MODEL DINAMIKA INFEKSI VIRUS DALAM TUBUH TANPA

POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
ISSN : 1858-3709
MODEL DINAMIKA INFEKSI VIRUS DALAM TUBUH
TANPA RESPON IMUN
Dynamics model of virus infection in body without immune respond
Roni Tri Putra1) & Andi Susanto2)
1)
Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau
Manis Padang, 25163. Email : [email protected]
2)
Jurusan Tadris Matematika, FT IAIN Imam Bonjol Padang, Email : [email protected]
ABSTRACT
In this paper studied about dynamics model of virus infection in body without immune respond, by
defining basic infection reproductive number
. If
obtained disease free equilibrium points, and if
obtained disease free equilibrium points and endemic equilibrium points. Behaviour of local stability in
disease free equilibrium points with
, and also endemic equilibrium points with
is also given.
Keywords : Basic infection reproductive number, equilibrium points, local stability.
PENDAHULUAN
Matematika merupakan alat yang
digunakan hampir seluruh bidang ilmu
pengetahuan,
untuk
menyelesaikan
permasalahan secara numerik maupun
sebagai alat yang digunakan untuk
menjelaskan fenomena alam di sekitar
manusia.
Salah
satu
penggunaan
matematika dalam ilmu pengetahuan adalah
epidemiologi.
Epidemiologi merupakan suatu
cabang ilmu yang mempelajari bagaimana
terjadinya epidemi dalam suatu populasi
makhluk hidup. Dengan menggunakan
pemodelan matematika yang didasarkan
pada asumsi-asumsi tertentu, diharapkan
dari model yang disusun dapat menjelaskan
fenomena dan mengambil tindakan apa
yang harus dilakukan jika terjadi epidemi.
Salah satu kajian epidemiologi
adalah tentang dinamika perkembangan
virus dalam tubuh suatu individu, yang
pada akhirnya menjadi penyebab terjadinya
epidemi dalam suatu populasi makhluk
hidup. Virus adalah mikroorganisme
parasit
intraselular
obligat
yang
membutuhkan
sel-sel
inang
untuk
bereproduksi atau memperbanyak diri.
Virus hanya dapat bereproduksi di dalam
material hidup dengan menginvasi dan
mengendalikan sel makhluk hidup. Hal ini
disebabkan
virus
tidak
memiliki
perlengkapan metabolik sendiri, virus juga
tidak dapat membangkitkan energi atau
mensintesis protein. Dengan mengambil
informasi genetis yang dimiliki oleh sel-sel
inangnya virus dapat mengambil alih sistem
pembangkit energi dan pembuat protein sel
inangnya.
Virus
sering
diperdebatkan
statusnya sebagai makhluk hidup karena ia
tidak dapat menjalankan fungsi biologisnya
secara bebas. Karakteristik khasnya ini
membuat virus selalu terasosiasi dengan
penyakit tertentu, baik pada manusia
(misalnya virus influensa dan HIV, HBV),
pada hewan (misalnya virus flu burung),
atau pada tanaman (misalnya virus mosaik
tembakau/TMV).
Dari berbagai literatur belum
banyak
yang
mengkaji
dinamika
perkembangan virus dalam tubuh makhluk
hidup secara matematis. Tujuan dari tulisan
ini adalah membahas model matematika
yang mengambarkan dinamika infeksi virus
dalam tubuh tanpa respon imun dan
perilaku
kestabilannya.
Pemodelan
matematika tentang infeksi virus pada
awalnya dinamakan model dasar infeksi
virus (Basic Virus Infection Model/BVIM)
31
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
dan mengasumsikan penularan virus
didasarkan pada insidensi aksi massa
(Action Mass Incidence). BVIM secara luas
digunakan dalam mempelajari dinamika
infeksi virus. [Nowak, 1996].
Adapun manfaat dari penelitian ini
adalah
untuk
memahami
dinamika
perkembangan virus dalam tubuh makhluk
hidup yang menyebabkan suatu penyakit,
dan juga untuk mengetahui dinamika
penyakit yang disebabkan virus dan belum
ditemukan obatnya.
