Faktorisasi Aljabar

Pemfaktoran
A. Pemfaktoran Suku Bentuk Aljabar
Suatu bentuk aljabar dapat membagi habis bentuk
aljabar yang lain disebut faktor dari bentuk aljabar
yang lain tersebut. Setiap bentuk aljabar memiliki
minimal dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu
sendiri. Pemfaktoran merupakan proses
menyatakan suatu bentuk aljabar menjadi bentuk
perkalian faktor-faktornya.
Hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan bilangan bulat menyatakan
bahwa ab + ac = a(b + c), untuk setiap a,b,dan c
bilangan real.
Hukum ini menunjukan bahwa penjumlahan dari
suku-suku yang mempunyai faktor
persekutuan dapat dinyatakan sebagai bentuk
perkalian.
a(b + c)
a
b+c
Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk
penjumlahan menjadi bentuk perkalian
Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki
faktor yang sama dapat difaktorkan dengan
menggunakan hukum distributif
Faktorkan bentuk-bentuk berikut :
a.
4a+8
b. 6ab-4a²
Jawab :
a. 4a dan 8 memiliki faktor persekutuan terbesar 4,maka:
4a+8= 4(a)+4(2)=4(a+2)
b. 6ab dan 4a² = 2a(3b)-2a(2a)=2a(3b-2a)
Sebelumnya telah kita pelajari bahwa pengkuadratan suku
dua dapat dijabarkan sebagai berikut :
1.
(x+3)²= x²+6x+9
2.
(3x-4)²= 9x²-24x+6
Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil
pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan
ciri-ciri sebagai berikut :
I.
Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk
kuadrat.
II.
Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar
kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.
x² + 6x + 9
(x²)
(3) ²
9x² – 24x + 16
(3x) ²
2(x) (3)
(4) ²
2(3x) (4)
Dengan demikian, kedua bentuk penjumlahan di
atas dapat difaktorkan dengan cara sebagai
berikut :
1. x² + 6x + 9 = (x²)+2(x)(3)+(3)² = (x+3)²
2. 9x² – 24x + 16 = (3x) ² - 2(3x)(4)+(4)² = (3x-4)²
x² + 2xy + y² = (x + y) ²
x² - 2xy + y² = (x - y) ²
Faktorkan Bentuk aljabar berikut!
x²+10xy+25y²
Jawab:
x²+10xy+25y² = x²+5xy+5xy+ (5y)²
= x(x+5y) + 5y(x+5y)
= (x+5y)(x+5y)
Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah
dijelaskan bahwa (x+y)(x-y) dapat di jabarkan
sebagai berikut:
(x+y)(x-y) = x²+xy-xy-y²
= x²-y²
Ruas kiri persamaan di atas merupakan bentuk
pengurangan suku-suku aljabar sedangkan ruas kanan
merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.
Pemfaktoran selisih dua kuadrat adalah:
x²-y² = (x+y)(x-y)
Faktorkan bentuk berikut!
a.
9p²-25q²
b. 4x²-16y²
Jawab:
a.
9p²-25q² =3(p)²-(5q)²
=(3p+5q)(3p-5q)
b. 4x²-16y² = (2x)²-(4y)²
= (2x+4y)(2x-4y)
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a = 1.
Misalnya bentuk seperti berikut :
x² + 10x -21, berarti a= 1, b = 10 dan c = -21
Pada bentuk ax²+bx+c, a disebut koefisien x², b
koefisien x dan c bilangan konstan (tetap)
Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax²+bx+c
dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan
x²+bx+c.
(x + 3)(x + 4)
= x² + 4x + 3x + 12
= x² + 7x +12
Dari conto diatas di peroleh hubungan sebagai berikut :
x² + 7x +12 = (x + 3)(x + 4)
3+4 3x4
Ternyata memfaktorkan bentuk x²+bx+c dapat
dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan
yang memenuhi syarat sebagi berikut.
a. Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian.
b. Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.
Pemfaktoran bentuk x²+bx+c adalah:
x²+bx+c = (x+p)(x+q)
Dengan syarat c = p x q dan b = p + q
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a≠1 seperti
berikut :
8 x 15 = 120
10 X 12 = 120
(2x+3)(4x+5) = 8x² + 10x +12x + 15
= 8x² + 22x
+ 15
Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk
memfaktorkan 8x²+22x+15, terlebih dahulu 22x diuraikan
menjadi dua suku dengan aturan sebagai berikut :
a.
Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan
koefisien x
b.
Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama
dengan hasil kali koefisien x² dengan bilangan konstan.
Faktorkan bentuk aljabar berikut!
2p²-20p+18
Jawab:
2p²-20p+18 dapat diubah menjadi 2(p²-10p+9)
Sehingga untuk memfaktorkannya kita cukup
mencapai bilangan-bilangan yang hasil jumlahnya -10
dan hasil kalinya 9,yaitu -1 dan-9, sehingga
2p²-20p+18= 2(p²-10p+9)=2(p-1)(p-9)
=(2p-2)(p-9)