Modul Aljabar Linear dan Matriks

RUANG HASIL KALI DALAM
Pertemuan : 9,10,&11
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
1. Menghitung hasil kali dalam baku dan hasil kali silang.
2. Mengetahui sifat-sifat ruang hasil kali dalam
3. Menggunakan sifat-sifat basis ortogonal dan basis ortonormal
4. Menggunakan metode Gram-Schimdt untuk menentukan basis ortogonal.
Materi
:
4.1 Hasil Kali Dalam Baku
Definisi 4.1
Jika u dan v adalah vektor-vektor kolom dalam ruang berdimensi 2 maka dinotasikan u.v
sebagai hasil kali titik/hasil kali skalar
u.v  u1v1  u2v2
Jika u dan v adalah vektor-vektor kolom dalam ruang berdimensi 3 maka
u.v  u1v1  u2v2  u3v3
Hasil kali dalam baku untuk R 2 , R3 didefinisikan sebagai hasil kali skalar u, v  u.v
Definisi 4.2
Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan berdimensi 3,  adalah sudut
antara u dan v , maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean

 u  v cos  , jika u  0 dan v  0
u.v  
jika u  0 dan v  0

 0
Definisi 4.3
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol, maka sudut dari dua buah vektor dapat ditentukan
dengan cara
u.v
cos  
u.v
 Latihan 4.1
1
1
T


1. Jika a   2  b   2  tentukan a  b dan a, b
 3
 2
 
 
2. Diketahui u  (2, 1,1) dan v  (1,1, 2) Tentukan sudut  antara u dan v .
4.2 Hasil Kali Silang
Dalam penerapan vektor dalam ruang berdimensi 3 kadang-kadang diperlukan suatu vektor
yang tegak lurus terhadap dua vektor yang diketahui, untuk itu diperkenalkan sebuah jenis
perkalian vektor yang menghasilkan vektor-vektor tersebut
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Definisi 4.4
Jika u  (u1 , u2 , u3 ), v  (v1, v2 , v3 ) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka hasil kali
silang u  v adalah vektor yang didefinisikan sebagai
 u u3
u u u u 
uv   2
, 1 3 , 1 2 
v1 v3 v1 v2 
 v2 v3
Contoh 4.1:
Carilah u  v dimana u  (1, 2, 2), v  (3, 0,1) .
Penyelesaian :
Susun dalam bentuk matriks
 1 2 2 


