 2 = 1 + sisa 0
maka bilangan desimal 45 dalam sistem biner bernilai 101101
125 : 2 = 62 + sisa 1
62 : 2 = 31 + sisa 0
31: 2 = 15 + sisa 1
15: 2 = 7 + sisa 1
7 : 2 = 3 + sisa 1
3: 2 = 1 + sisa 1
Maka bilangan desimal 125 dalam bentuk biner adalah 1111101.
1.3. Kesalahan (Error)
Dalam perhitungan menggunakan metode numerik ada potensi terjadinya kesalahan yang
desebabkan oleh beberapa faktor antara lain:
− Bawaan data: Kesalahan ini muncul akibat adanya kekeliruan dalam memberikan data dan
kesalahan dalam mengambil asumsi terhadap data.
− Pembulatan (rounding): Kesalahan ini terjadi akibat penentuan jumlah angka di belakang
koma. Misal :
bilangan 0.6123467 sebanyak 7 digit
Menjadi 0.612347 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan.
Dalam bilangan berbentuk pecahan dikenal suatu istilah Angka signifikan, yang merupakan
angka-angka yang terdapat dalam bilangan pecahan yang berpengaruh dalam perhitungan.
Angka signifikan tersebut adalah:
1. Merupakan angka 1 s/d 9.
2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 di abaikan.
Contoh, 0.0005813 memiliki 4(empat) angka signifikan, sedangkan 0.700124 mempunyai
6(enam) angka signifikan
− Pemotongan (chopping): Kesalahan oleh proses ini timbul pada angka pecahan, yang nilai
diambil sebagai angka pecahan yang dinormalisir (mis. 543.8 menjadi 0.5438(103))
Pertanyaan yang timbul, apakah suatu bilangan mengalami pembulatan atau pemotongan
dapat dilihat pada ilustrasi contoh berikut.Contoh bila ada bilangan x=2/3, dalam bentuk pecahan
desimal adalah x=0.6666666 …, maka bila bilangan ini dinormailisasi akan menjadi:
1. x=0.67,
2. x=0.66 jika merupakan pemotongan.
jika x=0.67 proses yang terjadi merupakan pembulatan, sedangkan jika x=0.66 maka proses yang
terjadi merupakan pemotongan.
1.3.1. Kesalahan Mutlak
Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan
numerik nilai sesungguhnya terhadap nilaii pendekatan yang diberikan, atau yang diperoleh dari
hasil perhitungan atau pengukuran. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini.
BAB I. Metode Numerik, Sistim Angka, dan Kesalahan
-4
Kesalahan(Error) = Nilai Eksak - Nilai Perkiraan
ξe=P - P*
dimana:
Ee
P
P*
: Kesalahan Absolut
: Nilai eksak
: Nilai Perkiraan
1.3.2. Kesalahan Relatif
Kesalahan relatif adalah kesalahan mutlak dibandingkan dengan terhadap nilai eksak yang
terjadi. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini.
ξe=
Ee
P
ξe=
(P - P*)
P
dimana:
ξe
Ee
P
P*
atau
: Kesalahan relatif terhadap nilai eksak
: Kesalahan Absolut
: Nilai eksak
: Nilai Perkiraan
1.3.3. Prosentase Kesalahan
Prosentase kesalahan adalah prosentase kesalahan relatif dibandingkan dengan perkiraan
terbaik yang terjadi. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini.
ξa =
dimana:
ξ
P*
ξ
x100%
P*
: kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik
: nilai perkiraan terbaik
Dalam operasi numerik, seringkali tidak bisa ditemukan nilai eksak berdasarkan proses
perhitungan secara analisa sehingga yang dipergunakan adalah nilai pada langkah iterasi tertentu.
Dalam menentukan kesalahan relatif dipergunakan nilai selisih antara iterasi yang terakhir (misal
n+1 merupakan iterasi terakhir) dan iterasi sebelumnya (misal n). Sehingga dalam bentuk rumus
sederhana akan terlihat seperti di bawah ini.
ξa =
P * n+1 - P *n
x100%
P * n+1
dimana:
P*n : nilai perkiraan pada iterasi ke – n
P*n+1 : nilai perkiraan pada iterasi ke – n+1
BAB I. Metode Numerik, Sistim Angka, dan Kesalahan
-5
Kecermatan atau besar/kecilnya suatu kesalahan relatif dari suatu pengukuran atau hasil
perhitungan tergantung dengan angka signifikan dari bilangan. Misalkan pada proses pengukuran
di bawah ini yang dilakukan pada obyek tulangan baja dan suatu badan jalan.
− pengukuran diameter 32 mm tulangan
− pengukuran 1.60 km jalan
Tulangan baja diukur pada nilai terdekat pada
1
satuan mm, sehingga kesalahan mutlak yang
10
terjadi dari pengukuran diameter tulangan baja adalah sebesar 0.05 mm. Kemudian, pengukuran
1.60 km jalan, yang diukur terhadap nilai terdekat cm, menimbulkan kesalahan mutlak sebesar
0.5 cm. kesalahan relatif yang terjadi. Dari keadaan ini
0.05
1
=
32
640
0.5
1
− pada jalan = =
=
160000 320000
− pada baja tulangan =
Latihan
1. Konversikan bilangan biner di bawah ke dalam desimal.
(111000011)2
(11010011)2
(10000011)2
2. Tentukan bilangan 256 ke dalam bilangan biner.
3. Tentukan kesalahan mutlak dan relatif dari suatu perhitungan yang mempunyai nilai eksak
1000,234 dengan nilai pendekatan sebesar 999,876.