"Teorema Pythagoras". - sejuta materi matematika unswagati

Pythagoras
Sebagian besar orang menganggap bahwa Pythagoras adalah penemu teorema dalam
segitiga siku-siku yang sekarang terkenal dengan nama "Teorema Pythagoras". Teorema
kurang lebih berbunyi demikian, bahwa kuadrat sisi miring dari segitiga siku-siku adalah
jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Padahal teorema ini telah dikenal orang-orang babilonia pada
masa Hamurabi, lebih dari 1000 tahun yang lalu, tetapi pembuktian pertama dari teorema ini
yang terbaik telah diberikan oleh Pythagoras.
Disana masih terdapat banyak konjektur sebagai bukti Pythagoras masih dapat
diganggu gugat dan secara umum boleh jadi bukti tersebut tergolong jenis diseksi seperti
gambar di bawah.
misalkan a, b, c menyatakan sisi-sisi tegak dan sisi miring dari segitiga siku-siku. Dua
bujursangkar di atas memiliki panjang sisi a + b. bujursangkar pertama teriris menjadi enam
bagian, yaitu dua persegi pada sisi-sisinya dan empat segitiga siku-siku yang kongruen.
Persegi yang kedua teriris menjadi lima bagian, yaitu bujursangkar pada sisi miring dan
empat segitiga siku-siku yang saling kongruen. untuk pembuktiannya bisa dilihat pada artikel
yang lain dengan judul "PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS"
Sejak zamannya pythagoras, banyak bukti-bukti yang berlainan untuk dalil pythagoras. dalam
buku cetakan yang kedua "The Pythagoras Proprtion", E.S.Lomis telah mengumpulkan dan
menggolongkan 370 bukti dari teorema yang terkenal ini.
Teorema yang berhubungan erat dengan dalil Pythagoras adalah penentuan bilangan bulat a,
b, c yang mewakili kaki-kaki dan sisi miring segitiga siku-siku. suatu triple dari bilanganbilangan serupa ini dikenal dengan nama TRIPLE PYTHAGORAS dan berdasarkan analisa
Plimton, bukti menunjukkan bahwa orang babilonia kuno mengetahui caranya menghitung
triple serupa. pengikut Pythagoras di pandang sebagai
pencipta rumus dengan m bilangan ganjil. Rumus yang serupa untuk menghasilkan suatu
triple Pythagoras adalah dengan m adalah bilangan ganjil/genap. Rumus ini dipandang
berasal dari Plato. baik yang triple yang pertama maupun yang kedua tidak dapat
menghasilkan semua triple Pythagoras.
Materi Matematika Kelas 8 SMP/MTs Teorema Pythagoras
A.
Teorema Pythagoras
Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat
panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku.
Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c2 = a2 + b2
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2
Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa
yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a
dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras
: a2 = b2 + c2
Turunannya
: b2 = a2 – c2
2
c = a2 – b2
B.
Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
Contoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm.
Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC2 = AC2 + AB2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 9 + 16
BC2 = 25
BC = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi
hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC2 = AB2 + BC2
202 = (4x)2 + (3x)2
400 = 16x2 + 9x2\
400 = 25x2
16 = x2
=x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km.
Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU2 = OB2 + UB2
OU2 = 802 + 602
OU2 = 6.400 + 3.600
OU2 = 10.000
OU = 100 km
C. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras
1. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka
berlaku a2= b2 + c2.
Dalam ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c
adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a2 = b2 + c2 maka ABC siku-siku di A.
Jika b2 = a2 +c2 maka ABC siku-siku di B.
Jika c2 = a2 + b2 maka ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah
suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a2 = b2 + c2 maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a2 > b2 + c2 maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a2 < b2 + c2 maka ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a2 = 82 = 64
b2 + c2 = 72 + 52
b2 + c2 = 49 + 25
b2 + c2 = 74
karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a2 = 122 = 144
b2 + c2 = 72 + 82
b2 + c2 = 49 + 64
b2 + c2 = 113
karena a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan
terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32
http://workshopmathematics.blogspot.com/2012/12/bab-5-teorema-pythagoras.html
Aplikasi Teorema Pythagoras
Seperti yang sudah dijelaskan pada postingan yang sebelumnya bahwa teorema pythagoras
berhubungan dengan segitiga siku-siku. Di bawah ini adalah beberapa aplikasi yang
menggunakan teorema pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.
Lapangan Baseball
Pada sebuah lapangan baseball, terdapat tiga buah base dan sebuah home plate. Jarak antara
tiap base dan home plate adalah 90 feet (setara dengan 27.432 m) dan membentuk sudut sikusiku.