3 0 1 
Maka
 2 2 1 2 1 2 
uv  
,
,
  (2, 7, 6)
0 1 3 1 3 0
 Latihan 4.2
a. Hitunglah u  v dimana u  (2, 1,1) dan v  (1,1, 2)
b. Kemudian tentukan u  v dan u , v
c. Hitunglah u  v .u dan u  v .v . Apa yang dapat Anda simpulkan dari hasil perhitungan
tersebut?
2
2
2
d. Periksalah apakah u  v  u . v  (u  v)2
4.3 Ruang Hasil Kali Dalam
Definisi 4.5
Hasil kali dalam (dinotasikan <. ,.>) adalah fungsi yang mengaitkan setiap vektor di ruang
vektor V dengan suatu bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang
vektor, u, v, w V  suatu skalar, maka berlaku:
1. Simetris
: u, v  v, u
2. Aditivitas
: u  v, w  u, w  v, w
3. Homogenitas :  u, v   . u, v
4. Positifitas
: u, u  0 dan u, u  0  u  0
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.
Contoh 4.2
1. Ruang hasil kali dalam Euclides ( Rn )
Misalkan u, v  R n maka u, v  u1v1  u2v2  ...  un vn .
2. Panjang vektor di Rn dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam yaitu
u  u, u
1/2
 u1u1  u2u2  ...  unun
Dapat ditunjukkan bahwa sifat simetris, aditivitas, homogenitas dan positifitas dipenuhi
IF/2011
31
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
3. Jarak antara dua vektor u, v  R dinyatakan dengan d (u , v ) juga dapat dinyatakan sebagai
bentuk hasil kali dalam.
n
d (u, v)  u  v  u  v, u  v
1/2
 (u1  v1 )2  (u2  v2 )2  ...  (un  vn ) 2
4. Misalkan W  R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali
u, v  2u1v1  u2v2  3u3v3
dimana u , v  W . Tunjukkan W adalah ruang hasil kali dalam.
a. Simetris
Ambil u , v  W sembarang maka
u, v  2u1v1  u2v2  3u3v3  2v1u1  v2u2  3v3u3  v, u
b. Aditivitas
Ambil u , v, w  W sembarang maka
u  v, w  2(u1  v1 )w1  (u2  v2 )w2  3(u3  v3 )w3
 2(u1w1  v1w1 )  (u2 w2  v2 w2 )  3(u3 w3  v3 w3 )
 2u1w1  2v1w1  u2 w2  v2 w2  3u3 w3  3v3 w3
 (2u1w1  u2 w2  3u3 w3 )  (2v1w1  v2 w2  3v3 w3 )
 u , w  v, w
c. Homogenitas
Ambil u, v W ,  skalar maka
 u, v  2 u1v1   u2v2  3 u3v3
  (2u1v1  u2v2  3u3v3 )   u, v
d. Positifitas
Ambil u W maka
u, u  2u1u1  u2u2  3u3u3  2u12  u2 2  3u32
Karena u12 , u2 2 , u32  0 maka 2u12  u2 2  3u32  0
dan 2u12  u22  3u32  0  u  0
5. Tunjukkan bahwa u, v  u1v1  2u2v2  3u3v3 bukan merupakan hasil kali dalam
Perhatikan untuk u, u  u12  2u2 2  3u32 saat 3u32  u12  2u2 2 maka u, u  0
Sehingga tidak memenuhi sifat positivitas.
 Latihan 4.3
a. Periksa apakah u, v  4u1v1  5u2v2 adalah suatu hasil kali dalam pada R2
b. Periksa apakah u, v  u1v1  u3v3 adalah suatu hasil kali dalam pada R 3
c. Periksa apakah u, v  u12v12  u2 2v2 2  u32v33 adalah hasil kali dalam pada R 3
Teorema 4.1
IF/2011
32
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Berikut ini beberapa sifat dari vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam
Jika u , v, w adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, dan  adalah skalar
sembarang maka :
a. 0, v  v, 0
b.
u, v  w  u, v  u , w
c.
u,  v   . u, v
d.
u  v, w  u, w  v, w
e.
u, v  w  u, v  u, w
 Latihan 4.4
1. Buktikan Teorema 4.1
u 
v 
u
v
2. Jika U   11 12  V   11 12  didefinisikan hasil kali dalam untuk M 22 maka
 u21 u22 
 v21 v22 
U ,V  u11v11  u12v12  u21v21  u22v22 dan U  U ,U
1/2
 u112  u122  u212  u22 2
 1 2
 4 6
Tentukan U ,V jika U  
 V 

 3 5 
0 8
Definisi 4.6
Dua buah vektor u dan v dalam Rn disebut ortogonal jika u, v  0
 Latihan 4.5
1 0 
 0 2
Tunjukkan bahwa matriks U  
 V 
 saling ortogonal
1 1 
0 0
4.4 Basis Ortonormal
Definisi 4.7
Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v1 , v2 ,

, vn V . H  v1 , v2 ,

, vn disebut
himpunan ortogonal jika untuk setiap vektor dalam V saling tegak lurus berlaku
vi , v j  0 i  j dan i, j  1, 2,..., n .
Definisi 4.8
Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v1 , v2 ,

, vn V . G  v1 , v2 ,

, vn disebut
himpunan ortonormal jika
- G adalah himpunan ortogonal
- Norma dari vi  1, i  1, 2,..., n atau vi , vi  1
 Latihan 4.6
Diketahui u1  (0,1,0), u2  (1,0,1), u3  (1,0, 1)  R3 dan R 3 adalah ruang hasil kali dalam.
IF/2011
33
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
a. Tunjukkan bahwa u1 , u2 , u3 ortogonal
b. Hitunglah u1 , u2 , u3
c.
v1 
1
u1
.u1 , v2 
1
u2
.u2 , v3 
1
u3
.u3
Tentukan v1 , v2 , v3
d. Hitunglah v1 , v2 , v3
NB: Vektor v1 , v2 , v3 disebut vektor satuan karena vektor ini mempunyai panjang 1.
4.5 Metode Gram-Schimdt
Basis yang berisi vektor-vektor ortonormal disebut basis ortonormal dan basis yang berisi
vektor-vektor ortogonal disebut basis ortogonal.
Perhatikan gambar berikut
u
u
W
proyW u
proyW  u
proyW u
W
proyW u adalah proyeksi ortogonal u pada W dan proyW  u adalah proyeksi ortogonal u pada
W┴. Jika u  proyW u  proyW  u maka proyW  u  u  proyW u sehingga
u  proyW u  proyW  u dapat dituliskan menjadi u  proyW u  (u  proyW u)
Teorema 4.2
Misalkan W adalah subruang berdimensi tehingga dari suatu ruang hasil kali dalam V.
a. Jika v1 , v2 ,..., vr  adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor
dalam V maka
b. Jika
proyW u  u, v1 v1  u, v2 v2  ...  u, vr vr
v1, v2 ,..., vr  adalah
suatu basis ortogonal untuk W dan u adalah sebarang vektor
dalam V maka
proyW u 
u, v1
v1
2
v1 
 Latihan 4.7
W adalah subruang yang dibangun oleh
u, v2
v2
2
v , v 
1
2
v2  ... 
u, vr
vr
2
vr
vektor-vektor ortonormal v1  (0,1,0) ,
 4 3
v2    , 0,  .
 5 5
a. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W
b. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W┴
Definsi 4.9
IF/2011
34
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor
yang bebas linear menjadi himpunan vektor ortogonal.


