logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA
A. Definisi
1). Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan
salah.
Contoh:
Air laut rasanya asin, 2 adalah bilangan prima, Surabaya terletak di Pulau Kalimantan dan Ibukota
Kalimantan Timur.
2). Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel
tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.
Contoh:
Kota A merupakan daerah wisata, x – 5 = 11, 3y = 15.
3). Variabel
Variabel adalah lambang untuk menunjukkan anggota sembarang dari himpunan semesta.
Contoh:
x – 5 = 11 (x merupakan variabel), 3y = 15 (y merupakan variabel), • + 4 = 7 (• merupakan
variabel)
4). Konstanta
Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota tertentu dalam himpunan semesta.
Contoh:
x – 5 = 11 (jika x diganti dengan 16 maka pernyataan 16 – 5 = 11 bernilai benar, sehingga 16
disebut konstanta), 3y = 15 (jika y diganti dengan 6 maka pernyataan 3(6) = 15 bernilai salah,
sehingga 6 disebut konstanta), • + 4 = 7 (jika • diganti dengan 3 maka pernyataan 3 + 4 = 7
bernilai benar, sehingga 3 disebut konstanta)
5). Penyelesaian suatu kalimat terbuka
Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti variabel yang
menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari 2x = 8 !
Jawab:
2x = 8
8
x =
2
x = 4
Jadi penyelesaiannya adalah 4.
6). Himpunan penyelesaian
Himpunan penyelesaian adalah himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x > 15, x  B !
Jawab:
3x > 15
15
x >
3
x > 5
Jadi himpunan penyelesaiannya = {6, 7, 8, 9, … }
Latihan 1:
1. Tentukan apakah kalimat di bawah ini termasuk pernyataan, bukan pernyataan, atau kalimat
terbuka!
a. Bogor mendapat julukan sebagai kota
d. 6 + a > -4
e. 7 adalah faktor dari 63
hujan.
2
2
2
b. 3  2  5
c. 4 x 6
2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari:
x2
a. x 2  4 x  32  0
c.
0
2
b. 6 x  19 x  42  0
x3
d. 3 x  5  4  5 x
e.  7  2 x  3  4 x
B. Lambang Logika Proporsional
Operator
No.
Arti
Nama
Lambang
1.
Negasi
~
Tidak, bukan
2.
Konjungsi
^
Dan, tetapi, meskipun, walaupun
3.
Disjungsi
Atau

4.
Implikasi

Jika .… maka ….
5.
Biimplikasi

…. jika dan hanya jika ….
C. Pengertian Negasi/Ingkaran
Negasi/ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ~p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan
bernilai salah jika p bernilai benar.
D. Penentuaan Negasi/Ingkaran Suatu Pernyataan
p
~p
B
S
S
B
Latihan 2:
Tentukan negasi/ingkaran pernyataan di bawah ini:
1. Bunga mawar berwarna merah.
2. Ali mempunyai adik.
3. 3 + 2 = 7
4. 6 + 5  10
5. Hari ini hanya seorang siswa yang tidak masuk.
E. Nilai Kebenaran
1). Konjungsi
Konjungsi (  ) dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai
benar.
p
q
p  q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Kesimpulan: ada yang salah berarti bernilai salah
Contoh:
p : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat ........................................... (B)
q : Bung Hatta meninggal di Sidoarjo ........................................... (S)
p  q : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan meninggal di Sidoarjo .. (S)
2). Disjungsi
Disjungsi (  ) dua pernyataan p dan q, yaitu bernilai benar hanya jika salah satu atau kedua
pernyataan p dan q bernilai benar.
p
q
p q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Kesimpulan: ada yang benar berarti bernilai benar
Contoh:
p : Bayu makan nasi pecel ........................................................... (B)
q : Bayu makan nasi rawon ......................................................... (S)
p  q : Bayu makan nasi pecel atau nasi rawon ................................. (B)
Latihan 3:
1. Misalkan p = Bunga mawar berbau harum
q = Bunga mawar berduri
Nyatakanlah kalimat-kalimat berikut dengan simbol p dan q:
a. Bunga mawar berbau harum dan berduri.
b. Bunga mawar berbau harum atau berduri.
c. Bunga mawar tidak harum atau tidak berduri.
d. Bunga mawar tidak berduri tetapi berbau harum.
e. Tidak benar bahwa bunga mawar tidak berduri dan juga tidak berbau harum.
