Menggambarkan Bidang Dalam Ruang Dimensi Tiga

BAB III
RUANG DIMENSI TIGA
3.1 KOORDINAT CARTESIUS DALAM
RUANG DIMENSI TIGA
Koordinat kartesius dalam ruang dimensi tiga
ditentukan oleh tiga garis koordinat yang saling
tegak lurus (sumbu x,y, dan z). Ketiga sumbu
tersebut menentukan tiga bidang, bidang yz, xz,
dan xy yang membagi ruang menjadi 8 oktan.
MENENTUKAN JARAK DAN TITIK TENGAH
ANTARA TITIK
A(X1,Y1,Z1) DAN B(X2,Y2,Z2)
JARAK = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2
TITIK TENGAH T(t 1 , t 2 , t 3 ) mempunyai koordinat
x1 + x 2
t1 =
2
y1 + y 2
t2 =
2
z1 + z 2
t1 =
2
3.2 VEKTOR DIMENSI TIGA

Menentukan vektor yang diwakili oleh titiktitik yang diberikan
A(x,y,z)
vektor a = xi + yj + zk
A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)
vektor AB = (x2-x1)i + (y2-y1)j + (z2-z1)k

Menentukan
diberikan
sudut
antara
vektor
yang
Jika u = (u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = (v 1 , v 2 , v 3 )
u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3
u.v =| u | | v | cos θ
3.3 HASIL KALI SILANG SUATU
VEKTOR
Jika u = (u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = (v 1 , v 2 , v 3 )
u x v = (u 2 v 3 - u 3 v 2 , u 3 v 1 - u 1 v 3 , u 1 v 2 - u 2 v 1 )
3.4 BIDANG DALAM RUANG DIMENSI
TIGA

Menentukan persamaan bidang yang
melalui titik-titik yang diberikan
Misalkan titik-titik yang diberikan P1(x1,y1,z1)
P2(x2, y2, z2) dan P3(x3, y3, z3) maka
persamaan bidang ditentukan dengan cara :



Tentukan u = P2P1 dan v = P2P3
Tentukan u x v = (a,b,c)
Persamaan Bidang
a(x-x2) + b(y-y2) + c(z-z2) = 0

Vektor Satuan
Vektor satuan ditentukan oleh persamaan
bidang Ax + By + Cz = D
yang merupakan bentuk sederhana dari
a(x-x2) + b(y-y2) + c(z-z2) = 0
yaitu
Ai  Bj  Ck
A B C
2
2
2

Menggambarkan Bidang Dalam Ruang Dimensi
Tiga




Tentukan titik potong sumbu x dengan mensubstitusi y = z = 0
Tentukan titik potong sumbu y dengan mensubstitusi x = z = 0
Tentukan titik potong sumbu z dengan mensubstitusi x = y = 0
Tarik garis yang menghubungkan ketiga titik tersebut

Menentukan Persamaan Bidang yang tegak
Lurus Terhadap Dua Bidang dan Melalui
Suatu Titik
Misalkan titik yang dilalui (x1,y1,z1) tegak lurus
bidang ax + by + cz = 0 dan kx + ly + mz = 0 maka
persamaan bidangnya :
u(x-x1) + v(y-y1) + w(z-z1) = 0
dengan
(u,v,w) = (a,b,c) x (k,l,m)
3.5 GARIS DALAM RUANG DIMENSI
TIGA

Menentukan Persamaan Parameter Garis
Persamaan parameter garis yang melalui
A(x0,y0,z0) dan B (x1,y1,z1) atau sejajar vektor AB
ditentukan oleh :
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
dengan (a,b,c) adalah vektor AB

Menentukan Persamaan Simetri Garis
Persamaan simetri garis ditentukan oleh :
x - x0 y - y 0 z - z 0
=
=
a
b
c
3.6 PERMUKAAN
Bentuk Umum
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2
x2/a2 + y2/b2 - z2/c2
x2/a2 - y2/b2 - z2/c2
z = x2/a2 + y2/b2
z = y2/b2 - x2/a2
x2/a2 + y2/b2 - z2/c2
Nama Permukaan
= 1 ELIPSOID
= 1 HIPERBOLOID LEMBAR SATU
= 1 HIPERBOLOID LEMBAR DUA
PARABOLOID ELIPS
PARABOLOID HIPERBOL
= 0 KERUCUT ELIPS