Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan

Aljabar Linier
Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
khozin mu’tamar
9 Oktober 2014
PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMENSI RUANG VEKTOR DAN RANK
1. Sistem koordinat
(a) Ketunggalan scalar basis
(b) Sistem koordinat (definisi)
(c) matrik perubahan koordinat
1
(d) pemetaan koordinat
2. Dimensi ruang vektor
(a) ketidak bebasan himpunan diluar basis
(b) dimensi (definisi)
(c) dimensi subruang vektor
(d) dimensi ruang null dan ruang kolom
3. Rank
(a) Ruang kolom
(b) rank (definisi)
(c) dimensi ruang null dan rank
(d) Aplikasi pada SPL
SISTEM KOORDINAT
1. Ketunggalan penulisan basis
2. Sistem koordinat (definisi)
3. matrik perubahan koordinat
4. pemetaan koordinat
2
KETUNGGALAN PENULISAN BASIS
teorema 1. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis
bagi ruang vektor V . Untuk setiap x ∈ V terdapat skalar
tunggal a1, a2, · · · , an ∈ R yang memenuhi
x=
n
X
i=1
aibi
definisi 2. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis
bagi ruang vektor V dan x ∈ V . Koordinat relatif x terhadap basis B atau koordinat-B dari x adalah nilai-nilai
3
c1, c2, · · · , cn sedemikian sehingga
x = c1b1 + c2b2 + · · · + cnbn
yang dapat dituliskan sebagai


c1 

[x]B = .. 

cn 









contoh. Misalkan basis dari R2, yaitu e1 = [1 0]T dan e2 =
[1 2]T . Misalkan diketahui sistem koordinat [x]B = [−2 3]T .
Tentukan x.
solusi. Dengan definisi, diketahui bahwa [x]B = [c1 c2] yang
memenuhi
x = c1 e1 + c2 e2
sehingga




1
1
x = −2  + 3  
0
2
 
1
=  
6




MATRIKS PERUBAHAN KOORDINAT
Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis bagi ruang
vektor V dan x ∈ V . Untuk setiap x dapat ditentukan
skalar sehingga
x = c1b1 + c2b2 + · · · + cnbn
dengan menjabarkan persamaan di atas, misalkan


a11

a21
b1 = . 
. 

ar1














4
maka akan diperoleh


c1a11 + c2a12 · · · +cna1n
.. + ..
.. 
...
x=


c1ar1 + c2ar2 · · · +cnarn









yang dapat dibentuk pada SPL x = A · b



a11 a12 · · · a1n  c1 
.. . . . ..   .. 
x = ..





ar1 ar2 · · · arn cn









Selanjutnya,


a11 a12 · · · a1n
..
.. . . . .. 


ar1 ar2 · · · arn









disebut matriks perubahan koordinat, disimbolkan sebagai
PB
teorema 3. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis
bagi ruang vektor V . Pemetaan T : x → [x]B adalah
pemetaan linier yang satu-satu dan pada (isomorfis).
Bukti. 1. Misalkan y,z ∈ V sehingga
y+z = (c1b1 + · · · + cnbn) + (k1b1 + · · · + knbn)
= (c1 + k1)b1 + · · · + (cn + kn)bn
sehingga diperoleh






c1 + k1   c1   k1 
..  =  ..  +  ..  = [y] + [z]
[y+z]B =
B
B















cn + kn
cn
kn









2. Misalkan k ∈ R. Kita dapatkan
ky = kc1b1 + · · · + kcnbn
= (kc1)b1 + · · · + (kcn)bn
sehingga




c 
kc1 
 1



 . 
.