Pemodelan matematika dengan
menggunakan sistem persamaan diferensial
nonlinear hampir tak dapat dihindarkan,
terutama untuk mengambarkan laju
perubahan yang dipengaruhi waktu.
Diberikan
sistem
persamaan
diferensial nonlinear
(1)
x& = f (x )
dengan x ∈ E ⊂ R n dan f : E ⊂ R n → R n
fungsi kontinu pada E . Sistem (1) disebut
juga sistem autonomus karena secara
eksplisit tidak bergantung waktu. [Perko,
1991]
Berikut diberikan definisi tentang
penyelesaian sistem (1) dan ketunggalan
penyelesaiannya.
Definisi 1 Diberikan
, dengan
E himpunan terbuka dan
,
i = 1,2,..., n . Dengan C1(E) merupakan
himpunan semua fungsi diferensiabel
kontinu pada E. Vektor x (t ) disebut
penyelesaian Sistem (1) pada interval
terbuka I jika x (t ) diferensiabel pada I
dan x& = f ( x (t )) untuk setiap t ∈ I ,
x (t ) ∈ E .
Teorema 1 Diberikan E ⊂ R n , E
himpunan terbuka. Jika
,
i = 1,2,..., n dan x0 ∈ E , maka terdapat
a > 0 sehingga masalah
nilai awal
x& = f ( x (t )) dengan x(0) = x0 mempunyai
penyelesaian tunggal x (t ) pada interval
[− a, a].
Perilaku penyelesaian dapat di pelajari
di titik equilibrium dengan Linearisasi.
ISSN : 1858-3709
Linearisasi adalah menghampiri persamaan
differensial nonlinear dengan persamaan
differensial linear.
Definisi 2 Titik
disebut titik
equilibrium Sistem (1) jika
.
Definisi
3
Diberikan
fungsi
T
f = ( f1 , f 2 ,..., f n ) pada Sistem (1) dengan
, i = 1,2,..., n . Matriks
 ∂f∂1x( x ) ∂f∂1x( x ) L ∂f∂1x( x ) 
n
 ∂f 2 (1x ) ∂f 2 (2x )
∂f 2 ( x ) 
L
∂x 2
∂x n 
J ( f ( x ) ) =  ∂x1
(2)
 M
M
O
M 
 ∂f n ( x ) ∂f n ( x )

L ∂f∂nx(nx ) 
 ∂x1
∂x 2
dinamakan matriks Jacobian dari f di titik
x.
Definisi 4 Diberikan matriks Jacobian
J ( f (x)) pada Persamaan (2). Sistem
persamaan diferensial linear
(3)
disebut linearisasi Sistem (1) di sekitar titik
equilibrium .
Sistem
(3)
dapat
digunakan
mempelajari kestabilan sistem (1) jika titik
equilibrium hiperbolik. Berikut diberikan
definisi titik equilibrium hiperbolik.
Definisi 5 Titik ekuilibrium
disebut titik
equilibrium hiperbolik dari Sistem (3) jika
yang
tidak ada nilai eigen dari
mempunyai bagian real nol.
Salah satu perilaku penyelesaian
sistem (3) yang menarik dipelajari adalah
perilaku kestabilan di titik equilibrium
berikut diberikan teorema kestabilan titik
equilibrium.
Teorema 2 Diberikan matriks Jacobian
dari Sistem (3) dengan nilai eigen
λ.
a.
Jika semua bagian real nilai eigen
matriks
berharga negatif,
maka titik equilibrium
dari Sistem
(3) stabil asimtotik lokal.
b.
Jika terdapat paling sedikit satu nilai
eigen matriks
yang bagian
realnya positif, maka titik ekuilibrium
dari Sistem (3) tidak stabil.
Sifat kestabilan sistem (3) hampir
sepenuhnya bergantung dari nilai eigen,
32
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
tapi mencari nilai eigen bukanlah mudah,
berikut diberikan cara menentukan tanda
nilai eigen dengan memanfaatkan koefisien
persamaan karakteristiknya.
