Q P Qs P1 P0

CATATAN KULIAH
Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik
dan Konsep Derivatif
A. Pengertian Komparatif Statik dan Konsep Derivatif
• Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu,
mempunyai dua keterbatasan dalam:
• Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium
• Kasus ekuilibrium tidak stabil (unstable equilibrium)
• Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium sebagai tanggapan
terhadap perubahan variabel eksogen berkaitan dengan Analisis
Komparatif Statik.
• Dan pembahasan mengenai pencapaian dan kestabilan
ekuilibrium terdapat dalam Analisis Dinamik.
•
•
•
Di bab ini akan dibahas Komparatif Statik: studi dari keadaan
ekuilibrium yang berbeda-beda dengan himpunan nilai
parameter dan variabel eksogen yang berbeda-beda.
Dimulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal
Contoh:
– Model Pasar Tertutup (P0,Q0) (terguncang)→ (P1,Q1)
– Model Pendapatan Nasional (Y0, C0) (terguncang)→(Y1, C1)
Contoh Diagram: Pergeseran pada Permintaan (demand)
P
Qs
P1
P0
Qd1
Qd0
Q0 Q1
Q
Perbedaan antara Analisis Ekuilibrium Statik dan Analisis
Ekuilibrium Komparatif Statik:
1. Analisis Ekuilibrium Statik: y* = f(x)
2. Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: y1* - y0* = f(x1) - f(x0)
Di mana subskrip 0 menyatakan keadaan awal dan 1 menyatakan
keadaan selanjutnya.
•
•
Misal ∆y = y1-y0 dan ∆x = x1-x0 atau x1 = x0 + ∆x
Selanjutnya diketahui y=f(x) maka: ∆y = f(x1) - f(x0) dan
subtitusikan persaman x1 didapat: ∆y =f(x0 + ∆x) - f(x0)
Bagi persamaan terakhir, kedua sisinya dengan ∆x, maka akan
didapat Hasil-Bagi Beda (difference quotient)
∆y f ( xo + ∆x ) − f ( x0 )
=
∆x
∆x
Dan ambil limit ∆x -> 0, maka akan didapat derivatif (derivative)
dari fungsi y=f(x):
f ( x 0 − ∆x ) − f ( x 0 )
∆y
= lim
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x
lim
•
Contoh:
Jika fungsi y=3x2-4, maka cari Hasil-bagi Beda dan Derivatifnya:
a. ∆Y = f ( X o + ∆X ) − f ( X 0 )
∆X
∆X
f ( x0 ) = 3x02 − 4
f ( x0 + ∆x ) = 3( x0 + ∆x ) − 4
2
(
∆y 3(x 0 + ∆x ) − 4 − 3 x02 − 4
=
∆x
∆x
2
=
)
3x 02 + 6 x0 ∆x + 3∆x 2 − 4 − 3x 02 + 4
∆x
= 6 x0 + 3∆x
b. f ′( X ) = dy = lim ∆Y = lim f ( X + ∆X ) − f ( X )
dx ∆x →0 ∆X ∆x →0
∆X
∆y
= 6 x0 + 3∆x
∆x
maka
∆y
= 6 x0
∆x → 0 ∆x
lim
B. Derivatif dan Kemiringan (Slope) Kurva
•
Intrepetasi geometric dari Hasil Bagi Beda (Difference Quotient)
y=f(x)
f(x)
Kemiringan =
f(x0+∆x)-f(x0)
(x1-x0)
f(x0+∆x)
f(x0)
x1
x0
•
•
x
Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya ∆x = x1-x0? Bila
diberikan kenaikan x yang kecil, maka y rata-rata akan diukur oleh
kemiringan garis=Hasil Bagi Beda.
Selanjutnya bila kenaikan x dikurangi terus-menerus akan diperoleh
garis yang mendatar, sampai akhirnya dalam limit ∆xÆ0 akan
diperoleh garis singgung fungsi y di x0 (garis warna merah)
C. Konsep Limit dalam Kaitannya dengan Derivatif
•
•
Konsep Limit fungsi (f(x), x→a) function menggambarkan batas
nilai dari f(x) jika x mendekati a dari sebelah kanan dan sebelah
kiri. Nilai limit tersebut dapat berhingga (N), tak berhingga
(infinite), tidak dapat didefinisikan (undefined)
Notasi limit :
Lim f ( x) = L
x→a
•
Persamaan diatas dibaca : limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati a
(dari arah kanan dan arah kiri) adalah L
Intrepetasi geometrik dari Konsep Limit:
f(x)
L
a
x
•
Horizontal Asymptote: Garis y = a disebut asimptot horisontal
dari grafik f jika dan hanya jika :
Lim f ( x) = a
x → −∞
•
Lim f ( x) = a
x →∞
Di sini nilai x menuju Ketakhinggaan positif atau negative
Vertical Asymptote: Garis x = a disebut asimptot vertikal dari
grafik f jika dan hanya jika :
Lim− f (x) = ∞
x→a
•
atau
Lim− f (x) = −∞
x→a
Lim+ f (x) = ∞
Lim+ f (x) = −∞
x→a
x→a
Interpretasi geometrik dari asimptot horisontal dan vertikal:
f(x)
a
x → -∞
•
•
x → +∞
Untuk menentukan limit dari suatu fungsi, kita dapat
mensubstitusikan nilai x = a ke dalam fungsi f. Namun cara ini
tidak berlaku untuk semua jenis fungsi.
