RUMUS dan soal persamaan kuadrat

RUMUS-RUMUS
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum: ax2+ bx + c = 0 , a  0
AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :
X1.2 =
Dengan : D = b2 – 4ac, dan dengan syarat :
1. D  0 : merupakan bil. Real
2. D  0 : merupakan bil. Real berbeda
3. D = 0 : merupakan bil. Real sama
4. D  0 : merupakan bil. Bukan real
5. D = k2 : merupakan bil. Rasional
JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Beberapa rumus istimewa dalam operasi penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan
kuadrat antara lain :
x1 + x2 =
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
x1x2 =
x13 + x23= (x1+ x2)3- 3x1x2(x1 + x2)
x1 - x2 =
Sifat Akar-akar
1. Dua akar positif
a. x1 + x2  0
b. x1x2  0
c. D  0
2. Dua akar negatif
+
=
= -
a. x1 + x2  0
b. x1x2  0
c. D  0
3. Berlainan tanda
a. x1x2  0
MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT
Jika diketahui akar-akarnya adalah a dan b , maka rumus persamaan kuadrat adalah :
x2- (a+b)x + ab = 0
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Sifat-sifat pertidaksamaan :
1. jika a >b, maka
a. a  p  b  p
b. ap  bp, p > 0
c. ap < bp, p < 0
d. a3 > b3
2. jika a>b>0, maka
a. a2 > b2
b.
<
3. Jika a>b dan b>c maka a>c
4. Jika a>b dan c>d maka a+c > b+d
5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd
PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN
Langkah-langkah mencari HP
1. HP1 didapat dari syarat yang harus dipenuhi
2. HP2 didapat dari langkah langkah sbb:
a. Nolkan ruas kanan
b. Tentukan pembuat nol ruas kiri
c. Tulis pembuat nol di garis bilangan
d. Tentukan tanda + atau –
e. Arsir daerah yang sesuai
f. Tulis HP2
Bentuk Akar
>



HP1 : syarat f(x)  0 dan g(x)  0
HP2 : kuadratkan ruas kiri kanan
HP : HP1  HP2
Harga Mutlak
Pengertian mutlak
x, x  0
1. |x| < a  -a < x < a
2. |x| > a  a atau x < -a
|x| =
- x, x < 0
3. |x| < |y|  x2 < y2
1. Jika y = 2x + 1, maka nilai y untuk x yang memenuhi x2 – 8x + 15 < 0 adalah… (
UMPTN’92)
a. 4 < y < 6
b. 5 < y < 9
c. 6 < y < 10
d. 7 < y < 11
e. 8 < y < 12
2. x2 - 3x – 4
bernilai negative
x2 - 7x + 10 untuk… (UMPTN’92)
i.
-1< x < 1
ii.
1<x<2
iii.
4<x<5
iv.
4<x<5
3. Pertidaksamaan 2x + 7 ≤, dipenuhi
x–1
oleh… ( UMPTN’94)
a. x ≥ 4 atau x < 1
b. -4 < x ≤ 1
c. 0 ≤ x ≤ 1
d. -8 ≤ x < 1
e. -8 ≤ x ≤ 1
4. Jika x ≥ 1 dan x | x – 1 | + | x | ( x-1) < 2x maka x harus memenuhi…
UMPTN’93)
a. x ≥ 2
b. x ≥ 3
c. 0 ≤ x ≤ 2
d. 1 ≤ x ≤ 2
e. 1 ≤ x ≤ 4
5. Jika { x ε R | a < x < b }
adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan :
(
(x – 1)2 + [(x – 1)2 ]1/2< 6 maka nilai a + b adalah… ( UM UGM’06)
a. 4
b. 2
c. 1
d. -2
e. -4
6. Pertidaksamaan 4 x1/2 ≤ 1
x2 + 3
x1/2
mempunyai penyelesaian…
( UM UGM’09)
a. 1 ≤ x ≤ 3
b. 1 ≤ x ≤ 31/2 atau x ≥ 3
c. x ≤ 1 atau x ≥ 3
d. 0 < x ≤ atau ≥ 3
e. 0 ≤ x ≤ 1 atau x ≥ 3
7. Pertidaksamaan x – 2 < 1 dapat
2x + 3
ditulis sebagai |4x + a| > b, dengan
UGM’09)
a. 7 dan 13
b. 13 dan 7
c. 6 dan 13
d. 13 dan -6
e. -13 dan 7
nilai a dan b berturut-turut
adalah…(UM
8. Himpunan semua x yang memenuhi pertidaksamaan | 2x + 1 | < | 2x – 3 |
adalah…(UMPTN’93)
a. {x|x < -1/2}
b. {x|x < ½}
c. {x|x < 3/2}
d. {x|x > ½}
e. {x|x > 3/2}
9. Pertidaksamaan 3x2 – 3x + k ≥ (1/27)
8/5 jika k =… (UM UGM ’08)
mempunyai penyelesaian -1 ≤ x ≤
a. 4
b. -4
c. 12
d. -8
e. 8
10. Pertidaksamaan |x2 – 3| < 2x mempunyai penyelesaian…
(UM UGM’05)
a. -1 < x, 3
b. -3 < x < 1
c. 1 < x < 3
d. -3 < x < -1 atau 1 < x < 3
e. x > 1
11. Persamaan kuadrat x2 - 5x + 6 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuaadrat yang
akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah…(UN 2007)
a. x2 – 2x = 0
b. x2 – 2x + 30 = 0
c. x2 + x = 0
d. x2 + x – 30 = 0
e. x2 + x + 30 = 0
12. Suatu garis lurus mempunyai gradien -3 dan memotong parabola y=2 x2 + - 6 di titik
(2,4). Titik potong lainnya mempunyai koordinat . . . (UMPTN 2001)
a.