Definisi 6 Diberikan
,
adalah matriks Hurwitz dari polinomial
a0 λn + a1λn−1 + a 2 λn − 2 + ... + a n = 0 .
Definisi 7 Determinan matriks Hurwitz
tingkat ke-k adalah
a 1
∆1 = a1 , ∆ 2 = 1
,
a3 a2
a1
∆3 = a3
a5
1
a2
a4
0
a1 ,...
a3
,
∆ n = a n ∆ n−1 .
Teorema 3 Pembuat nol dari polinomial
a0 λn + a1λn−1 + a 2 λn − 2 + ... + a n = 0 mempun
yai bagian real negatif jika dan hanya jika
semua
determinan tingkat ke-k dari
matriks H bernilai positif.
METODOLOGI
Penelitian ini dilakukan dengan
studi literatur dengan mempelajari bukubuku persamaan diferensial dan jurnaljurnal yang membahas tentang dinamika
perkembangan virus. Rujukan utama
penelitian ini adalah tulisan Nowak dan
May, berjudul “Viral Dynamics”. Prosedur
penelitian
sebagai
berikut
setelah
menetapkan variabel, parameter dan
asumsi-asumsi model dinamika infeksi
virus dalam tubuh tanpa respon imun
dibentuk yang dikenal dengan Model Dasar
Infeksi Virus (Basic Virus infection
Model/BVIM).
Selanjutnya
dengan
mendefinisikan
Basic
Infection
ISSN : 1858-3709
Reproductive
number
.
Jika
diperoleh titik equilibrium bebas
diperoleh titik equilibrium
virus dan
bebas virus dan titik equilibrium endemik.
Pada BVIM diasumsi penularan virus
berdasarkan insidensi aksi massa (Action
Mass Incidence). Selanjutnya dengan
menemukan titik equilibrium dipelajari
perilaku kestabilan di titik equilibrium.
HASIL
Diberikan
suatu
siklus
yang
menggambarkan dinamika virus, yang
menginfeksi dan menyebar dalam suatu
populasi sel tertentu dalam tubuh individu.
Misalkan populasi sel dibagi menjadi tiga
kelas, yaitu kelas sel rentan, kelas sel
terinfeksi dan kelas virus bebas yang akan
menginfeksi
populasi
sel
tersebut.
Kepadatan sel rentan, sel terinfeksi dan
virus bebas dipengaruhi oleh waktu.
Misalkan
x(t), y(t), v(t) berturut-turut
menyatakan kepadatan sel rentan, sel
terinfeksi dan virus bebas dalam waktu t.
Andaikan dengan cara-cara tertentu suatu
virus masuk ke dalam tubuh individu,
kemudian menginfeksi organ tertentu
individu tersebut. Virus ini akan
menginfeksi
sel
rentan
kemudian
memanfaatkan sel tersebut sebagai media
perkembangbiakan.
Sel
yang
telah
terinfeksi ini kemudian berkembangbiak
menghasilkan virus baru dan selanjutnya
akan menginfeksi sel rentan yang lain.
Untuk memodelkan dinamika virus tersebut
diberikan asumsi-asumsi berikut :
1. Populasi berdistribusi homogen, artinya
setiap sel mempunyai kemungkinan
yang sama untuk melakukan kontak
dengan sel lainnya dalam populasi.
2. Suatu sel rentan x akan terinfeksi
dengan laju sebesar β jika terjadi kontak
dengan virus v.
3. Jika sel sudah terinfeksi, maka sel akan
tetap berada pada kelas y dan akhirnya
mati.
4. Masing-masing sel rentan, sel terinfeksi
dan virus bebas mengalami kematian
alami dengan laju berturut-turut sebesar
d, µ, a.
33
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
5. Virus bebas berkembangbiak dari sel
yang telah terinfeksi dengan laju
sebesar k.
6. Kepadatan sel rentan bertambah dengan
laju konstan sebesar λ.
7. Diasumsikan respon imunitas dalam
tubuh tidak bekerja atau tidak ada.
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas
maka dinamika perkembangan virus
tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 1. Dinamika virus dalam sel
tubuh.