2. Misalkan x = 5 adalah bilangan prima
y = Indonesia termasuk negara ASEAN
z = 7 adalah bilangan ganjil
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
a. x  ~y
b. ~y  z
c. ~(y  z)
d. ~(~x  y)
e. ~(~x  y)
3). Implikasi
Implikasi (  ) dua pernyataan p dan q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai
salah.
p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Kesimpulan: sama dengan yang belakang, kecuali S  S  B
4). Biimplikasi
Biimplikasi (  ) dua pernyataan p dan q bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran
yang sama.
p
Q
p q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Kesimpulan: keduanya sama berarti bernilai B
Latihan 4:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan bilangan bentuk pangkat berikut:
1. Misalkan p = 7 adalah bilangan bulat
q = 11 adalah bilangan prima
Nyatakanlah kalimat-kalimat berikut dengan simbol p dan q:
a. Jika 7 adalah bilangan bulat maka 11 adalah bilangan prima.
b. Tidak benar bahwa jika 7 adalah bilangan bulat maka 11 adalah bilangan prima.
c. 7 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 11 adalah bilangan prima..
d. Tidak benar bahwa 7 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 11 adalah bilangan prima..
e. Jika 7 adalah bukan bilangan bulat maka 11 adalah bukan bilangan prima.
2. Misalkan x = -5 adalah bilangan bulat negatif
y = 1 adalah bilangan genap
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
a. x  ~y
b. ~y  z
c. ~(y  z)
d. ~(~x  y)
e. ~(~x  y)
F. Sifat-sifat pernyataan yang setara (ekuivalen)
p p
Jika p  q maka q  p
Jika p  q dan q  r maka p  r
G. Membuktikan suatu pernyataan majemuk yang setara (ekuivalen) dengan suatu pernyataan lain
Contoh:
Buktikan bahwa p  (q  r ) ekuivalen dengan ( p  q)  r
Jawab:
pq
qr
p
q
r
p  (q  r )
( p  q)  r
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
S
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
Latihan 5:
Buktikan bahwa dua pernyataan di bawah ini adalah setara (ekuivalen):
a. p  q  q  p
b. p  q  q  p
c. p  (q  r)  (p  q)  r
d. ~p  q  p  q
e. p  (q  r )  ( p )  ( p  r )
H. Negasi/ingkaran dari pernyataan majemuk:
1). Negasi dari konjungsi
Negasi dari p  q ditulis ~ ( p  q) ~ p  ~ q
2). Negasi dari disjungsi
Negasi dari p  q ditulis ~(p  q) ~ p  ~ q
3). Negasi dari implikasi
Negasi dari p  q ditulis ~ ( p  q )  p  ~ q
4). Negasi dari biimplikasi
Negasi dari p  q ditulis ~ ( p  q)  ( p  ~ q)  (q  ~ p )
5). Negasi dari negasi
Negasi dari ~p ditulis ~ (~ p )  p
Latihan 6:
Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini:
1. Sabria seorang presenter atau Sabria seorang komedian.
2. The Beatles adalah grup musik dari Inggris dan John Lenonn meninggal akibat penembakan.
3. Bobby seorang yang kikir dan Tia seorang penyanyi.
4. 2 3  8 dan 4 2  16
5. Jika ada tamu negara maka polisi bertugas di jalan protokol.
I. Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Pernyataan Berimplikasi
1). Konvers dari implikasi
Konvers dari implikasi p  q adalah q  p
Contoh:
Jika sekarang cerah maka matahari bersinar
Tentukan konversnya!
Jawab:
Konversnya adalah jika matahari bersinar maka sekarang cerah.
2). Invers dari implikasi
Invers dari implikasi p  q adalah ~ p  ~ q
Contoh:
Jika sekarang cerah maka matahari bersinar
Tentukan inversnya!
Jawab:
Inversnya adalah jika sekarang tidak cerah maka matahari tidak bersinar.
3). Kontraposisi dari implikasi
Kontraposisi dari implikasi p  q adalah ~ q  ~ p
Contoh:
Jika sekarang cerah maka matahari bersinar
Tentukan kontraposisinya!
Jawab:
Kontraposisinya adalah jika matahari tidak bersinar maka sekarang tidak cerah.
Latihan 7:
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut:
1. Jika Donny selesai bekerja maka ia beristirahat.
2. Jika Zaky kuliah di Unesa maka ia kuliah di Surabaya.
3. Jika  ABC sama sisi maka  A =  B.
4. Jika ABCD persegi panjang maka AB = CD.
5. Jika 2 2  (2) 2 maka 2 = -2.
J. Kuantor
Kuantor adalah suatu lambang yang menunjukkan generalisasi suatu kalimat terbuka.
a. Jenis-jenis kuantor
1. Kuantor eksistensial
Kuantor eksistensial/sebagian (beberapa atau ada) merupakan suatu pernyataan yang
menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya setiap objek atau masalah memenuhi
syarat tertentu.