[ky]B = .  = k  .  = k[y]B





kcn
cn









3. Misalkan y,z ∈ V dan α, β ∈ [x]B . Akan didapatkan
α = β → c1b1 + · · · + cnbn = k1b1 + · · · + knbn
→ y=z
4. Misalkan α ∈ [x]B . Untuk setiap α ∈ [x]B akan selalu
ditemukan y ∈ V sedemikian sehingga
−1y
α = PB
DIMENSI RUANG VEKTOR
1. ketidak bebasan himpunan diluar basis
2. Ketunggalan basis dalam ruang vektor
3. dimensi (definisi)
4. dimensi subruang vektor
5. dimensi ruang null dan ruang kolom
5
teorema 4. Jika ruang vektor V memiliki basis B = {b1, b2, · · · , bn}
maka setiap himpunan yang memiliki lebih dari n-vektor bersifat tidak bebas linier.
Bukti. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sp} adalah sebuah himpunan di ruang vektor V yang memiliki jumlah vektor lebih
dari n. Koordinat dari S dapat dituliskan
s1 = c11b1 + c12b2 + · · · + c1nbn
..
sp = cp1b1 + cp2b2 + · · · + cpnbn
6
Untuk menunjukkan bahwa S bebas linier atau tidak maka
akan ditentukan solusi skalar bagi persamaan
k1s1 + · · · + kpsp = 0
sehingga diperoleh
k1(c11b1 + c12b2 + · · · + c1nbn) + · · · +
kp(cp1b1 + cp2b2 + · · · + cpnbn) = 0
dengan mengumpulkan koefisien bagi bi, i = 1, · · · , n akan
diperoleh
(k1c11 + k2c21 + · · · + kpcp1)b1 + · · · +
(k1c1n + k2c2n + · · · + kpcpn)bn = 0
Untuk mendapatkan bebas linier maka
k1c11 + k2c21 + · · · + kpcp1 = 0
....
k1c1n + k2c2n + · · · + kpcpn = 0
Kita akan menentukan kj , j = 1, · · · , p. Oleh karena p > n
maka SPL di atas memiliki jumlah variabel yang tidak diketahui lebih banyak dibandingkan jumlah persamaan sehingga
solusi SPL homogen tersebut tak trivial. Artinya, terdapat
kl ∈ R sedemikian sehingga memenuhi persamaan
k1s1 + · · · + kpsp = 0
yang berarti bahwa S = {s1, s2, · · · , sp} tergantung linier.
teorema 5. Misalkan ruang vektor V dengan basis yang
memiliki n vektor maka setiap basis dari ruang vektor V
memiliki n jumlah vektor
Bukti. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} dan S = {s1, s2, · · · , sm}
adalah basis bagi ruang vektor V .
1. Oleh karena B basis bagi V maka B bebas linier. Oleh
karena S basis bagi V maka S merentang V . Kesimpulan diperoleh n ≤ m
7
2. Oleh karena S basis bagi V maka S bebas linier. Oleh
karena B basis bagi V maka B merentang V . Kesimpulan diperoleh m ≤ n
Bukti. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} dan S = {s1, s2, · · · , sm}
adalah basis bagi ruang vektor V . Oleh karena B adalah basis dan S bebas linier, maka m ≤ n. Oleh karena S adalah
basis dan B bebas linier, maka n ≤ m. Oleh karena m ≤ n
dan n ≤ m maka disimpulkan m = n.
Definisi : Dimensi
Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {b1, b2, · · · , bn}.
Banyaknya vektor dalam basis B disebut dengan dimensi
(V ), yang dituliskan dengan dim(V ).
1. Jika himpunan B adalah himpunan hingga, maka dimensi V disebut dimensi-hingga
2. Jika himpunan B tidak tersusun oleh himpunan B yang
hingga, maka dimensi V disebut dimensi-tak hingga.
8
teorema 6. Misalkan H adalah subruang vektor dari V
yang berdimensi berhingga. Setiap himpunan di H yang
bebas linier dapat diperbesar, bila perlu menjadi basis bagi H. H adalah ruang vektor berdimensi berhingga yang
memenuhi
dim H ≤ dim V
Bukti. 1. Jika H = {0} maka jelas dim H ≤ dim V .
2. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sl } ⊆ H yang bebas linier.
9
(a) Jika S merentang H maka S adalah basis bagi H
dan karena S ⊆ H diperoleh dim S ≤ dim V .
(b) Misalkan terdapat B = {sl+1, · · · , sn} yang tidak
dapat direntang oleh S. Jelas bahwa U = B ∪ S ⊆
H adalah himpunan bebas linier karena setiap vektor
di B tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari S (ingat: S tidak merentang B). Proses dapat
berulang hingga B ∪ S membesar sampai merentang
H dan dimensi-B ∪ S selalu lebih kecil dari V karena
seluruh vektor di-H bebas linier.
teorema 7. Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-n.
Jika S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V bebas linier maka S adalah
basis bagi V . Jika S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V merentang
V maka S adalah basis bagi V .
Bukti. 1. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V bebas linier. Misalkan w ∈ V . Jika w bukan kombinasi linier dari
S maka w bebas linier. Oleh karena V adalah ruang vektor berdimensi-n, misalkan B = {b1, b2, · · · , bn} adalah basis bagi V dan S ∪ {w} dapat direntang oleh B.
Oleh karena S ∪ {w} bebas linier maka akan diperoleh
n + 1 ≤ n. Jelas kondisi ini salah sehigga kita simpulkan w dapat dikombinasi linierkan oleh S. Oleh karena
w ∈ V selalu dapat dikombinasi linierkan oleh S maka
S merentang V . Jadi, S basis bagi V .
2. Misalkan S = {s1, s2, · · · , sn} ⊆ V merentang V sehingga setiap v ∈ V dapat dinyatakan sebagai kombi-
nasi linier dari S. Telah diketahui bahwa dim V = n
sehingga terdapat B = {b1, b2, · · · , bn} basis bagi V .
Oleh karena S merentang V maka
b1 = a11s1 + · · · + a1nsn
..
bn = an1s1 + · · · + annsn
Oleh karena B adalah basis bagi V maka
0 = c1b1 + · · · + cnbn
yang hanya dipenuhi oleh ci = 0, i = 1, · · · , n. Subtitusi persamaan bi, i = 1, · · · , n sehingga diperoleh
0 = c1(a11s1 + · · · + a1nsn) + · · · +
cn(a1n)s1 + · · · + annsn
0 = (c1a11 + · · · + cna1n)s1 + · · · +
(c1a1n+···+cnann )sn
Oleh karena ci = 0, i = 1, · · · , n maka dipastikan
n
X
i=1
ciaj,i = 0, j = 1, · · · , n
sehingga S bebas linier. Oleh karena S merentang dan
bebas linier, S basis bagi V .
RANK
1. Ruang kolom
2. rank (definisi)
3. dimensi ruang null dan rank
4. Aplikasi pada SPL
10
Definisi
Misalkan A adalah matriks dengan ukuran m × n.