Berdasarkan Gambar 1. di atas diketahui
bahwa sel rentan diproduksi konstan
sebesar λ, kemudian mati dengan laju dx
serta terinfeksi oleh suatu virus v dengan
laju
, maka kepadatan sel yang rentan
tersebut akan berubah mengikuti persamaan
berikut
(4)
Sel yang telah terinfeksi oleh virus ini
akan berproduksi dengan laju sebesar
dan mati dengan laju sebesar ay, maka
kepadatan sel yang terinfeksi ini akan
berubah mengikuti persamaan berikut
(5)
Selanjutnya virus v yang berhasil
menginfeksi sel rentan akan menggunakan
sel
tersebut
sebagai
media
perkembangbiakan, sel ini selanjutnya akan
menghasilkan virus baru dengan laju
sebesar
kemudian mati dengan laju
sebesar , maka kepadatan virus bebas ini
akan berubah mengikuti persamaan berikut
:
(6)
ISSN : 1858-3709
Berdasarkan uraian di atas
jika
diberikan syarat awal maka dapat disusun
Sistem persamaan :
(7a)
(7b)
(7c)
PEMBAHASAN
Eksistensi dan Ketunggalan Solusi Model
Dinamika Infeksi Virus Dalam Tubuh
Tanpa Respon Imun.
Selanjutnya
akan
ditunjukkan
eksistensi dan ketunggalan solusi dari
Sistem (7) melalui teorema berikut:
Teorema 4 Sistem (7) mempunyai solusi
tunggal.
Bukti
Pada ruas kanan dari Sistem (7)
didefinisikan:
(8)
(i) Akan dibuktikan bahwa fungsi-fungsi
pada (8) kontinu pada R 3 .
a. Fungsi
Misalkan:
dengan,
,
,
.
Fungsi f1 kontinu pada R 3 jika
fungsi g1 , g 2 , dan g3 kontinu pada
R3 .
(1) Fungsi
adalah fungsi
konstan, sehingga fungsi tersebut
kontinu pada R 3 .
(2) Fungsi
.
Diambil sebarang
.
Diberikan bilangan ε > 0 sebarang.
34
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
Dipilih
Bukti untuk fungsi f 2 dan f 3 analog
dengan a. Jadi, terbukti bahwa fungsifungsi pada (8) kontinu pada R 3 .
(ii) Akan dibuktikan bahwa fungsi-fungsi
pada (8) diferensiabel kontinu pada
R3 .
a. Fungsi
, sehingga untuk
setiap
ISSN : 1858-3709
dengan
Berlaku
Turunan parsial fungsi
terhadap x, y, dan v adalah
,
(9)
Jadi, fungsi g 2 kontinu pada R 3 .
(3) Fungsi
,
Diambil sebarang
.
Diberikan bilangan ε > 0 sebarang.
Akan dibuktikan terdapat δ > 0
sehingga untuk setiap
dengan
berlaku
Untuk setiap
, jika
maka
diperoleh
,
Sehingga
diperoleh
. Akibatnya
, dan
,
f1
Turunan parsial fungsi
terhadap x dan v merupakan fungsi
linear,
sehingga
kontinu,
sedangkan turunan parsial fungsi
f1 terhadap y merupakan fungsi
konstan, sehingga kontinu.
b. Turunan parsial fungsi f 2 dan f3
terhadap x, y, dan v merupakan
fungsi kontinu, bukti analog
dengan (ii) bagian a.
Berdasarkan (i) dan (ii), maka fungsifungsi pada (8) kontinu dan diferensiabel
kontinu pada R 3 . Dengan demikian,
berdasarkan Teorema 1, Sistem (7)
memiliki solusi tunggal.
Titik Equilibrium Model Dinamika
Infeksi Virus Dalam Tubuh Tanpa
Respon Imun.
(10)
Pilih
demikian,
f1
.
dari
(10)
Dengan
diperoleh
Jadi, fungsi g3 kontinu pada R 3 .
Karena fungsi g1 , g 2 , dan g3 kontinu pada
R 3 , maka fungsi f1 kontinu pada R 3 .