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan x dibaca “ada suatu x sehingga berlaku … “.
Contoh:
(x )( x  R)  (2 x  1  5) dibaca “ada beberapa nilai x sehingga berlaku 2x + 1 > 5”.
Pernyataan tersebut benar karena kita dapat menentukan nilai-nilai x yang memenuhi.
2. Kuantor universal
Kuantor universal/semua merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa setiap
objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.
Kuantor universal dilambangkan dengan x dibaca “untuk semua x atau untuk setiap x
berlaku …”.
Contoh:
(x )( x  R)  ( x 2  0) dibaca “untuk semua nilai x berlaku x 2  0 . Pernyataan tersebut benar
karena kuadrat semua bilangan riil tidak ada yang negatif.
b. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
1. Ingkaran dari kuantor eksistensial
Ingkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
~ (x) P( x)  (x )~ P( x )
Contoh:
~ (x)( x  R)  (2 x  1  9) = (x )~ (( x  R)  (2 x  1  9))
= (x )( x  R)^ (2 x  1  9)
2. Ingkaran dari kuantor universal
Ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial.
~ (x) P( x )  (x )~ P( x )
Contoh:
~ (x)( x  R )  (2 x  x ) = (x )~ (( x  R)  (2 x  x ))
= (x )( x  R )^ (2 x  x )
Latihan 8:
Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut:
1. (x )( x  R)  ( x 2  0)
2. (x )( x  R, x  0)  ( x  5  0)
3. (x )( x  R)  ( x 2  0)
x

4. (x )( x, y  R, y  0)    R 
y

5. (x )( x  R)  ( x 2  2 x  9  0)
K. Penarikan Kesimpulan
1). Premis adalah himpunan pernyataan tunggal atau majemuk yang ditentukan/diketahui.
2). Kesimpulan (konklusi) adalah pernyataan tunggal atau majemuk yang diturunkan dari premispremis.
3). Argumen adalah kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu
konklusi yang diturunkan dari premis-premisnya.
Suatu argumen dikatakan sah/valid jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu
tautologi (pernyataan yang selalu bernilai benar) untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya.
Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen dapat dinyatakan sah/valid adalah dengan
tabel kebenaran.
Pola penarikan kesimpulan:
Premis 1
Premis 2
Premis 3
………..
Premis n
 Konklusi
Beberapa modus penarikan kesimpulan:
1). Modus Ponens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : p
Konklusi : q
2). Modus Tolens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~p
3). Silogisme
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q  r
Konklusi : p  r
4). Silogisme Disjungtif
Premis 1 : p  q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
5). Dilema Konstruktif
Premis 1 : ( p  q)  (r  s)
Premis 2 : p  r
Konklusi : q  s
6). Dilema Destruktif
Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
7). Konjungsi
Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
( p  q)  ( r  s )
~q  ~s
~p  ~r
p
q
p q
Latihan 9:
Lengkapilah argumen berikut:
1. Premis 1 : Semua bilangan prima habis dibagi oleh 1 dan dirinya
Premis 2 : p adalah suatu bilangan prima
Konklusi :
2. Premis 1 : Semua lingkaran berjari-jari r mempunyai luas r 2
Premis 2 :
Konklusi : Lingkaran O mempunyai luas r 2
3. Premis 1 :
Premis 2 : (n + 1) bukan suatu bilangan genap
Konklusi : n bukan suatu suatu bilangan ganjil
4. Premis 1 : Jika suatu bilangan adalah faktor dari 12 maka bilangan itu faktor dari 24
Premis 2 : 3 adalah faktor dari 12
Konklusi :
5. Premis 1 :
Premis 2 : Buaya termasuk reptil
Konklusi : Buaya berdarah dingin
L. Pembuktian pernyataan dengan cara:
1). Bukti langsung
Contoh:
Buktikan bahwa jika x genap maka x2 genap!
Jawab:
Diketahui x genap, maka akan dibuktikan bahwa x2 genap.
Karena x genap, maka dapat dinyatakan x = 2k (dengan k  B).
Sehingga diperoleh:
x2 = (2k)2
= 4k2
= 2(2k2)
2
Berarti x genap juga, sehingga terbukti bahwa jika x genap maka x2 genap. Karena setiap bilangan
yang dapat dinyatakan dengan 2k, dengan k  B, maka bilangan itu adalah bilangan genap.
(terbukti)
2). Bukti tak langsung
Contoh:
Buktikan bahwa “Jika n2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil” dengan menggunakan cara
kontradiksi dan kontraposisi!