a11 · · · a1n 
.. 
...
A = ..


am1 · · · amn









1. Ruang kolom adalah himpunan yang dibentuk dari kolom
matriks A.
Col(A) = span{A1···n,1, · · · , A1···n,n}
11
2. Ruang baris adalah himpunan yang dibentuk oleh baris
matriks A.
RowA = span{A1,1···n, · · · , An,1···n}
3. Ruang null adalah himpunan yang memenuhi persamaan
A · x = 0.
N ullA = {x|x ∈ Rn dan A · x = 0}
teorema 8. Jika matriks A dan B memiliki keserupaan baris maka keduanya memiliki ruang baris yang sama. Jika
matriks B dalam bentuk eselon tereduksi, baris tak nol
dari matriks B adalah basis untuk ruang baris dari
A dan B.
contoh. Misalkan A adalah matriks


−2 −5 8 0 −17

1 3 −5 1 5 
A=
3 11 −19 7 1 

1 7 −13 5 −3 














12
dengan operasi baris elementer akan diperoleh

1
0
B=
0
0

















3 −5 1 5
1 −2 2 −7
0 0 −4 20
0 0 0 0


















Pada matriks B, baris ke-1,2 dan 3 bukan merupakan baris
nol. Sesuai dengan teorema, maka diperoleh bahwa baris
ke-1,2 dan 3 adalah basis bagi B dan A. Dinotasikan
Row(A) = {[1, 3, −5, 1, 5], [0, 1, −2, 2, −7], [0, 0, 0, −4, 20]}
Kolom yang entry pertama merupakan pivot, yaitu kolom
ke-1,2 dan 4 sehingga basis bagi ruang kolom A adalah














































−2 −5 0
 
 
1   3  1
,
,
Col(A) =
3   11  7
 
 
 