Menggunakan teorema pythagoras, kita dapat memecahkan persoalan berikut; "Berapa jauh
orang pada base ke dua untuk membuat pelari lawan keluar sebelum dia memasuki home
plate?".
Jawab:
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika c adalah jarak dari base 2 ke home plate maka,
Jadi orang pada base 2 harus melempar sejauh 127 feet.
Tinggi sebuah gedung
Tangga adalah salah satu peralatan penting bagi ornag-orang yang bekerja di dunia
konstruksi. Orang-orang di dunia konstruksi ini menggunakan aplikasi teorema pythagoras
untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam dunia kerja mereka. Sebagai contoh:
Tinggi sebuah jendela lantai 2 pada sebuah gedung kira-kira 8 meter. Di depan gedung
tersebut ada sebuah taman dengan lebar 6 m. Berapa panjang tangga minimum yang
dibutuhkan agar kaki-kaki tangga tidak merusak taman tersebut?
Perhatikan sketsa di bawah ini.
Jika panjang tangga dianggap sebagai x maka:
Maka panjang tangga minimum adalah 10 m.
Aplikasi yang lain misalnya pada:
1. Menghitung bidang miring.
2. Menghitung diagonal televisi.
3.
http://geomathshared.blogspot.com/2013/05/pythagoras-2.html
Teorema Pythagoras dan Penerapannya
Teorema Pythagoras dan Penerapannya – Sobat hitung pasti tidak asing lagi dengan
rumus a2 + b2 = c2. Itu adalah rumus dari teorema pythagoras. Kurang lebih 2500 tahun yang
lalu seorang filsuf yunani bernama Pythagoras menemukan fakta menarik tentang segitiga.
Beliau menyatakan dalam sebuah segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90o), kuadrat sisi
miringnya akan sama dengan jumlah kuadrat dari 2 sisi yang lain. Mari sobat hitung simak
gambar berikut.
Jika kita punya sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a,b, dan c
Akan berlaku
a2 + b2 = c2
dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring disebut dengan
hipotenusa
Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi a +
luasan persegi dari panjang sisi b = luasan panjang dari sisi c. Luasan ini akan kita gunakan
untuk membuktikan rumus teorema Pythagoras, simak gambar berikut
dengan melihat gambar di atas maka
Pembuktian Toerema Pythagoras
Banyak cara yang bisa digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema ini. Sobat bisa
praktek langsung dengan alat atau menggunakan coret-coretan di kertas. Berikut ini
pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan
luasan segitiga dan luasan persegi. Jika sobat punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya
membentuk kotak seperti di bawah ini.
Luas Persegi Besar = Luas Persegi
putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)2 = c2 + 2.a.b
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 +b2 = c2
Pembuktian teorema Pythagoras lainnya yang bisa sobat hitung lakukan adalah
menggunakan tegel lantai, jika lantai rumah ada tegel atau ubinya, coba sobat buat segitiga
alas 4 ubin dan tinggi 4 ubin
Coba sobat ukur panjang sisi miring dari segitiga di
ubin tersebut (garis warna merah). Jika pengukuran sobat benar maka akan di dapat panjang
sisi miring adalah 5 kali panjang ubin.
Penerapan Teorema Pythagoras di kehidupan sehari-hari
1. Penerapan dalam menyelesaikan soal
Banyak soal baik dalam matematika dan fisika yang untuk menyelesaikannya perlu
menggunakan rumus Pythagoras.
Contoh soal Pythagoras.
Tentukan diagonal ruang dari balok dengan panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Untuk
menentukan panjag diagola ruang balok tersebut mau tidak mau kita harus menggunakan
Pythagoras.
Diagonal bidang = √(32 + 42) =√25 = 5 cm
Diagonal ruang = √(52 + 52) = √250 = 5√10 cm
2. Penerapan dalam praktek nyata
Penerapan teorema Pythagoras dilakukan di banyak bisang terutama bidang arsitektur.
Arsitek menggunakannya untuk mengukur kemiringan bangunan, misalnya kemiringan
sebuah tanggul agar mampu menahan tekanan air. Ini juga sangat membantu dalam
menentukan biaya pembuatan bangunan. Seorang tukang kayu pun untuk membuat segitiga
penguat pilar kayu menggunakan teorema Pythagoras.
penelusuran terkait:
rumus teorema phytagoras, teorema phytagoras, rumus pythagoras, dalil pitagoras,
teorema pythagoras, teorema pyhtagoras, teorama phytagoras
http://rumushitung.com/2013/05/01/teorema-pythagoras-dan-penerapannya/