Cara lain yang digunakan untuk menentukan limit dari fungsi
adalah dengan mengobservasi nilai dari a yang didekati dari 2 arah
yaitu :
Lim− f ( x) = L
x →a
Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x
mendekati a dari kiri
Lim+ f ( x) = L
Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x
mendekati a dari kanan
x →a
Sehingga untuk menguji eksistensi dari limit ada, jika :
Lim+ f ( x) = Lim− f ( x) = L
x→a
x→a
maka
Lim f ( x) = L
x→a
• Contoh-contoh:
1. Lim x 3
x→ 2
dan
Lim− x 3 = 8
x→2
Lim+ x 3 = 8
x→2
Maka: Lim x = 8
3
x→2
2.
;x ≤ 4
⎧ 2x
f ( x) = ⎨
⎩2 x + 3 ; x > 4
dan
Lim− f ( x) = 8
x→4
Lim+ f ( x) = 11
x→4
karena Lim+ f ( x) ≠ Lim− f ( x) maka
x→4
x→4
q(v) = lim
3. vlim
→ +∞
v → +∞
Lim f ( x) tidak ada
x→4
3
2v + 5
= lim 2 +
v
→
+∞
v +1
v +1
lim q(v) = 2
v → +∞
x2 – 9 (x-3) (x+3)
4. lim ––––– = ––––––––– = x+3 = 3+3 = 6
x→3
x –3
(x-3)
5.
⎧2 x + 2
f ( x) = ⎨
⎩6 x − 4
;x ≥ 2
;x < 2
Tentukan nilai lim f(x) =…….?
x→2
lim f(x)
= 6(2) – 4
lim f(x)
= 3(2) +2
x → 2-
x → 2+
Jadi Lim f(x) = 8, karena limit kiri = limit kanan
x→2
SIFAT-SIFAT LIMIT
1. Jika f(x) = c maka Lim (c ) = c
x→a
2. Jika f(x) = xn maka Lim x n = a n
x→a
c. f ( x ) = c. Lim f ( x )
3. Lim
x→a
x→a
[ f ( x ) ± g ( x)] = Lim
[ f ( x )] + Lim
[g ( x)]
4. Lim
x→a
x→a
x→a
[ f ( x). g ( x)] = Lim
[ f ( x )]. Lim
[g ( x )]
5. Lim
x→a
x→a
x→a
6. Lim
x→a
f ( x)
f ( x ) Lim
= x→a
g ( x) Lim g ( x )
dimana
Lim g ( x ) ≠ 0
x→a
x→a
D. Fungsi kontinu dan Diferensiabel
•
KONTINUITAS PADA SUATU TITIK
Suatu fungsi f disebut kontinu pada x = a jika :
1. Fungsi tersebut terdefinisi pada x = a
2. Limit f(x) untuk x menuju a adalah f(a)
Maka fungsi kontinu di titik x = a, jika:
lim f ( x) = f (a)
x→a
•
KONTINUITAS SEPANJANG INTERVAL
Fungsi f kontinu sepanjang interval [a,b] jika kontinu pada setiap
titik dalam interval [a,b].
• Contoh-contoh:
1. Periksalah Apakah f(x) = x3 kontinu di x = 2 ?
Jawab :
1. f (2) = 8
2. lim x3 = 8
x → 2-
lim x3 = 8
x → 2+
3. lim f(x) = f(2)=8
x→2
Jadi f(x) kontinu di x=2
2. Periksa apakah fungsi q(v) di bawah ini kontinu di v=2 dan v=-2?
q (v ) =
v 3 + v 2 − 4v − 4
v2 − 4
Fungsi rasional ini tidak dapat didefinisikan di v = 2 dan -2,
meskipun terdapat limit ketika v → 2 atau -2. maka fungsi ini
diskontinu di v = 2 dan -2.
•
Diferensiabel pada suatu titik
Suatu fungsi f disebut diferensiabel pada x = a jika :
1. Hasil-Bagi Beda dari Fungsi f’(x)tersebut terdefinisi pada x = a
2. Limit Hasil-Bagi Beda untuk x menuju a adalah f’(a)
Maka fungsi diferensiabel di titik x = a, jika:
f ' ( x0 ) = lim
x →0
•
•
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x x→0
∆x
Jika suatu fungsi diskontinu, maka fungsi tersebut tidak
diferensiabel. Tetapi Jika suatu fungsi tidak diferensiabel,
maka fungsi tersebut belum pasti diskontinu.
Contoh:
Periksa apakah fungsi y=f(x)=|x-2|+1 kontinu dan diferensiabel di
x=2?
a. Karena
lim f ( x) = lim− f ( x) = 1 = f (1)
x →2 +
x →2
maka y=f(x) kontinu
b. Diferensiasi dari fungsi f(x)
lim
x →2
x − 2 +1−1
x−2
f ( x) − f (2)
= lim
= lim
x →2
x →2 x − 2
x−2
x−2
Uji keberadaan limit:
lim+
x →2
lim−
x →2
x−2
x−2
x−2
x−2
= lim+
x−2
= lim 1 = 1
x − 2 x →2+
= lim+
− ( x − 2)
= lim+ (−1) = −1
x →2
x−2
x→2
x→2
Karena
lim−
x →2
x−2
x−2
≠ lim+
x →2
x−2
x−2
maka fungsi f(x) tidak
diferensiabel di x=2
Latihan:
x2 - 9
1. f(x) = –––––– , periksalah apakah f(x) kontinu di x = 3?
x–3
⎧2 x + 2
2. f ( x) = ⎨
⎩6 x − 4
;x ≥ 2
;x < 2
,periksalah apa f(x) diferensiabel di x = 2?