Titik Equilibrium Persamaan (7)
terjadi jika
(11a)
(11b)
(11c)
Selanjutnya
dengan
menggunakan
Persamaan (11c) pada Persamaan (7c)
diperoleh
.
(12)
Selanjutnya
dengan
menggunakan
Persamaan
(11b)
dan
mensubtitusi
Persamaan (12) ke Persamaan (7b)
diperoleh
35
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
ISSN : 1858-3709
menggunakan Persamaan (11b) diperoleh
atau
(13)
Persamaan
(13)
atau
ini
berlaku
jika
.
Kasus I :
Jika
disubstitusikan ke
Persamaan (7c) maka diperoleh
.
Ini berarti tidak ada virus yang menginfeksi
sel, sehingga tidak terjadi penyebaran virus,
atau bebas dari virus. Selanjutnya dengan
mensubstitusi
ke Persamaan (7a)
diperoleh
atau
.
Jadi diperoleh titik Equilibrium bebas virus
yaitu
Kasus II :
Jika
maka
mensubstitusikan
ke Persamaan
(7a) dan menggunakan
diperoleh
dengan
Persamaan (11a)
atau
(15)
Jika
maka dari Persamaan
(15) diperoleh
atau ada sel yang
terinfeksi sehingga terjadi penyebaran
virus.
Jadi diperoleh titik Equilibrium Endemik
yaitu
.
Berdasarkan uraian di atas diperoleh
titik Equilibrium untuk model dinamika
infeksi virus dalam tubuh tanpa respon
imun yaitu titik equilibrium bebas virus
yang berarti bahwa tidak ada virus yang
menginfeksi sel, dan titik Equilibrium
endemik yang berarti terjadi penyebaran
virus
dengan
adanya
virus
yang
menginfeksi sel.
Teorema 5
Diberikan
dari
model dinamika infeksi virus dalam tubuh
tanpa respon imun,
1. Jika
maka model dinamika
infeksi virus dalam tubuh tanpa respon
imun hanya mempunyai satu titik
equilibrium yaitu titik Equilibrium bebas
virus
atau
atau
Misalkan
.
yang merupakan Basic
Infection Reproductive
Persamaan (7) maka
menjadi
Number sistem
dapat ditulis
(14)
Jika
maka dari Persamaan
(14) diperoleh
atau berarti ada virus
yang menginfeksi sel.
Selanjutnya dengan mensubstitusi
Persamaan (14) ke Persamaan (7b) serta
2. Jika
maka model dinamika
infeksi virus dalam tubuh tanpa respon
imun mempunyai dua titik Equilibrium
yaitu titik Equilibrium bebas virus dan
titik Equilibrium Endemik :
36
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
Nilai R0 pada persamaan (14)
merupakan rasio reproduksi dasar Sistem
(7), yaitu rata-rata banyaknya sel terifeksi
baru yang dihasilkan dari satu sel terinfeksi
ketika hampir semua sel masih dalam
keadaan tak terinfeksi. Jika R0 > 1 , maka
setiap sel terinfeksi dapat menyebabkan
rata-rata lebih dari satu sel terinfeksi baru,
sehingga infeksi akan menyebar. Jika
R0 < 1 , maka setiap sel
terinfeksi
menyebabkan rata-rata kurang dari satu sel
terinfeksi baru, sehingga kepadatan virus
tidak akan menyebar dan akhirnya punah.
Kestabilan Titik Equilibrium Bebas
Virus dan Endemik model dinamika
infeksi virus dalam tubuh tanpa respon
imun
Selanjutnya dianalisis kestabilan lokal
dan global masing-masing titik ekuilibrium
dari Sistem (7).
Teorema 6 Diberikan Ef, Ee dan R0
berturut-turut pada teorema 5.
(i) Jika Ro < 1 , maka titik ekuilibrium Ef
stabil asimtotik lokal.
(ii) Jika Ro > 1 , maka titik ekuilibrium Ef
tidak stabil dan Ee stabil asimtotik
lokal.