(4, 2)
b. (3, 1)
c. (7, 1)
d. (3, -2)
e. (-4, 22)
13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
5
≤ 1 adalah . . . (UMPTN 2001)
4x – 3
a. -1/2 ≤ x ¾ atau x ≥ 2
b. x ≤ -1/2 atau ¾< x ≤ 2
c. -1/2 ≤ x ≤ 2, x ≠ ¾
d. x ≤ -1/2 atau x > ¾
e. x ≤ -1/2 atau x ≥ 2
14. Jika 9 x + 9 - x – 3 2 - x + 16 = 0, maka3 x-3-x adalah
a. 4 atau 3
b. 2 atau 8
c. 2 atau 7
d. 3 atau 6
e. 4 atau 5
15. x – 6 ≥ x – 2 dipenuhi oleh . . .
x–3 x+1
(SPMB 2003)
a. -1 < x < 3
. . . (SPMB 2002)
b. -1 ≤ x ≤ 3
c. x < -1 atau x > 3
d. x < 4 atau x > 3
e. -3 ≤ x ≤ 1
16. Akar – akar persamaan kuadrat x2 + 6x + c = 0 adalah x1 dan x2.Akar-akar persamaan
kuadrat x2 + (x12 + x22 ) x +4 = 0 adalah u dan v. jika u + v = -uv, maka x13 x2 +x1 x23 = . . .
(SPMB 2003)
a. -64
b. 4
c. 16
d. 32
e. 64
17.Jika persamaan x2-2ax-3a2-4a-1=0 mempunyai akar kembar, maka akar tersebut
adalah…(UM UGM’09)
a. -1
b. -1/2
c. ½
d. 1
e. 2
18. Jika kedua akar persamaan x2-px+p=0 bernilai positif maka jumlah kuadrat akar-akar itu
mermpunyai ekstrem…(UM UGM’08)
a. MIN. -1
b.MAX.-1
c. Min.8
d.Max.8
e. Min.0
19. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 6x2-5x+2m-5=0
1/x1+1/x2 = 5
Maka nilai m adalah…..(UM UGM’09)
a. -1
b.0
c. 1
d.2
e. 3
20. Jika persamaan x2-4x+k-1=0 mempunyai akar-akar real α dan β maka nilai k yang memenuhi
1/α2+1/β2 < 1 adalah…(UM UGM’08)
a. k <-171/2 atau k > 171/2
b. k <-171/2 atau 171/2 <k ≤ 5
c. k<6
d. k>3
e. k=0
21. Jika agar ketiga garis 3x + 2y +4 = 0, x-3y+5=0 dan 2x + (m+1)y – 1=0 berpotongan di satu
titik maka nilai m haruslah . . .
(UM UGM’08)
a.
b.
c.
d.
e.
-1
-1/2
1 /2
1
2
22. Diberikan x1 dan x2 merupakan akar dari persamaaan x2-px+(p+2)=0. Nilai x12+x22 minimum
bila nilai p sama dengan …
(UM UGM’07)
A. -1
B. 0
C. 1/2 E. 2
D. 1
23. Nilai a agar persamaan kuadrat x2-8x+2a=0 mempunyai dua akar yang berlainan dan positif
adalah …
(UM UGM’06)
A.
B.
C.
D.
E.
a>0
a<8
0<a<8
a>8
a<0
24.Jumlah kuadrat akar-akar persamaan
x2-3x+n=0 sama dengan jumlah pangkat
tiga akar-akar persamaan x2+x-n=0, maka nilai n adalah …
(UM UGM’06)
A.
B.
C.
D.
E.
-10
-6
8
10
-12
25.Jika a akar-akar persamaan 2x2-x-2=0 adalah x1 dan x2, maka 1/x13 +1/x23 sama dengan …
(UM UGM’05)
A.
B.
C.
D.
E.
-13/4
-13/8
-5/4
5/8
13/8
26. Jika dalam persamaan cx2+bx-c=0 diketahui c<0, maka kedua akar persamaan
ini…(UMPTN’99)
a. POSITIF BERLAINAN
b. NEGATIF DAN BERLAINAN
c. BERLAWANAN
d. BERLAINAN TANDA
e. TIDAK REAL
27. jika p≠0 dan akar-akar persamaan x2 + px + q = 0 adalah p dan q maka p2 +q2 = . .
(UMPTN’94)
a. 2
b. 3.
c. 4
d. 5
e. 6
28. jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x2-2x-5=0 maka persamaan kuadrat yang
akar-akarnya adalah (p+2) dan (q+2) adalah..
(UMPTN ’01)
a. 3x2 -11x+14=0
b. 3x2 -14x+11=0
c. x2 -11x+14=0
d. 3x2 -1x+14=0
e. 3x2 -11x+4=0
29. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat
yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah …
a. x2 – 2x = 0
b. x2 – 2x + 30 = 0
c. x2 + x = 0
d. x2 + x – 30 = 0
e. x2 + x + 30 = 0