Jawab:
 Dengan cara kontradiksi
Diketahui n2 bilangan ganjil, maka akan dibuktikan n bilangan ganjil.
Andaikan n bilangan genap maka dapat dinyatakan n = 2k (dengan k  B)
Sehingga diperoleh n = 2k maka n2 = (2k)2
n2 = 4k2
n2 = 2(2k2)
n2 = 2m, dengan m = 2k2
Karena n2 = 2m, berarti n2 bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan yang
diketahui, yaitu n2 bilangan ganjil. Oleh karena itu, pengandaian salah dan yang benar n
bilangan ganjil. (terbukti)
 Dengan cara kontraposisi
Akan dibuktikan dengan kontraposisi dari pernyataan di atas, ayitu “Jika n bilangan genap,
maka n2 bilangan genap”
Diketahui n bilangan genap, maka akan dibuktikan n2 bilangan genap.
Karena n bilangan genap maka dapat dinyatakan n = 2k (dengan k  B)
Sehingga diperoleh n = 2k maka n2 = (2k)2
n2 = 4k2
n2 = 2(2k2)
n2 = 2m, dengan m = 2k2
Karena n2 = 2m, berarti n2 bilangan genap. Terbukti bahwa jika n bilangan genap maka n2
bilangan genap, sehingga terbukti pula bahwa jika n2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil,
karena kedua pernyataan tersebut ekuivalen.
3). Induksi matematika
Contoh:
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli berlaku:
1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n-1 = 2n – 1
Jawab:
Pembuktian:
Misalkan P(n) adalah 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n-1 = 2n – 1
 Untuk n = 1, maka 21-1 = 21 – 1
1 = 1 (benar)
Jadi P(n) benar untuk n = 1
 Andaikan P(n) benar untuk n = k, berarti P(k) = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2k-1 = 2k – 1
Akan dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1
Untuk n = k + 1, P(n) = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2k-1 + 2k+1-1
= 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2k-1 + 2k
= P(k) + 2k
= 2k – 1 + 2 k
= 2. 2k– 1
= 2k+1 – 1
 Karena P(n) benar untuk n = 1, dan jika P(n) benar untuk setiap n bilangan asli, artinya
terbukti bahwa 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n-1 = 2n – 1
Latihan 10:
1. Dengan kontradiksi, buktikan pernyataan “Jika x tidak habis dibagi 3 maka x tidak habis dibagi
9”!
2. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2, untuk n  A !
Uji Kompetensi:
1. Negasi dari pernyataan “ x lebih dari y”
adalah ….
a. x  y
b. x  y
c. x  y
d. x  y
e. x  y
2. Pernyataan yang ekuivalen dengan
pernyataan p  q adalah ….
a. q  p
b. ~ q  ~ p
c. ~ q  p
d. ~ p  ~ q
e. q  ~ p
3. Ingkaran dari kalimat “Jika hujan lebat
maka Budi sakit flu” adalah …
a. Tidak hujan lebat maka Budi sakit
flu.
b. Jika tidak hujan lebat maka Budi
tidak sakit flu.
c. Hujan lebat dan Budi tidak sakit flu.
d. Hujan lebat dan Budi sakit flu.
e. Tidak hujan lebat dan Budi tidak sakit
flu.
4. Kontraposisi dari kalimat “Jika harga
barang naik maka rakyat mengeluh”
adalah …
a. Jika harga barang tidak naik maka
rakyat tidak mengeluh.
b. Jika rakyat mengeluh maka harga
barang naik.
c. Jika rakyat tidak mengeluh maka
harga barang tidak naik.
d. Jika harga barang tidak naik maka
rakyat mengeluh.
e. Jika rakyat tidak mengeluh maka
harga barang naik.
5. Premis 1 : Jika n adalah bilangan ganjil
maka n tidak habis dibagi dengan 2.
Premis 2 :
Konklusi : n habis dibagi dengan 2
Premis 2 yang sesuai adalah …
a. n adalah bukan bilangan ganjil.
b. n adalah bilangan ganjil.
c. n adalah bilangan genap.
d. n adalah bukan bilangan genap.
e. n tidak habis dibagi dengan 2.
Uraian:
1. Negasi dari “Jika 2x = 8 maka x = 4” adalah ….
2. Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa p  (q V r) ~ r  ( p  q) !
3. Konvers dari “Jika 3 log x  4 maka x = 81” adalah ….
4. Invers dari “Jika x2 adalah bilangan asli maka x adalah bilangan asli” adalah ….
5. Premis 1 : Jika Richard rajin berolah raga dan tidak merokok maka ia akan sehat.
Premis 2 : Ia tidak sehat
Konklusi :