Misalkan diketahui B = b1 , b2 ,..., bn adalah himpunan vektor yang bebas linear, maka B dapat


diubah menjadi himpunan S = s1 , s2 ,..., sn yang ortogonal dengan cara:
1.
s1  u1
2. s2  u2  proyW1 u2  u2 
3. s3  u3  proyW2 u3  u3 
4. s4  u4  proyW2 u4  u4 
u2 , s1
s1
2
u3 , s1
s1
2
u4 , s1
s1
2
s1
s1 
u3 , s2
s2
s1 
2
u4 , s2
s2
2
s2
s2 
u4 , s3
s3
s3
2
5. ...
6. sn  un  proyW2 un  un 
Contoh 4.3:

un , s1
s1
2
s1 
un , s2
s2
2
s2  ... 
un , sn
sn
2
sn

Diketahui u1 , u2 , u3 adalah basis untuk ruang vektor R2 dengan hasil kali dalam. u1  (1,1,1) ,
u2  (0,1,1) , u3  (0,0,1) . Maka :
a. Ubahlah basis u1 , u2 , u3 menjadi basis ortogonal s1 , s2 , s3
b. Ubahlah basis s1 , s2 , s3 menjadi basis ortonormal v1 , v2 , v3
Penyelesaian
1. s1  u1  (1,1,1)
2. s2  u2  proyW1 u2  u2 
3. s3  u3  proyW2 u3  u3 
u2 , s1
s1
2
u3 , s1
s1
2
2
 2 1 1
s1   0,1,1  (1,1,1)    , , 
3
 3 3 3
s1 
u3 , s2
s2
2
s2
1
1/ 3  2 1 1  
1 1
  0, 0,1  (1,1,1) 
  , ,    0,  , 
3
2/3 3 3 3 
2 2
1 1
 2 1 1

Jadi s1  (1,1,1) s2    , ,  s3   0,  , 
2 2
 3 3 3

Setelah dihitung diperoleh norma dari masing-masing vektor
6
1
s1  3 s2 
s3 
3
2
Sehingga diperoleh basis ortonormal
IF/2011
35
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
v1 
 1 1 1 

,
,

s1  3 3 3 
s1
v3 
v2 
 2 1 1 
 
,
,

6 6 6
s2 
s2
1 1 

  0, 
,

2 2
s3 
s3
 Latihan 4.7
Diketahui H  {v1 , v2 , v3}dengan v1  (1,1,1) v2  (1, 2,1) v3  (1,1,0) adalah basis
a. Ubahlah H  {v1 , v2 , v3} menjadi basis-basis ortogonal.
b. Ubahlah H  {v1 , v2 , v3}menjadi basis-basis ortonormal.
Salah satu kegunaan dalam menggunakan basis ortonormal adalah sebagai berikut:
Teorema 4.2
Jika S  v1 , v2 ,..., vn adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan


u V maka berlaku:
u  u, v1 v1  u, v2 v2  ...  u, vn vn
 Latihan 4.7
Diberikan suatu basis-basis ortonormal yang relatif terhadap suatu ruang hasil kali dalam.
Tentukan vektor koordinat w terhadap basis yang bersangkutan.
1 
 1
 1 1 
1. w  (3, 7) u1  
,
,
 u2  

2
 2
 2 2
 2 2 1
2 1 2
1 2 2
2. w  (1, 0, 2) u1   ,  ,  u2   , ,   u3   , , 
 3 3 3
3 3 3
3 3 3
IF/2011
36