Bukti
(i) Diketahui
⇔
⇔
(16)
Kestabilan lokal titik ekuilibrium
bebas virus Ef
diselidiki dengan
mengevaluasi linearisasi dari Sistem
(7) di titik tersebut. Sebelumnya
ditentukan matriks Jacobian
Ruas kanan Sistem (7) berturut-turut
merupakan f 1 , f 2 , dan f 3 , sehingga
ISSN : 1858-3709
(17)
Jika titik ekuilibrium Ef dievaluasikan
pada matriks J pada persamaan (17)
diperoleh
.
diperoleh
Dari matriks
persamaan karakteristik sebagai berikut:
Persamaan
atau
(18)
(18)
dipenuhi
untuk
,
(19)
sehingga diperoleh satu nilai eigen negatif.
Dengan demikian, tinggal menentukan nilai
eigen dari persamaan (19) yang merupakan
persamaan karakteristik dari matriks
Dari matriks tersebut dan berdasarkan (16)
diperoleh
tr (J1 ) =
dan
Akibatnya semua nilai eigen matriks J1
mempunyai bagian real negatif. Jadi, titik
ekuilibrium Ef
stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya akan diselidiki kestabilan lokal
titik ekuilibrium endemik Ee. Jika titik Ee
dievaluasikan pada matriks J pada
persamaan (17), diperoleh
diperoleh
Dari matriks
persamaan karakteristik sebagai berikut:
37
POLI REKAYASA Volume 7, Nomor 1, Oktober 2011
(20)
Persamaan (20) dapat ditulis dalam bentuk
λ3 + a1λ2 + a2λ + a3 = 0 ,
(21)
dengan
,
,
.
(a). Karena λ,
∆1 = a1 > 0 .
(b). Dari (21) diperoleh
Karena
∆ 2 = a1a2 − a3 > 0 .
,
,,
sehingga
sehingga
(c). Dari pertidaksamaan (16), jelas a3 > 0 .
Oleh karena itu ∆ 3 = a3 (a1a2 − a3 ) > 0 .
Dari (a), (b), dan (c), serta
berdasarkan Teorema 3, sehingga semua
nilai eigen matriks
mempunyai
bagian real negatif. Jadi, titik ekuilibrium
endemik
stabil asimtotik lokal.
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas
disimpulkan bahwa Model Dinamika
Infeksi Virus Dalam Tubuh Tanpa Respon
Imun memiliki titik equilibrium bebas virus
, dan
yang stabil asimtotik lokal jika
ISSN : 1858-3709
mempunyai titik equilibrium bebas virus
yang tidak stabil serta titik equilibrium
endemik yang stabil asimtotik lokal jika
.
SARAN
Tulisan ini membahas kestabilan lokal
dari titik equilibrium, untuk itu disarankan
meneliti kestabilan globalnya dan simulasi
numeriknya.
DAFTAR PUSTAKA
Arrowsmith, D.K., Place, C.M., 1992,
Dynamical
System
Differential
Equations, Maps and Chaotic
Behaviour, Chapman & Hall,
London.
Brauer, F. and Castilo-Chavez, C., 2001,
Mathematical Models in Population
Biology and Epidemiology, SpringerVerlag, Inc., New York.
Finizio, N. and Ladas, G., 1988, Persamaan
Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern, Alih Bahasa : Widiarti, S,.
Erlangga, Jakarta.
Kocak, H. dan Hole, J. K., 1991. Dynamic
and Bifurcation, Springer – Verlag.
New York.
Luenberger, D. G., 1979, Introduction to
Dynamical System Theory, Model and
Application, John Willey & Son, Inc.,
Canada.
Nowak, M. A. and May, R. M., 2000, Viral
Dynamics. Oxford University Press,
Inc., New York.
Olsder, G. J, 1994, Mathematical System
Theory,
Delft
University
of
Technology, Netherlands.
Perko, L., 1991, Differential Equations and
Dynamical System, Springer-Verlag,
New York.
Verhulst, F., 1990, Nonlinear Differential
Equations and Dynamical System,
Springer-Verlag, Germany.
Wiggins, S., 1990, Introduction to Applied
Nonlinear Dynamical System and
Chaos, Springer-Verlag, New York.
38