7  5
1































Jika matriks B dioperasikan menjadi bentuk tereduksi, akan
diperoleh


















1
0
0
0
0 1 0 1
1 −2 0 3
0 0 1 −5
0 0 0 0


















yang berarti akan diperoleh sistem persamaan linier
x1 + x3 + x5 = 0
x2 − 2x3 + 3x5 = 0
x4 − 5x5 = 0
dengan x3 dan x5 adalah variabel bebas. Misalkan x3 = t
dan x5 = s maka akan diperoleh
x5 = t
x4 = 5t
x3 = s
x2 = 2s − 3t
x1 = −s − t
atau dalam bentuk kombinasi linier
x1
−1
−1



















x2
−3
 2 













x3 = s  1  + t  0 









 5 
 0 
x4












1
0
x5























sehingga dapat kita katakan bahwa
N ull(A) = {~v1, ~v2}

dengan
−1
−1











2 
−3









~v1 = 1  , ~v2 =  0 





 5 
0 






1
0






















oleh karena ~v1, ~v2 adalah vektor yang saling bebas linier dan
vektor yang merentang N ull(A) maka kita katakan {~v1, ~v2}
adalah basis bagi N ull(A).
definisi 9. Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang
Kolom dari matriks A.
teorema 10. Misalkan V adalah ruang vektor dan dim V =
n maka dim N ull(T ) + Rank(T ) = n
Bukti. Rank(A) adalah jumlah kolom di A yang tereduksi
dengan element bukan nol. N ull(A) adalah jumlah variabel bebas dalam matriks SPL A atau jumlah kolom yang
13
tereduksi dengan semua elemen nol. Akhirnya diperoleh
jumlah kolom pivot + jumlah kolom non-pivot = jumlah kolom
rank(A) + dim N ull(A) = n
teorema 11. Misalkan A adalah matriks n×n. Pernyataan
berikut adalah ekuivalen dengan pernyataan bahwa matriks
A invertible (dapat diinverskan).
1. Kolom dari matriks A adalah pembentuk basis dari Rn
2. Col(A) = Rn
3. Rank(A) = n
4. N ull(A) = {~0}
14
5. dim Col(A) = n
6. dim N ull(A) = 0
Perubahan Basis
Misalkan V adalah Ruang Vektor dengan basis B = {~b1, · · · , ~bn}
1. Vektor x ∈ V diubah bentuk dalam koordinat dengan
basis B, [x]B
2. Vektor x ∈ V diubah bentuk dalam koordinat dengan
basis C, [x]C
15
3. Bagaimana hubungan antara [x]B dan [x]C dalam bentuk matriks perubahan ?.
teorema 12. Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {~b1, · · · , ~bn} dan C = {~c1, · · · , ~cn}. Terdapat
matriks tunggal n × n yang memenuhi
[~x]c = P [~x]B
B→C
dengan
P
B→C
= [[~b1]c [~b2]c · · · [~bn]C ]
Bagaimana menentukan P
B→C
?
Misalkan V ruang vektor, V = {~v1, ~v2, ~v3} dengan basis
B = {~b1, ~b2, ~b3} dan C = {~c1, ~c2, ~c3}. Misalkan ~x ∈ V .
Perhatikan bahwa ~x dapat direntang oleh basis B.
~x = k11~b1 + k12~b2 + k13~b3
Basis B dapat direntang oleh basis C yaitu
~b1 = l11~c1 + l12~c2 + l13~c3
~b2 = l21~c1 + l22~c2 + l23~c3
~b3 = l31~c1 + l32~c2 + l33~c3
16
Dengan subtitusi akan diperoleh
~x = (k11l11~c1 + k11l12~c2 + k11l13~c3)
+ (k12l21~c1 + k12l22~c2 + k12l23~c3)
+ (k13l31~c1 + k13l32~c2 + k13l33~c3)
~x = (k11l11 + k12l21 + k13l31) ~c1
+ (k11l12 + k12l22 + k13l32) ~c2
+ (k12l23 + k11l13 + k13l33) ~c3
Ambil koordinat x ∈ V terhadap basis C akan didapatkan

[x]C
[x]C
[x]C
[x]C

k11l11 + k12l21 + k13l31 

= k11l12 + k12l22 + k13l32 


k
l
+
k
l
+
k
l
12
23
11
13
13
33



 l
l21 l31   k11 
 11




=  l12 l22 l32   k12 






k
l
l
l
13 #
13 23 33
"
= [b1]C [b2]C [b3]C [x]B
= P [x]B









B→C